5.2.2用函数模型解决实际问题课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

该高中数学课件聚焦“用函数模型解决实际问题”，通过地震震级计算情境导入，衔接函数概念，系统梳理一次、二次、指数、对数及分段函数模型，搭建从理论到实际应用的学习支架。 其亮点是以真实问题（如医药含药量、商品销售）为载体，分题型精研析并总结通性通法，培养数学建模和用数学思维解决问题的能力。学生提升应用意识，教师可高效开展教学。

2.2　用函数模型解决实际问题 新课程标准解读 核心素养 理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重 要数学语言和工具 数学建模 目录 数学·必修第一册（BSD） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　地震是一种常见的自然灾害，它的强度一般用里氏震级来表示. 里氏震级是一种以发生地震时产生的水平位移作为判断标准的地震震 级标度，共分9个等级，地震越大，震级的数字也越大.震级每增加一 级，通过地震释放的能量约增加32倍.里氏震级的计算公式是 ML ＝lg ，其中 A0是距震中100 km处接收到的0级地震的地震波的最大 振幅，单位是μm； Amax是指我们关注的这个地震在距震中100 km处 接收到的地震波的最大振幅，单位是μm. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【问题】　如果知道了相关数据，那么如何计算震级呢？ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点　几类常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f （ x ）＝ kx ＋ b （ k ， b 为常数， k ≠0） 反比例函数模型 二次函数模型 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ， b ， c 为常数， a ≠0） 目录 数学·必修第一册（BSD） 函数模型 函数解析式 指数型函数模型 f （ x ）＝ bax ＋ c （ a ， b ， c 为常数， b ≠0， a ＞0且 a ≠1） 对数型函数模型 f （ x ）＝ b log ax ＋ c （ a ， b ， c 为常数， b ≠0， a ＞0且 a ≠1） 幂函数模型 f （ x ）＝ axn ＋ b （ a ， b 为常数， a ≠0） 分段函数模型 目录 数学·必修第一册（BSD） 提醒　对于建立的各种函数模型，要能够对其进行识别，充分利用数 学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解 决实际问题的重要资本.运用已知函数模型刻画实际问题时，由于实 际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，因此往往需要对模 型进行修正. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在一次函数模型中，系数 k 的取值会影响函数的性质. （　√　） （2）在幂函数模型的解析式中， a 的正负会影响函数的单调性. （　√　） （3）用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型 就无存在意义了. （　×　） √ √ × 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 某工厂2018年生产某产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年 增产20%，则这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件的起始年 份是（参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）（　　） A. 2022年 B. 2023年 C. 2024年 D. 2025年 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　设从2018年起，再过 n 年这家工厂生产这种产品的年产 量超过6万件，根据题意，得2（1＋20%） n ＞6，即1.2 n ＞3，两边 取对数，得 n lg 1.2＞lg 3，∴ n ＞ ＝ ≈6.03，又 n 为 整数，∴ n 的最小值为7，又2 018＋7＝2 025，∴从2025年开始这 家工厂生产这种产品的年产量超过6万件.故选D. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 某种动物繁殖数量 y （只）与时间 x （年）的关系为 y ＝ a log2（ x ＋1），设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到 只. 300　 目录 数学·必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 分段函数模型的应用 【例1】　某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服 用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量 y （单位：μg）与时间 t （单位：h）之间近似满足如图所示的曲线. 目录 数学·必修第一册（BSD） （1）写出服药后每毫升血液中的含药量 y 与时间 t 之间的函数关系式 y ＝ f （ t ）； 解：当0≤ t ＜1时， y ＝ kt ，由点 M （1，4）在直线上，得4＝ k ，故 y ＝4 t ； 当 t ≥1时， y ＝ ，由点 M （1，4）在曲线上，得4＝ ，解得 a ＝3，即 y ＝ . 故 y ＝ f （ t ）＝ 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时，对治疗 疾病有效，求服药一次治疗疾病的有效时间. 解：由题意知 f （ t ）≥0.25， 则或 解得 ≤ t ≤5. 所以服药一次治疗疾病的有效时间为5－ ＝ （h）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 1. 现实生活中有很多问题都是用分段函数模型表示的，如出租车计 费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型. 2. 分段函数的实质是自变量在每一段区间上变化所遵循的规律不同， 可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其 合到一起，要注意各段自变量的取值范围，特别是端点值. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间（单位：min）为 f （ x ）＝（ A ， c 为常数）.已知该工人组装第4件产品用 时30 min，组装第 A 件产品用时15 min，那么 c 和 A 的值分别是（　　） A. 75，25 B. 75，16 C. 60，25 D. 60，16 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：由题意知，组装第 A 件产品所需时间为 ＝15，故组装第4件产品所需时间为 ＝30，解得 c ＝60.将 c ＝60代入 ＝15，得 A ＝16. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 指数函数、对数函数模型的应用 【例2】　（1）我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的 音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为 I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg （其中 I0是人 耳能听到声音的最低声波强度），则70 dB的声音的声波强度 I1是60 dB的声音的声波强度 I2的（　C　） C. 10倍 C 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：由η＝10lg 得 I ＝ I01 ，所以 I1＝ I0107， I2＝ I0106，所以 ＝10，所以70 dB的声音的声波强度 I1是60 dB的声音的声波强度 I2的 10倍. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰 减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的 碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就 测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不 到，则它经过的“半衰期”个数至少是（　C　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 C 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过 n 个 “半衰期”后的含量为 ，由 ＜ ，得 n ≥10.所以若 某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少 需要经过10个“半衰期”. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 　　指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模 型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运 算，灵活进行指数与对数的互化. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地 匀速漏出， t min后剩余的细沙量为 y ＝ a e－ bt （cm3），经过8 min后发 现容器内还有一半的沙子，则再经过 min，容器中的沙子只有开始 时的八分之一. 解析：当 t ＝8时， y ＝ a e－8 b ＝ a ，所以e－8 b ＝ .容器中的沙子只有 开始时的八分之一时，即 y ＝ a e－ bt ＝ a ，e－ bt ＝ ＝（e－8 b ）3＝e－24 b ，则 t ＝24.所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一. 16　 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型三 建立拟合函数模型解决实际问题 【例3】　某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商 品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日 销售单价 P （ x ）（单位：元）与时间 x （单位：天，1≤ x ≤30， x ∈N＋）的函数关系满足 P （ x ）＝1＋ （ k 为正常数）.该商品的日 销售量 Q （ x ）（单位：个）与时间 x 的部分数据如下表所示： x 10 20 25 30 Q （ x ） 110 120 125 120 已知第10天该商品的日销售收入为121元. 目录 数学·必修第一册（BSD） （1）求 k 的值； 解：依题意知第10天该商品的日销售收入为 P （10）· Q （10） ＝ ×110＝121，解得 k ＝1. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）给出以下四种函数模型：① Q （ x ）＝ ax ＋ b ；② Q （ x ）＝ a ｜ x －25｜＋ b ；③ Q （ x ）＝ a · bx ；④ Q （ x ）＝ a ·log bx . 请你根据表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述 该商品的日销售量 Q （ x ）与时间 x 的关系，并求出该函数的解 析式； 目录 数学·必修第一册（BSD） 解：由题中的数据，知随着时间的变化，该商品的日销售量有 增有减，而①③④均为单调函数，故最合适的函数模型为② Q （ x ）＝ a ｜ x －25｜＋ b . 从表中数据可得 即解得 故 Q （ x ）＝125－｜ x －25｜（1≤ x ≤30， x ∈N＋）. 目录 数学·必修第一册（BSD） （3）求该商品的日销售收入 f （ x ）（单位：元）的最小值. 解：由（2）知 Q （ x ）＝125－｜ x －25｜＝ 所以 f （ x ）＝ P （ x ）· Q （ x ） ＝ 目录 数学·必修第一册（BSD） 当1≤ x ＜25时， y ＝ x ＋ 在区间[1，10]上单调递减，在区间 [10，25）上单调递增， 所以当 x ＝10时， f （ x ）取得最小值，且 f （ x ）min＝121； 当25≤ x ≤30时， y ＝ － x 单调递减， 所以当 x ＝30时， f （ x ）取得最小值，且 f （ x ）min＝124. 综上所述，当 x ＝10时， f （ x ）取得最小值，且 f （ x ）min＝121. 故该商品的日销售收入 f （ x ）的最小值为121元. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 建立拟合函数与预测的基本步骤 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 某纪念章从2024年5月1日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章 每1枚的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下： 上市时间 x 天 4 10 36 市场价 y 元 90 51 90 目录 数学·必修第一册（BSD） （1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念 章的市场价 y 与上市时间 x 的变化关系并说明理由：① y ＝ ax ＋ b ；② y ＝ ax2＋ bx ＋ c ；③ y ＝ a log bx . 解：∵随着时间 x 的增加， y 的值先减后增， 而所给的三个函数中 y ＝ ax ＋ b 和 y ＝ a log bx 显然都是单调函 数，不满足题意， ∴选取 y ＝ ax2＋ bx ＋ c . 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最 低的价格. 解：把点（4，90），（10，51），（36，90）代入 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 中，得 目录 数学·必修第一册（BSD） 解得 a ＝ ， b ＝－10， c ＝126. ∴ y ＝ x2－10 x ＋126＝ （ x －20）2＋26， ∴当 x ＝20时， y 有最小值 ymin＝26. 故当纪念章上市20天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价 为26元. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 国内邮寄1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表： 运送距离 x （km） 0＜ x ≤500 500＜ x ≤1 000 1 000＜ x ≤1 500 1 500＜ x ≤2 000 … 邮资 y （元） 5.00 6.00 7.00 8.00 … 如果某人在西安要邮寄800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么 他应付的邮资是（　　） A. 5.00元 B. 6.00元 C. 7.00元 D. 8.00元 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 一辆汽车在某段路上的行驶路程 s 关于时间 t 变化的图象如图，那 么图象所对应的函数模型是（　　） A. 分段函数 B. 二次函数 C. 指数函数 D. 对数函数 解析：　根据函数图象由不同的直线段构成可知，函数是分段函 数，在每一段上函数是一次函数，故选A. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂.已知每一天荷叶覆盖水面面 积是前一天的2倍，且荷叶20天可以完全长满池塘水面.当荷叶覆盖 水面面积一半时，荷叶已生长了 天. 解析：设荷叶覆盖水面面积 y 与生长时间 x 的函数关系式为 y ＝ a ·（2 x ）（ x ∈N＋），根据题意：令2（ a ·2 x ）＝ a ·220⇒ x ＝19， 即生长19天时，布满水面一半. 19　 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. 已知强度为 x 的声音对应的等级为 f （ x ） dB时，有 f （ x ）＝10lg .喷气式飞机起飞时，声音约为140 dB；一般说话时，声音 约为60 dB. 则喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强 度的 倍. 解析： f （ x ）＝10lg ＝10（lg x ＋12）.当 f （ x ）＝140时， 10（lg x ＋12）＝140，所以 x ＝100.当 f （ x ）＝60时，10（lg x ＋ 12）＝60，所以 x ＝10－6. ＝108，所以喷气式飞机起飞时的声 音强度是一般说话时声音强度的108倍. 108　 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $