2.4.1 培优课 函数性质的综合问题 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 练习聚焦函数性质综合应用，分层设计从基础理解到拓展探究，梯度清晰，适配新授课知识巩固与数学思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|奇偶性、周期性等单一性质|单选基础题（如第1题奇函数周期性求f(2)）| |综合应用|多性质结合（奇偶+单调+周期）|多选填空题（如第7题比较函数值大小）| |拓展探究|定义证明与分类讨论|解答题（如第17题定义法证单调性）|

培优课　函数性质的综合问题 1.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），则f（2）＝（　　） A.0　 B.1 C.2　 D.4 2.已知f（x）＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，则f（x）在区间（2，5）上（　　） A.单调递增　 B.单调递减 C.先增后减　 D.先减后增 3.已知函数f（x）满足f（2x＋1）＝4x2－6x＋5，则f（x）＝（　　） A.f（x）＝x2＋5x＋9　 B.f（x）＝x2＋5x－9 C.f（x）＝x2－5x＋9　 D.f（x）＝x2－5x－9 4.已知函数y＝f（x）的定义域为[－8，1]，则函数g（x）＝的定义域为（　　） A.［－，－2）∪（－2，0] B.[－8，－2）∪（－2，1] C.（－∞，－2）∪（－2，3] D.［－，－2］ 5.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x）＝f（4－x），当－2≤x＜0时，f（x）＝，则f（）＝（　　） A.－2　 B.－ C.　 D.2 6.已知定义在R上的奇函数f（x），且当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，则不等式f（2x＋1）＋f（1）≥0的解集是（　　） A.（－∞，1）　 B.（－1，＋∞） C.[－1，＋∞）　 D.（－∞，1] 7.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝－f（x），且在区间[0，2]上单调递增，则（　　） A.f（－1）＜f（3）＜f（4） B.f（4）＜f（3）＜f（－1） C.f（3）＜f（4）＜f（－1） D.f（－1）＜f（4）＜f（3） 8.若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R，有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2）＋1，则下列说法一定正确的是（　　） A.f（x）－1为奇函数　 B.f（x）－1为偶函数 C.f（x）＋1为奇函数　 D.f（x）＋1为偶函数 9.（多选）已知函数f（x）＝则（　　） A.f（x）为偶函数 B.f（x）在区间［，1］上单调递减 C.f（x）的最大值为 D.f（x）的最小值为－2 10.（多选）关于函数g（x）＝，下列结论中正确的是（　　） A.g（x）的图象过原点 B.g（x）是奇函数 C.g（x）在区间（1，＋∞）上单调递增 D.g（x）是定义域上的增函数 11.（多选）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，则下列结论正确的是（　　） A.f（0）＝0 B.若f（x）在[0，＋∞）上有最小值－1，则f（x）在（－∞，0]上有最大值1 C.若x＞0时，f（x）＝x2－2x，则x＜0时，f（x）＝－x2－2x D.若f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则f（x）在（－∞，－1]上单调递减 12.（多选）已知定义在R上的函数f（x）在（－∞，2]上单调递增，且f（x＋2）为偶函数，则（　　） A.f（x）的对称中心为（2，0） B.f（x）的对称轴为直线x＝2 C.f（－1）＞f（4） D.不等式f（x＋3）＞f（4x）的解集为（－∞，）∪（1，＋∞） 13.写出一个同时满足下列条件的非常数函数　　　　. ①在[0，＋∞）上单调递增；②值域为[1，＋∞）；③f（x）＝f（－x）. 14.已知函数f（x）＝若f（x）值域为［－，2］，则实数c的范围是　　　　. 15.已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（－4，4），且在（－4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）·g（x）＜0的解集是　　　　. 16.已知函数f（x）＝若f（x－1）＜f（2x＋1），则x的取值范围为　　　　. 17.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＜0时，f（x）＝1＋. （1）求f（2）的值； （2）用定义法判断y＝f（x）在区间（－∞，0）上的单调性； （3）求当x＞0时，f（x）的解析式. 18.已知函数f（x）＝x2－mx（m＞0）在区间[0，2]上的最小值为g（m）. （1）求函数g（m）的解析式； （2）定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数h（x）为偶函数，且当x＞0时，h（x）＝g（x）.若h（t）＞h（4），求实数t的取值范围. 培优课　函数性质的综合问题 1.A　由题意得f（0＋2）＝f（2）＝f（0）＝0. 2.B　由f（x）是偶函数，即f（－x）＝f（x），得m＝0，所以f（x）＝－x2＋3，画出函数f（x）＝－x2＋3的图象（图略）知，在区间（2，5）上单调递减. 3.C　因为f（2x＋1）＝4x2－6x＋5，x∈R，令t＝2x＋1，则x＝（t－1），t∈R，所以f（t）＝4×（t－1）2－6×（t－1）＋5＝t2－2t＋1－3t＋3＋5＝t2－5t＋9，故f（x）＝x2－5x＋9，故选C. 4.A　因为函数y＝f（x）的定义域为[－8，1]，对于函数g（x）＝，则有解得－≤x＜－2或－2＜x≤0.因此，函数g（x）的定义域为［－，－2）∪（－2，0]，故选A. 5.D　∵f（x）＝f（4－x），∴f（x）的图象关于直线x＝2对称，∴f（）＝f（）.又∵函数f（x）为奇函数，∴f（）＝－f（－）＝－（－2）＝2，即f（）＝2. 6.C　因为函数f（x）是奇函数，所以不等式f（2x＋1）＋f（1）≥0等价于f（2x＋1）≥f（－1）.又当x≥0时，函数f（x）单调递增，所以函数f（x）在R上为增函数，所以f（2x＋1）≥f（－1）等价于2x＋1≥－1，解得x≥－1. 7.D　因为f（x）满足f（x－4）＝－f（x），则f（－4）＝－f（0），又f（x）在R上是奇函数，所以f（0）＝0，故f（－4）＝－f（0）＝0，所以f（4）＝－f（－4）＝0.由f（x）＝－f（－x）及f（x－4）＝－f（x），得f（3）＝－f（－3）＝－f（1－4）＝f（1），又f（x）在区间[0，2]上单调递增，所以f（1）＞f（0）， 即f（1）＞0，所以f（－1）＝－f（1）＜0，f（3）＝f（1）＞0，于是f（－1）＜f（4）＜f（3）. 8.C　∵对任意x1，x2∈R有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2）＋1，令x1＝x2＝0，得f（0）＝－1.令x1＝x，x2＝－x，得f（0）＝f（x）＋f（－x）＋1.∴f（x）＋1＝－f（－x）－1＝－[f（－x）＋1]，∴f（x）＋1为奇函数. 9.BCD　作出f（x）在区间[－1，2]上的大致图象如图所示，f（x）的定义域不关于原点对称，不是偶函数，故A错误；由图象可知，f（x） 在区间［，1］上单调递减，故B正确；当x＝－或时，f（x）max＝，当x＝2时，f（x）min＝－2，故C、D正确. 10.AC　因为g（0）＝0，故选项A正确；又g（x）的定义域为（－∞，1）∪（1，＋∞），不关于原点对称，故g（x）不是奇函数，故选项B错误；又g（x）＝＝＝－2＋，则当x∈（1，＋∞）时，g（x）单调递增，故选项C正确；又g（0）＝0，g（2）＝－4，g（0）＞g（2），故选项D错误.故选A、C. 11.ABC　对于A，f（0）＝－f（－0）＝－f（0），∴f（0）＝0，正确；对于B，由于f（x）是在R上的奇函数，若x≥0则－x≤0，由f（－x）＝－f（x）且f（x）≥－1，∴f（－x）≤1，即（－∞，0]上最大值为1，正确；对于C，当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）＝－x2－2x，正确；对于D，根据函数图象关于原点对称，当f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则在（－∞，－1]上也单调递增，错误. 12.BD　因为f（x＋2）为偶函数，其图象关于y轴对称，所以f（x）图象的对称轴为直线x＝2，故A错误，B正确；又f（x）在（－∞，2]上单调递增，所以f（x）在[2，＋∞）上单调递减，所以f（－1）＝f（5）＜f（4），故C错误；由不等式f（x＋3）＞f（4x）结合f（x）的对称性及单调性，得｜x＋3－2｜＜｜4x－2｜，即（x＋3－2）2＜（4x－2）2，即（5x－1）·（3x－3）＞0，解得x＜或x＞1，所以不等式f（x＋3）＞f（4x）的解集为（－∞，）∪（1，＋∞），故D正确. 13.f（x）＝x2＋1（答案不唯一）　解析：由f（x）＝f（－x）得函数为偶函数，关于y轴对称，结合单调性及值域，可以为f（x）＝x2＋1. 14.［－1，－］　解析：当x＝2时，f（2）＝4－2＝2，f（x）＝x2－x＝（x－）2－≥－，∵f（x）值域为［－，2］，∴由f（x）＝－＝2，得x＝－， 由f（x）＝x2－x＝2，得x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1，作出图象如图.由图象可得，要满足题意则－1≤c≤－.即实数c的取值范围是［－1，－］. 15.（－4，－2）∪（0，2）　解析：设h（x）＝f（x）g（x），则h（－x）＝f（－x）·g（－x）＝－f（x）g（x）＝－h（x），所以h（x）是奇函数，由图象可知，当－4＜x＜－2时，f（x）＞0，g（x）＜0，即h（x）＜0，当0＜x＜2时，f（x）＜0，g（x）＞0，即h（x）＜0，所以h（x）＜0的解集为（－4，－2）∪（0，2）. 16.（－∞，－2）∪（0，＋∞）　解析：若x＞0，则－x＜0，f（－x）＝（－x）2＋2x＝x2＋2x＝f（x），同理可得，当x＜0时，f（－x）＝f（x），且x＝0时，f（0）＝f（0），所以f（x）是偶函数.因为当x＞0时，函数f（x）单调递增，所以不等式f（x－1）＜f（2x＋1）等价于｜x－1｜＜｜2x＋1｜，整理得x（x＋2）＞0，解得x＞0或x＜－2. 17.解：（1）根据题意，得函数f（x）为奇函数， 当x＜0时，f（x）＝1＋， 则f（2）＝－f（－2）＝－（1＋）＝－. （2）根据题意得，当x＜0时，f（x）＝1＋. 在（－∞，0）上任取x1，x2，且x1＜x2， 则f（x1）－f（x2）＝（1＋）－（1＋）＝－＝. 又由x1－1＜0，x2－1＜0，x2－x1＞0， 可得f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）. 由定义可知，函数y＝f（x）在区间（－∞，0）上单调递减. （3）当x＞0时，－x＜0，则f（－x）＝1－， 由函数f（x）为奇函数知f（x）＝－f（－x）， 所以f（x）＝－1＋＝－. 18.解：（1）因为f（x）＝x2－mx＝（x－）2－（m＞0），所以当0＜≤2，即0＜m≤4时， 此时g（m）＝f（）＝－. 当m＞4时，函数f（x）＝（x－）2－在区间[0，2]上单调递减， 此时g（m）＝f（2）＝4－2m. 综上可知，g（m）＝ （2）因为当x＞0时，h（x）＝g（x）， 所以当x＞0时，h（x）＝ 易知函数h（x）在（0，＋∞）上单调递减， 因为定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数h（x）为偶函数，且h（t）＞h（4）， 所以0＜｜t｜＜4， 解得－4＜t＜0或0＜t＜4. 综上所述，实数t的取值范围为（－4，0）∪（0，4）. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $