2实际问题中的函数模型（6大题型）（题型专练）高一数学北师大版必修第一册

2实际问题中的函数模型 题型一：指数、对数、幂函数模型的增长差异 1．下列函数中，增长速度最慢的是（ ） A． B． C． D． 2．下面对函数与在区间上的衰减情况的说法中正确的是（ ） A．的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越快 B．的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越慢 C．的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越慢 D．的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越快 3．对于任意，不等式都成立，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．三个物体同时从同一点出发同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为，，，则下列结论中错误的是（ ） A．当时，总走在最前面 B．当时，总走在最前面 C．不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是 题型二：根据实际问题增长率选择合适的函数模型 1．从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油（单位：）与速度（单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（ ） A． B． C． D． 2．在一次数学实验中，小胡同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 3 5 7 9 11 13 21.01 21.11 21.99 30.03 101.96 749.36 在以下四个函数模型中，为常数，最能反映间函数关系的可能是（ ） A． B． C． D． 3．卫生部年月发布的《中国岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国岁以下女童身高的中位数与年龄之间的关系如图所示，从图中可以看出，我国岁以下女童身高增长速度越来越慢．下列最能反映这种变化趋势的函数模型是（ ）． A． B． C． D． 4．某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表： 时间t 50 110 250 种植成本Q 150 108 150 根据上表数据，函数①，②，③，④．能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 题型四：建立拟合函数模型解决实际问题 1．“百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，某班主任根据历年学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个关于经过时间（单位：天）与增加总分数（单位：分）的函数模型为增分转化系数，为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，.已知某学生在“百日冲刺”前的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分为（ ） A．442 B．452 C．462 D．472 2．某地大气压强p（单位：kPa）与海拔h（单位：m）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，k为常数．已知某季节该地海拔为5000m，8000m两处的大气压强分别为54kPa，36kPa．下表为该地不同季节平均标准大气压强的范围，则此时该地为（ ） 季节 春季 夏季 秋季 冬季 （参考数据：，） A．春季 B．夏季 C．秋季 D．冬季 3．“九章三号”是中国科学家研制的光量子计算原型机，求解特定问题比超算快一亿亿倍．“九章三号”1微秒可算出的最复杂样本的速度与光量子的运动速度有很大关系．已知物体的运动速度与质量满足爱因斯坦的运动质量公式（表示物体的静止质量，c表示光速，v表示物体的运动速度），则（ ） A．当一个粒子的运动速度为0时，其静止质量为0 B．当一个粒子的运动速度为光速的时，其质量为静止质量的2倍 C．当一个粒子的运动速度接近光速时，其质量约为 D．当一个粒子的运动速度越大时，其质量越大 4．已知某微生物的种群数量与培养时间（单位：h）之间满足函数关系：，一次实验中发现，在一定环境下，当种群数量是初始种群数量的200倍时，将达到该环境的最大容纳量，在达到环境最大容纳量之前，需要实验人员提前进行人为干预，则该实验至多进行多少小时，需要实验人员的干预（，）（ ） A．11 B．12 C．13 D．14 题型四：利用二次函数模型解决实际问题 1．某公司在甲、乙两地销售某种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中为销售量（单位：辆） （1）当销售量在什么范围时，甲地的销售利润不低于乙地的销售利润； （2）若该公司在这两地共销售辆车，则甲、乙两地各销售多少量时？该公司能获得利润最大，最大利润是多少？ 2．某体育用品商场经营一批进价为40元的运动服,经市场调查发现销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数模型，且销售单价为60元时，销量是600件；当销售单价为64元时，销量是560件. (1)写出销售量y（件）与销售单价x(元)之间的函数关系式； (2)试求销售利润z（元）与销售单价x(元)之间的函数关系式； (3)在(1)(2)条件下,当销售单价为多少元时,商场能获得最大利润?并求出此最大利润. 3．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 4．2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 题型一：几何模型中的函数问题 1．某民居有一阁楼，现要在阁楼（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长为x（单位：米）. (1)求窗户的面积，并求的最大值； (2)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%.若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小是多少平方米？ 2．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)． (1)当时，求s的值； (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来； (3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由． 3．设矩形的周长为，其中，现将沿向折叠至的位置，折过去后交于点． (1)设，求关于的函数的解析式及其定义域； (2)求面积的最大值及相应的值． 4．如图，正方形的边长为2，E为边上的一点，．F为线段上的一点，，垂足为G，，垂足为H． (1)设，求：矩形的面积关于x的函数解析式及其定义域. (2)求：矩形的面积的最大值． 题型一：指数函数、对数函数模型的应用 1．《国家发展改革委等部门关于加强新能源汽车与电网融合互动的实施意见》中提出＂到2030年，我国车网互动技术标准体系基本建成，市场机制更加完善，车网互动实现规模化应用，智能有序充电全面推广＂.为此，某经营充电桩的公司调查了某地区在过去一年内（12个月），每月的充电桩总量（单位：个）与时间（单位：月）的部分数据如下表所示： （单位：月） 1 2 ⋯ 6 7 ⋯ （单位：个） 16 24 ⋯ 110 144 ⋯ (1)给出两个函数模型：与，请根据题干表格中第1，2月的数据，确定这两个函数模型对应的解析式； (2)在（1）的条件下，根据第6，7月数据，选出与监测数据差距较小的函数模型． 2．我们知道，声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播．在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强．但在实际生活中，常用声音的声强级来度量．为了描述声强级与声强之间的函数关系，经过多次测定，得到如下数据： 组别 1 2 3 4 5 6 7 声强 ① 声强级 10 13.01 14.77 16.02 20 40 ② 现有以下三种函数模型供选择：，，． (1)试根据前4组的数据选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述理由，并根据第1组和第5组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求解析式，结合表中已知数据，求出表格中①，②数据的值； (3)已知发电机的噪声声强级一般在，其声强为；电锯的噪声声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声声强级一般在，其声强为，试判断与的大小关系，并说明理由． 3．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关．经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感．某研究员在泡制茶水的过程中，每隔1min测量一次茶水温度，收集到以下数据： 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 85 79 73.6 68.74 64.34 60.24 设茶水温度从85°C开始，经过min后温度为℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律．现有以下两种函数模型供选择：①；② (1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式； (2)若茶水温度降至55°C时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ （参考数据：） 4．近几年，直播平台逐渐被越来越多的人们关注和喜爱．某平台从2021年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2024年，该平台会员每年年．末的人数如下表所示：（注：第4年数据为截止至2024年10月底的数据） 建立平台第年 1 2 3 4 会员人数（千人） 16 28 52 86 (1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台年后平台会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末会员人数： ①，②且，③且； (2)为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过千人，请根据（1）中你选择的函数模型求的最小值． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2实际问题中的函数模型 题型一：指数、对数、幂函数模型的增长差异 1．下列函数中，增长速度最慢的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用各个函数的增长规律特点判定. 【详解】根据指数函数，对数函数，幂函数，一次函数的增长差异，对数函数增长速度最慢， 故选：C. 2．下面对函数与在区间上的衰减情况的说法中正确的是（ ） A．的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越快 B．的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越慢 C．的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越慢 D．的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越快 【答案】C 【分析】画出的图象，观察图象即可判断. 【详解】在平面直角坐标系中画出与的图象如图所示， 由图象可判断出衰减情况为衰减速度越来越慢，衰减速度越来越慢． 故选：C. 3．对于任意，不等式都成立，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据指数函数、一次函数、对数函数的增长速度，结合特殊函数值及函数图象进行求解即可. 【详解】当时，令，解得，结合函数和的增长速度可知：当时，恒成立； 又的图象恒在图象的上方，即恒成立，则的最小值为1． 故选：A. 4．三个物体同时从同一点出发同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为，，，则下列结论中错误的是（ ） A．当时，总走在最前面 B．当时，总走在最前面 C．不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是 【答案】C 【分析】画出三函数的图象，结合三种类型函数的增长速度，数形结合得到结论. 【详解】在同一坐标系内画出，，的图象，如图所示， 当时，，，，且时，指数型函数增长速度最快， 对于A，D，当时，总走在最前面，A，D正确； 对于B，当时，由图象可知总走在最前面，B正确； 对于C，当时，，，此时走在最后面，故C错误． 故选：C. 题型二：根据实际问题增长率选择合适的函数模型 1．从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油（单位：）与速度（单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析表中数据根据单调性和定义域即可判断出最符合实际的函数模型． 【详解】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为；第二，在定义域单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点. 函数和在定义域内单调递减，不符合条件，故AC错误； 函数中0不在函数的定义域中，故D错误； B选项：满足上述三点，故B正确. 故选：B. 2．在一次数学实验中，小胡同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 3 5 7 9 11 13 21.01 21.11 21.99 30.03 101.96 749.36 在以下四个函数模型中，为常数，最能反映间函数关系的可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不同函数模型的增长速度可知指数函数符合题意. 【详解】根据表格提供数据可知，自变量变化量相同时，函数值增长越来越快， 即函数增长非常快，所以指数增长符合，即B选项符合. 故选：B. 3．卫生部年月发布的《中国岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国岁以下女童身高的中位数与年龄之间的关系如图所示，从图中可以看出，我国岁以下女童身高增长速度越来越慢．下列最能反映这种变化趋势的函数模型是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的增长速度可得合适的函数模型. 【详解】由图可知，随着的增长，的增长速度越来越慢，C选项中的函数模型较为合适. 故选：C. 4．某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表： 时间t 50 110 250 种植成本Q 150 108 150 根据上表数据，函数①，②，③，④．能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据表中数据，得到西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不是常函数，也不是单调函数判断. 【详解】解：根据上表数据，西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不是常函数，也不是单调函数， 而，，，在时，均为单调函数，这与所提供的数据不符， 故能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系是， 故选：B 题型四：建立拟合函数模型解决实际问题 1．“百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，某班主任根据历年学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个关于经过时间（单位：天）与增加总分数（单位：分）的函数模型为增分转化系数，为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，.已知某学生在“百日冲刺”前的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分为（ ） A．442 B．452 C．462 D．472 【答案】C 【分析】将代入，求出，再将代入求解即可. 【详解】由题意得， ， ， 该学生在高考中可能取得的总分约为. 故选：C. 2．某地大气压强p（单位：kPa）与海拔h（单位：m）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，k为常数．已知某季节该地海拔为5000m，8000m两处的大气压强分别为54kPa，36kPa．下表为该地不同季节平均标准大气压强的范围，则此时该地为（ ） 季节 春季 夏季 秋季 冬季 （参考数据：，） A．春季 B．夏季 C．秋季 D．冬季 【答案】D 【分析】根据已知函数模型结合指对数转化计算求解判断即可. 【详解】由题意，，所以，所以，， ， 所以，为冬季， 故选：D． 3．“九章三号”是中国科学家研制的光量子计算原型机，求解特定问题比超算快一亿亿倍．“九章三号”1微秒可算出的最复杂样本的速度与光量子的运动速度有很大关系．已知物体的运动速度与质量满足爱因斯坦的运动质量公式（表示物体的静止质量，c表示光速，v表示物体的运动速度），则（ ） A．当一个粒子的运动速度为0时，其静止质量为0 B．当一个粒子的运动速度为光速的时，其质量为静止质量的2倍 C．当一个粒子的运动速度接近光速时，其质量约为 D．当一个粒子的运动速度越大时，其质量越大 【答案】D 【分析】根据，令可判断A，令可判断B，当时，从而可判断C，由在上的单调性可判断D. 【详解】由得当一个粒子的运动速度为0时，，A错误； 设当一个粒子的运动速度为v时，其质量变为静止质量的2倍，即，得，B错误； 当时，，则，即粒子质量将变得非常大，C错误； 当时为关于v的增函数，故一个粒子的运动速度越大时，其质量越大，D正确． 故选：D. 4．已知某微生物的种群数量与培养时间（单位：h）之间满足函数关系：，一次实验中发现，在一定环境下，当种群数量是初始种群数量的200倍时，将达到该环境的最大容纳量，在达到环境最大容纳量之前，需要实验人员提前进行人为干预，则该实验至多进行多少小时，需要实验人员的干预（，）（ ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】由题意列出指数不等式，根据指数函数单调性以及指对互换、对数运算即可求解. 【详解】设至少经过小时，种群数量达到该环境的最大容纳量，即， 即，两边取对数可得， 所以， 所以至多经过13小时，该实验需要实验人员的干预． 故选：C. 题型四：利用二次函数模型解决实际问题 1．某公司在甲、乙两地销售某种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中为销售量（单位：辆） （1）当销售量在什么范围时，甲地的销售利润不低于乙地的销售利润； （2）若该公司在这两地共销售辆车，则甲、乙两地各销售多少量时？该公司能获得利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）当该公司在甲地销售辆、乙地销售辆或在甲地销售辆、乙地销售辆品牌车时，该公司所获利润最大，且最大利润为万元. 【分析】（1）解不等式，结合实际情况可得出销售量的取值范围； （2）设该公司在甲地销售品牌车辆，则在乙地销售品牌车辆，求出该公司所获利润关于的表达式，并得出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求出的最大值以及对应的的值. 【详解】（1）当甲地的销售利润不低于乙地的销售利润时，，即， 即，解得，由于， 所以，当销售量的范围是时，甲地的销售利润不低于乙地的销售利润； （2）设该公司在甲地销售品牌车辆，则在乙地销售品牌车辆，则且. 则该公司能获得利润， 所以，当或时，取最大值，即. 因此，当该公司在甲地销售辆、乙地销售辆或在甲地销售辆、乙地销售辆品牌车时，该公司所获利润最大，且最大利润为万元. 【点睛】本题考查二次函数模型的应用，涉及二次不等式以及二次函数最值的求解，将题意转化为与二次函数相关的问题求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 2．某体育用品商场经营一批进价为40元的运动服,经市场调查发现销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数模型，且销售单价为60元时，销量是600件；当销售单价为64元时，销量是560件. (1)写出销售量y（件）与销售单价x(元)之间的函数关系式； (2)试求销售利润z（元）与销售单价x(元)之间的函数关系式； (3)在(1)(2)条件下,当销售单价为多少元时,商场能获得最大利润?并求出此最大利润. 【答案】(1)；(2)；（3）当时，元. 【分析】（1）设出一次函数的解析式，代入两个已知条件列方程组，解方程组求得解析式. （2）用销售量乘以每件利润，求得销售利润. （3）利用配方法，求得当为何值时，利润最大，并求得最大利润. 【详解】（1）由于销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数模型，故设销售量y（件）与销售单价x(元)之间的函数关系式.依题意由，解得.所以. （2）销售量乘以每件利润得. （3）由（2）得.故当时，利润取得最大值为. 【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数解析式，考查二次函数最值的求法，考查生活中的数学应用，属于基础题. 3．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2) (3)当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 【分析】（1）根据已知条件列出关于的方程组求解出结果. （2）根据利润的计算公式分别考虑当，时的解析式，由此可求解出结果. （3）利用二次函数性质分析时的最大值，利用基本不等式分析时的最大值，由此可确定出结果. 【详解】（1）依题意，，所以. （2）当时，， 当时，， 所以所求函数解析式为. （3）当时，， 此时由二次函数单调性可知； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 因为， 所以当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 4．2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】(1)200万元 (2) (3)当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元 【分析】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，是以80元的单价出售，每件30元成本，且需要固定投入300万元，由此根据利润销售收入成本计算即可； （2）依题意，分三段：当时，当时，当时，写出函数解析式，其中，当时，需要设降价元，并用含的式子表示. （3）计算出各段函数的最大值进行比较.当时，根据一次函数的单调性求解最大值；当时，根据二次函数的最值求解最大值；当时，根据基本不等式求解最大值. 【详解】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，利润是万元. （2）当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以； 当时，； 所以. （3）由（2）知，当时，，函数单调递增， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是910万元. 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 题型一：几何模型中的函数问题 1．某民居有一阁楼，现要在阁楼（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长为x（单位：米）. (1)求窗户的面积，并求的最大值； (2)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%.若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小是多少平方米？ 【答案】(1)，，最大值为平方米 (2)x为米或米时，窗户面积最小，最小值为平方米 【分析】（1）设矩形的另一边长为y，利用三角形相似把用表示，可求，并由二次函数的性质求的最大值； （2）由题意列不等式求的最小值并求此时的值. 【详解】（1）设矩形的另一边长为y，由三角形相似得且，， 所以，即， 故窗户面积，， 故，， 所以当时，最大，最大值为平方米； （2）设地板面积为，解不等式组， 解得， 故当时，窗户面积最小， 此时由（1）可得或 故当x为米或米时，窗户面积最小，最小值为平方米 2．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)． (1)当时，求s的值； (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来； (3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由． 【答案】（1）24km（2）（3）沙尘暴发生30h后将侵袭到N城． 【分析】(1)根据图象,计算可得答案; (2)根据图像分三段写出函数解析式,再写成分段函数的形式; (3)根据分段函数解析式,计算出和时,函数的最大值,两个最大值都小于650,所以时,这场沙尘暴不会侵袭到N城,在时,令,解得即可得到答案. 【详解】解：（1）由图像可知，当时，，所以km． （2）当时，； 当时，； 当时， ． 综上可知，． （3）因为当时，， 当时，， 所以当时，令， 解得. 因为，所以． 故沙尘暴发生30h后将侵袭到N城． 3．设矩形的周长为，其中，现将沿向折叠至的位置，折过去后交于点． (1)设，求关于的函数的解析式及其定义域； (2)求面积的最大值及相应的值． 【答案】(1)定义域为； (2)的面积有最大值，此时cm. 【分析】（1）根据题意，，利用三角形全等以及勾股定理建立等量关系，即可得函数解析式及定义域； （2）表达出的面积，结合基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为矩形的周长为，，则， 又，即，又，， 易知≌，所以， 在中，根据勾股定理得，即， 整理得， 故，定义域为. （2）由题意， ，当且仅当时，等号成立. 所以，当时，的面积有最大值． 4．如图，正方形的边长为2，E为边上的一点，．F为线段上的一点，，垂足为G，，垂足为H． (1)设，求：矩形的面积关于x的函数解析式及其定义域. (2)求：矩形的面积的最大值． 【答案】(1) (2)当时，，当时， 【分析】（1）利用相似得到矩形边长，再求解面积解析式即可. （2）利用二次函数性质分析解析式，求解最值即可. 【详解】（1）如图，作，交于，交于， 因为，，所以，， 由得到，所以， 所以，故，解得， 所以， （2）设，由二次函数性质得当时， 在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 当时，在上单调递减，当时，， 综上当时，，当时，. 题型一：指数函数、对数函数模型的应用 1．《国家发展改革委等部门关于加强新能源汽车与电网融合互动的实施意见》中提出＂到2030年，我国车网互动技术标准体系基本建成，市场机制更加完善，车网互动实现规模化应用，智能有序充电全面推广＂.为此，某经营充电桩的公司调查了某地区在过去一年内（12个月），每月的充电桩总量（单位：个）与时间（单位：月）的部分数据如下表所示： （单位：月） 1 2 ⋯ 6 7 ⋯ （单位：个） 16 24 ⋯ 110 144 ⋯ (1)给出两个函数模型：与，请根据题干表格中第1，2月的数据，确定这两个函数模型对应的解析式； (2)在（1）的条件下，根据第6，7月数据，选出与监测数据差距较小的函数模型． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题设数据代值求解即可； （2）分别求出两个函数模型在第6，7月的数据，进而判断即可. 【详解】（1）函数与在内都是增函数， ①对于模型， 由表格可得函数过点，即解得 所以，． ②对于模型，同理可得解得 所以． （2）由（1）得模型， 当时，； 当时，． 模型， 当时，； 当时，． 比较可得，函数模型与监测数据差距较小． 2．我们知道，声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播．在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强．但在实际生活中，常用声音的声强级来度量．为了描述声强级与声强之间的函数关系，经过多次测定，得到如下数据： 组别 1 2 3 4 5 6 7 声强 ① 声强级 10 13.01 14.77 16.02 20 40 ② 现有以下三种函数模型供选择：，，． (1)试根据前4组的数据选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述理由，并根据第1组和第5组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求解析式，结合表中已知数据，求出表格中①，②数据的值； (3)已知发电机的噪声声强级一般在，其声强为；电锯的噪声声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声声强级一般在，其声强为，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②59.54. (3)，理由见解析 【分析】（1）根据表格中的数据进行分析，可排除一次函数和二次函数，再根据待定系数法，即可得到结果； （2）由（1），令，可求出I的值，即可知道①处的值；由已知时，，可求得，进而可求出当时D的值，进而求出②处的值； （3）设发电机噪声、电锯噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，由已知可得，代入关系式，即可判断与的大小关系． 【详解】（1）（1）选择． 由表格中的前4组数据可知，当自变量增加量为时，函数值的增加量不是同一个常数，所以不应该选择一次函数； 同时从第2组数据开始，当自变量的增加量为时，函数值的增加量从3.01变为1.76，后又变为1.25，函数值的增加量越来越小，也不应该选择二次函数, 故应选择． 由已知可得，即，解得， 所以解析式为． （2）由（1）知，令，可得，故①处应填； 由已知可得时，， 所以， 又当时，， 故②处应填59.54. （3）． 设发电机噪声、电锯噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为， 已知，，，故有， 所以， 因此，即，所以． 3．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关．经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感．某研究员在泡制茶水的过程中，每隔1min测量一次茶水温度，收集到以下数据： 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 85 79 73.6 68.74 64.34 60.24 设茶水温度从85°C开始，经过min后温度为℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律．现有以下两种函数模型供选择：①；② (1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式； (2)若茶水温度降至55°C时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ （参考数据：） 【答案】(1)因为随着时间的变化（变大），茶的温度越来越低，且不再升高，所以选择模型①；解析式为 (2). 【分析】（1）根据表中数据变化情况可知选用模型①符合，代入前三组数据，用待定系数法求得的值，即可得解析式； （2）根据（1）的解析式，将代入解析式求的值即可. 【详解】（1）由表中数据知，随着时间的变化（变大），茶的温度越来越低，但温度最多低至室内温度后，不再下降，也不再升高，因此选用模型①，代入前三组数据 解得，所以函数模型解析式为. （2）由（1）知，即，所以， ， 所以刚泡好的茶水大约需要放置7.5分钟才能达到最佳饮用口感. 4．近几年，直播平台逐渐被越来越多的人们关注和喜爱．某平台从2021年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2024年，该平台会员每年年．末的人数如下表所示：（注：第4年数据为截止至2024年10月底的数据） 建立平台第年 1 2 3 4 会员人数（千人） 16 28 52 86 (1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台年后平台会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末会员人数： ①，②且，③且； (2)为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过千人，请根据（1）中你选择的函数模型求的最小值． 【答案】(1)选择模型③，，100千人． (2)4． 【分析】（1）根据表格中的数据可选择模型③，将表格中的数据代入函数模型解析式，求出三个参数的值，即可得出函数模型解析式，再将代入函数模型解析式，即可得解；（2）由已知可得出，令，则，令，求出函数在区间上的最大值，即可得实数k的最小值. 【详解】（1）由表格中的数据可知，函数是一个增函数，且函数增长得越来越快，故选择模型③较为合适， 由表格中的数据可得，解得 所以，函数模型的解析式为， 令，预测2024年年末的会员人数为100千人． （2）由题意可得， 令，则， 令，，则函数的定义域上单调递增， 又关于在定义域上单调递减，根据复合函数的单调性，， 即．所以的最小值为4． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$