5.2.2用函数模型解决实际问题 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

**基本信息** 高中数学“用函数模型解决实际问题”同步练，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从单一函数模型到复杂实际问题的进阶，培养数学建模与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|指数/对数函数模型概念|单选形式，如全球变暖面积衰减问题，强化模型识别| |能力提升|分段函数/拟合函数应用|多选与填空，如出租车收费计算，提升模型选择能力| |综合应用|多模型综合优化|解答题，如投资利润方案设计，培养数学语言表达与问题解决|

2.2　用函数模型解决实际问题 1.据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2023年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2023年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是（　　） A.y＝0.9·m　　 B.y＝（1－0.0）·m C.y＝0.9550－x·m　 D.y＝（1－0.0550－x）·m 2.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表： x 1 2 3 … y 1 3 8 … 则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是（　　） A.y＝2x－1　 B.y＝x2－1 C.y＝2x－1　 D.y＝1.5x2－2.5x＋2 3.一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半）t＝（　　） A.lg 　 B.lg C.　 D. 4.某大型建筑工地因施工噪音过大，被周围居民投诉.现环保局要求其整改，降低声强.已知声强I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级L（单位：dB）与声强I的函数关系式为L＝10lg（aI），其中a为正实数.已知I＝1013 W/m2时，L＝10 dB.若整改后的施工噪音的声强为原声强的10－2，则整改后的施工噪音的声强级降低了（　　） A.50 dB　 B.40 dB C.30 dB　 D.20 dB 5.（多选）某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km（不超过3 km按起步价付费）；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费：超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是（　　） A.出租车行驶4 km，乘客需付费9.6元 B.出租车行驶10 km，乘客需付费25.45元 C.某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用 D.某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9 km 6.（多选）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝at，下列说法正确的是（　　） A.这个指数函数的底数为2 B.第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2 C.浮萍从4 m2蔓延到12 m2需经过1.5个月 D.若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3 7.计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低，现在价格为8 100元的计算机9年后的价格为　　　　元. 8.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭（除燃料外）的质量m千克的函数关系式是v＝2 000·ln（1＋）.当燃料质量是火箭质量的　　　倍时，火箭的最大速度可达12 千米/秒. 9.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent，假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m秒甲桶中的水只有升，则m的值为　　　　. 10.汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停车安全距离为S，驾驶员反应时间内汽车所行距离为S1，刹车距离为S2，则S＝S1＋S2.而S1与反应时间t有关，S1＝10ln（t＋1），S2与车速v有关，S2＝bv2.某人刹车反应时间为－1秒，当车速为60千米/时时，紧急刹车后滑行的距离为20米，若在限速100千米/时的高速公路上，则该汽车的安全距离为多少米？（精确到米） 11.已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t（分）满足的函数关系式为h（t）＝mat.若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知lg 2≈0.3，结果取整数）（　　） A.33分钟　 B.43分钟 C.50分钟　 D.56分钟 12.（多选）声强级Li（单位：dB）与声强I（单位：ω/m2）之间的关系是：Li＝10×lg ，其中I0指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈.人能承受的最大声强为1 ω/m2，对应的声强级为120 dB，称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]（单位：dB）.下列选项中正确的是（　　） A.闻阈的声强为10－12 ω/m2 B.声强级增加10 dB，则声强变为原来的2倍 C.此歌唱家唱歌时的声强范围为[10－5，10－4]（单位：dB） D.如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10 dB 13.某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量f（x）（单位：万斤）与年份x（记2022年为第1年）之间的关系统计如下： x 1 2 3 4 f（x） 4.00 5.62 7.00 8.86 则f（x）近似符合以下三种函数模型之一：①f（x）＝ax＋b；②f（x）＝2x＋a；③f（x）＝x2＋b.你认为最适合的函数模型的是　　　　.（填序号） 14.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度D（dB）由公式D＝alg I＋b（a，b为非零常数）给出，其中I（W/cm2）为声音能量. （1）当声音强度D1，D2，D3满足D1＋2D2＝3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式； （2）当人们低声说话，声音能量为10－13 W/cm2时，声音强度为30 dB；当人们正常说话，声音能量为10－12 W/cm2时，声音强度为40 dB.当声音强度大于60 dB时属于噪音，一般人在100～120 dB的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪. 15.某个体经营者把前六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表： 月投资A种商品的金额/万元 1 2 3 4 5 6 纯利润/万元 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 月投资B种商品的金额/万元 1 2 3 4 5 6 纯利润/万元 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才最合算.请你帮助制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并求出最大纯利润.（精确到0.1万元） 2.2　用函数模型解决实际问题 1.A　设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的q%.由题意可知（q%）50＝0.95，所以q%＝0.9，所以从2023年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式为y＝0.9·m. 2.D　由题知：当x＝1时，y＝1，而选项B，当x＝1时，y＝0，故排除B.当x＝3时，y＝8，而选项A，当x＝3时，y＝5，故排除A，选项C，当x＝3时，y＝7，故排除C，选项D，当x＝1时，y＝1，x＝3时，y＝8，D正确.故选D. 3.C　由题意知a（1－8%）t＝，即（1－8%）t＝，等式两边取对数得lg 0.92t＝lg 0.5，即tlg 0.92＝lg 0.5，∴t＝，故C选项是正确的. 4.D　由已知得10＝10·lg（a×1013），解得a＝10－12，故L＝10·lg（10－12×I）＝10（－12＋lg I）.设施工噪音原来的声强为I1，声强级为L1，整改后的声强为I2，声强级为L2，则L1－L2＝10（－12＋lg I1）－10（－12＋lg I2）＝10（lg I1－lg I2）＝10·lg ＝20.故选D. 5.BCD　在A中，出租车行驶4 km，乘客需付费8＋1×2.15＋1＝11.15元，A错误；在B中，出租车行驶10 km，乘客需付费8＋2.15×5＋2.85×（10－8）＋1＝25.45元，B正确；在C中，乘出租车行驶5 km，乘客需付费8＋2×2.15＋1＝13.30元，乘坐两次需付费26.6元，26.6＞25.45，C正确；在D中，设出租车行驶x km时，付费y元，由8＋5×2.15＋1＝19.75＜22.6知x＞8，因此由y＝8＋2.15×5＋2.85（x－8）＋1＝22.6，解得x＝9，D正确. 6.ABD　由图象可知经过点（1，2），代入y＝at，2＝a1，∴a＝2，故选项A正确；当t＝5时，y＝25＝32＞30，∴浮萍面积就会超过30 m2，故选项B正确；浮萍为4 m2时，得t＝2，经过1.5个月后，t＝3.5，此时浮萍面积为23.5＝8＜12，∴选项C错误；若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则＝2，＝3，＝6，则·＝2×3＝6＝，∴＝，得t1＋t2＝t3，∴选项D正确，故选A、B、D. 7.2 400　解析：依题意得，所求价格为8 100×＝8 100×＝2 400（元）. 8.e6－1　解析：当v＝12 000时，2 000·ln＝12 000，∴ln（1＋）＝6，∴＝e6－1. 9.5　解析：∵5秒后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y＝f（t）＝aent满足f（5）＝ae5n＝a，即5n＝ln ，得n＝ln ，当k秒后甲桶中的水只有升，即f（k）＝，即·kln ＝ln ＝2ln ，得k＝10，故m＝10－5＝5. 10.解：因为刹车反应时间为－1秒， 所以S1＝10ln（－1＋1）＝10ln＝5， 当车速为60千米/时时，紧急刹车后滑行的距离为20米，则S2＝b·（60）2＝20， 解得b＝，即S2＝v2. 若v＝100，则S2＝×1002≈56，S1＝5， 所以该汽车的安全距离S＝S1＋S2＝5＋56＝61（米）. 11.B　依题设有解得a＝，m＝0.05，故h（t）＝0.05×（）t.令h（t）＝0.05×（）t＝1，得（）t＝20，故t＝＝≈≈43（分钟）. 12.ACD　由题意10 lg ＝120，即lg ＝12，所以＝1012，所以I0＝10－12ω/m2，故Li＝10lg（1012I）＝120＋10lg I，故A正确；若Li＝70 dB，即10lg I＝－50，则I＝10－5 ω/m2；若Li＝80 dB，即10lg I＝－40，则I＝10－4 ω/m2，故歌唱家唱歌时的声强范围为[10－5，10－4]（单位：ω/m2），C正确；设声强变为原来的k倍，对应声强级增加10 dB，则（120＋10lg kI）－（120＋10lg I）＝10，解得k＝10，即如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10 dB，故D正确，B错误.故选A、C、D. 13.①　解析：若模型为②，则f（1）＝2＋a＝4，解得a＝2.于是f（x）＝2x＋2，此时f（2）＝6，f（3）＝10，f（4）＝18，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为③，则f（1）＝1＋b＝4，解得b＝3.于是f（x）＝x2＋3，此时f（2）＝7，f（3）＝12，f（4）＝19，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为①，则根据表中数据得即解得经检验是最适合的函数模型. 14.解：（1）∵D1＋2D2＝3D3， ∴alg I1＋b＋2（alg I2＋b）＝3（alg I3＋b）， ∴lg I1＋2lg I2＝3lg I3， ∴I1·＝. （2）由题意得 ∴100＜10lg I＋160＜120， ∴10－6＜I＜10－4. 故当声音能量I∈（10－6，10－4）时，人会暂时性失聪. 15.解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，画出散点图，如图所示. 据此，可考虑用函数y＝－a（x－4）2＋2（a＞0）　①表示投资A种商品的金额与其纯利润的关系，用y＝bx（b＞0）　②表示投资B种商品的金额与其纯利润的关系. 把x＝1，y＝0.65代入①式，得0.65＝－a（1－4）2＋2，解得a＝0.15，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数解析式可近似地用y＝－0.15（x－4）2＋2来表示. 把x＝4，y＝1代入②式，解得b＝0.25，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数解析式可近似地用y＝0.25x来表示. 设下个月投入A，B两种商品的资金分别是xA万元，xB万元，纯利润为W万元， 得 即W＝－0.15（xA－）2＋0.15×（）2＋2.6. 故当xA＝≈3.2时，W取得最大值，约为4.1， 此时，xB＝8.8. 即下个月投入A，B两种商品的资金分别约为3.2万元，8.8万元时，可获得最大纯利润，约为4.1万元. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $