第5章 2.2 用函数模型解决实际问题-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（北师大版）

数学 必修 第一册(北师) 2.2　用函数模型解决实际问题 (教师独具内容) 课程标准：结合现实情境中的具体问题，会选择合适的函数模型来解决问题． 教学重点：用函数模型来解决实际问题． 教学难点：建立函数模型． 知识点　用函数模型解决实际问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得到数学结论． (4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中． 可将这些步骤用框图表示如下： 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述．(　　) (2)某种商品2024年提价25%，2025年要恢复原价则应降价25%.(　　) (3)函数y＝·3x＋1属于幂函数模型．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的关系用图象表示为图中的(　　) (2)某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的关系可以表示为________． (3)某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，则汽车离开A地的距离y(单位：千米)是时间t(单位：小时)的函数，该函数的解析式是________． 答案：(1)B　(2)y＝2x＋1 (3)y＝ 题型一　用一次函数模型解决实际问题 　为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示． (1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式； (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜． [解]　(1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1＝k1x＋29，y2＝k2x，得k1＝，k2＝. ∴y1＝x＋29(x≥0)，y2＝x(x≥0)． (2)令y1＝y2， 即x＋29＝x， 则x＝96. 当x＝96时，y1＝y2，两种卡收费一致； 当x<96时，y1>y2，使用“便民卡”便宜； 当x>96时，y1<y2，使用“如意卡”便宜． 【感悟提升】　利用一次函数模型解决实际问题时需注意的两点 (1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法． (2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数． 【跟踪训练】 1．某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km，之后以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式，并求离开北京2 h时火车行驶的路程． 解：因为火车匀速行驶的总时间为(277－13)÷120＝(h)，所以0≤t≤. 因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t km，所以火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式为 s＝13＋120t. 离开北京2 h时火车匀速行驶的时间为2－＝(h)，此时火车行驶的路程s＝13＋120×＝233(km)． 题型二　用二次函数模型解决实际问题 　某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下关系： 销售单价x 30 40 45 50 日销售量y 60 30 15 0 　　(1)在平面直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y关于x的一个函数关系式y＝f(x)； (2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润． [解]　(1)在平面直角坐标系中画出各点，如图． 这些点近似地分布在一条直线上，猜想y与x之间的关系为一次函数关系，设y＝kx＋b(k≠0，且k，b为常数)， 则解得 ∴y＝－3x＋150，经检验，点(45，15)，点(50，0)也在此直线上． ∴y与x之间的函数解析式为y＝－3x＋150(30≤x≤50)． (2)由题意，得P＝(x－30)(－3x＋150)＝－3x2＋240x－4500＝－3(x－40)2＋300(30≤x≤50)． ∴当x＝40时，P有最大值300. 故销售单价为40元时，日销售利润最大． 【感悟提升】　用二次函数模型解决实际问题的四个步骤 (1)审题：理解题意，设定变量x，y； (2)建模：建立二次函数关系，并注明定义域； (3)解模：运用二次函数相关知识求解； (4)结论：回归到应用问题中去，给出答案． 【跟踪训练】 2.有l米长的钢材，要做成如图所示的窗框(钢材恰好用完)：上半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所通过的光线最多？并求出窗户面积的最大值． 解：设小矩形的长为x，宽为y，窗户的面积为S， 则由图可得9x＋πx＋6y＝l， 所以6y＝l－(9＋π)·x， 所以S＝x2＋4xy＝x2＋x·[l－(9＋π)·x] ＝－x2＋lx ＝－·＋. 要使窗户所通过的光线最多，只需窗户的面积S最大． 由6y>0，得0<x<. 因为0<<， 所以当x＝，y＝＝， 即＝时，窗户的面积S有最大值，且Smax＝. 题型三　用幂函数模型解决实际问题 　在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比． (1)写出R关于r的函数解析式； (2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的表达式； (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量(精确到1 cm3/s)． [解]　(1)由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数)． (2)由r＝3 cm，R＝400 cm3/s， 得k·34＝400， ∴k＝， ∴流量R的表达式为R＝r4. (3)∵R＝r4， ∴当r＝5 cm时，R＝×54≈3086(cm3/s)． 【感悟提升】　利用幂函数模型解决实际问题的一般步骤 (1)设出函数关系式． (2)利用待定系数法求出函数关系式． (3)根据题意，利用得出的函数关系式解决问题． 【跟踪训练】 3．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元． (1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式； (2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？ 解：(1)设两类产品的收益与投资额x的函数关系式分别为f(x)＝k1x(x≥0)，g(x)＝k2(x≥0)， 结合已知得f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2， 所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)． (2)设投资稳健型产品x万元，则投资风险型产品(20－x)万元，依题意得获得收益为y＝f(x)＋g(20－x)＝＋(0≤x≤20)，令t＝(0≤t≤2)，则x＝20－t2，所以y＝＋＝－(t－2)2＋3，所以当t＝2，即x＝16时，y取得最大值，ymax＝3. 故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是3万元． 题型四　用指数型函数模型解决实际问题 　目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题： (1)写出y关于x的函数解析式； (2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)． [解]　(1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)； 当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2； 当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3； …… 故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N＋)． (2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7. 故10年后该县约有112.7万人． (3)设x年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1.2%)x＝120，解得x＝log1.012≈15.3. 因为x为年份，根据实际意义知，大约16年后该县的人口总数将达到120万． 【感悟提升】　可以用指数型函数模型来解决的几类问题 在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等问题常可以用指数型函数模型来解决．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 【跟踪训练】 4．灌满开水的热水瓶放在室内，如果瓶内开水原来的温度是θ1度，室内气温是θ0度，t分钟后，开水的温度可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，这里，k是一个与热水瓶类型有关的正的常量．现有一只某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100 ℃，过1小时后又测得瓶内水温变为98 ℃.已知某种奶粉必须用不低于85 ℃的开水冲调，现用这种类型的热水瓶在早上六点灌满100 ℃的开水，问：能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述奶粉？(假定该地白天室温为20 ℃) 解：根据题意，有98＝20＋(100－20)e－60k， 整理得e－60k＝. 利用计算器，解得k≈0.000422. 故θ＝20＋80e－0.000422t. 从早上六点至中午十二点共过去6小时，即360分钟． 当t＝360时，θ＝20＋80e－0.000422×360＝20＋80e－0.15192， 由计算器算得θ≈88.7 ℃>85 ℃， 即能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述奶粉． 题型五　用对数型函数模型解决实际问题 　我们知道，人们对声音有着不同的感觉，这与它的强度有关系，声音的强度用I瓦/平方米(W/m2)表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平LI表示，它们满足以下公式： LI＝10·lg (单位为分贝，LI≥0，其中I0＝1×10－12，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)． 回答以下问题： (1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W/m2，耳语声的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m2，试分别求出它们的强度水平； (2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下．试求声音强度I的范围． [解]　(1)由题意可知树叶沙沙声的强度是I1＝1×10－12 W/m2，则＝1，∴LI1＝10×lg 1＝0，即树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是I2＝1×10－10 W/m2，则＝102，∴LI2＝10×lg 102＝20，即耳语声的强度水平为20分贝；恬静的无线电广播的强度是I3＝1×10－8 W/m2，则＝104，∴LI3＝10×lg 104＝40，即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝． (2)由题意知0≤LI<50，即0≤10lg <50， ∴1≤<105，即10－12≤I<10－7. 故新建的安静小区的声音强度I大于或等于10－12 W/m2，小于10－7 W/m2. 【感悟提升】　利用对数型函数模型解决实际问题的规律总结 有关对数型函数模型的实际问题，一般都会给出函数关系式中的变量，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据所求值回答实际问题． 【跟踪训练】 5．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为v m/s，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究发现v与log3成正比，且当Q＝900时，v＝1. (1)求v关于Q的函数解析式； (2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数． 解：(1)设v＝k·log3，k>0.因为当Q＝900时，v＝1，所以1＝k·log3，解得k＝，故v关于Q的函数解析式为v＝log3(Q>0)． (2)由(1)知v＝log3，令v＝1.5， 则1.5＝log3，解得Q＝2700. 因此一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数为2700. 题型六　用分段函数模型解决实际问题 　提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． (1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大？并求出最大值(精确到1辆/小时)． [解]　(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60； 当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b(a≠0)， 由已知得解得 故函数v(x)的表达式为 v(x)＝ (2)依题意并结合(1)可得 f(x)＝ 当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，f(x)在区间[0，20]上取得最大值60×20＝1200； 当20<x≤200时，f(x)＝x(200－x)＝－(x－100)2＋≤，当且仅当x＝100时，等号成立． 所以当x＝100时，f(x)在区间(20，200]上取得最大值. 综上可得，当x＝100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值≈3333. 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 【感悟提升】　解决分段函数问题需注意的几个问题 (1)所有分段的区间的并集就是分段函数的定义域． (2)求分段函数的函数值时，先要弄清自变量在哪个区间内取值，然后再用该区间上的解析式来计算函数值． (3)求分段函数的最值时，先求函数在每一段范围内的最值，然后比较这几个最值的大小，最后求出分段函数的最值． 【跟踪训练】 6．为了预防流感病毒，某学校对教室用过氧乙酸熏蒸进行消毒．已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝(a为常数)，如图所示． (1)从药物释放开始，写出y与t的函数关系式； (2)据测定，当教室空气中的含药量降低到每立方米0.25毫克以下时，学生可进教室，问这次消毒多久后学生才能回到教室？ 解：(1)由图象可知，当0≤t≤0.1时，y＝10t； 当t＝0.1时，由1＝，得a＝0.1， ∴当t>0.1时，y＝. ∴y＝ (2)由题意可知，<0.25，解得t>0.6，即这次消毒0.6×60＝36(分钟)后，学生才能进教室． 1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　) A．310元 B．300元 C．390元 D．280元 答案：B 解析：由图象知，该一次函数过(1，800)，(2，1300)，可求得其解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300. 2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　) A．45.606万元 B．45.6万元 C．45.56万元 D．45.51万元 答案：B 解析：依题意，可设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆，故总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15)，∴对称轴为直线x＝10.2，又x∈N＋，∴当x＝10时，Smax＝45.6. 3．某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为(　　) A．300只 B．400只 C．500只 D．600只 答案：A 解析：由题意，知100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，则当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.故选A. 4.如图所示，由桶1向桶2倒水，开始时，桶1中有a L水，桶2中无水，t分钟后，桶1中剩余水为y1 L，满足函数关系式y1＝ae－nt，假设经过5分钟，桶1和桶2中的水一样多，则再过________分钟，桶1中的水只有 L. 答案：10 解析：由题意可得ae－5n＝，n＝ln 2，令ae－tln 2＝，解得t＝15，所以再过10分钟，桶1中的水只有 L. 5．医院通过撒某种药物对病房进行消毒．已知开始撒放这种药物时，浓度激增，中间有一段时间，药物的浓度保持在一个理想状态，随后药物浓度开始下降．若撒放药物后3小时内的浓度变化可用下面的函数表示，其中x表示时间(单位：小时)，f(x)表示药物的浓度： f(x)＝ (1)撒放药物多少小时后，药物的浓度最高？能维持多长时间？ (2)若需要药物浓度在41.75以上消毒1.5小时，那么在撒放药物后，能否达到消毒要求？并简要说明理由． 解：(1)当0<x≤1时，f(x)＝－x2＋4x＋40＝－(x－2)2＋44， ∴f(x)在(0，1]上单调递增，其最大值为f(1)＝43； f(x)在(2，3]上单调递减，故当2<x≤3时，f(x)<－3×2＋48＝42. 因此，撒放药物1小时后，药物的浓度最高为43，并维持1小时． (2)当0<x≤1时，令f(x)＝41.75， 即－(x－2)2＋44＝41.75， 解得x＝3.5(舍去)或x＝0.5； 当2<x≤3时，令f(x)＝41.75， 即－3x＋48＝41.75， 解得x≈2.08. 因此药物浓度在41.75以上的时间为2.08－0.5＝1.58小时， ∴撒放药物后，能够达到消毒要求． 课后课时精练 一、选择题 1．某厂生产中所需一些配件可以外购，也可以自己生产．如果外购，每个配件的价格是1.10元；如果自己生产，则每月的固定成本将增加800元，并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元，则决定此配件外购或自产的转折点(即生产多少件以上自产合算)是(　　) A．1000件 B．1200件 C．1400件 D．1600件 答案：D 解析：设生产x件时自产合算，由题意，得1.1x≥800＋0.6x，解得x≥1600.故选D. 2．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是(　　) A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16 答案：D 解析：由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60.将c＝60代入＝15，解得A＝16. 3．衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝ae－kt，新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为(　　) A．75 B．100 C．125 D．150 答案：A 解析：由题意，得a＝ae－50k，解得e－25k＝.令ae－kt＝a，即e－kt＝＝(e－25k)3＝e－75k，∴t＝75，即需经过的天数为75. 4．我国独创的视力记录法(缪氏记录法)，将正常视力规定为5分，无光感规定为0，使所有视力等级连成一个完整的数字系统.5分记录是以5分减去视角的对数值表达视力，若用公式表达，则为L＝5－tlg α，已知近视力表最大视标的视角为100′，此时α＝102，L＝3.0，则α＝10－0.1时，L＝(　　) A．4.9 B．5.0 C．5.1 D．5.2 答案：C 解析：因为α＝102时，L＝3.0，所以3＝5－tlg 100，解得t＝1，所以L＝5－lg α，将α＝10－0.1代入上式，可得L＝5－lg 10－0.1＝5＋0.1＝5.1. 5．(多选)某食品的保鲜时间t(单位：小时)与存储温度x(单位：℃)满足函数关系t＝且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗忘在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时 B．当x∈[－6，6]时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少 C．到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内 D．到了此日14时，甲所购买的食品已经过了保鲜时间 答案：AD 解析：因为食品的保鲜时间t(单位：小时)与存储温度x(单位：℃)满足函数关系t＝且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时，所以24k＋6＝16，即4k＋6＝4，解得k＝－，所以t＝当x＝6时，t＝8，故该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时，A正确；当x∈[－6，0]时，保鲜时间恒为64小时，当x∈(0，6]时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少，故B错误；当x＝10时，t＝2，所以该食品在超过10 ℃的环境中最多存储2小时，而11～13时，温度超过10 ℃，故到此日13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故C错误；到了此日14时，甲所购买的食品已经过了保鲜时间，故D正确．故选AD. 二、填空题 6．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y(km)与刹车时的速度x(km/h)的关系可以用y＝ax2来描述，已知这种型号的汽车在速度为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为b km.若一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b km，则这辆车的行驶速度为________ km/h. 答案：60 解析：由题意得a×602＝b，解得a＝，所以y＝x2.因为y＝3b，所以x2＝3b，解得x＝－60(舍去)或x＝60，所以这辆车的行驶速度是60 km/h. 7．近年来，中国加大了电动汽车的研究与推广，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．已知蓄电池的容量C(单位：A·h)、放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式为C＝，其中n＝log2.在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝8 A时，放电时间t＝108 h，则当放电电流I＝12 A时，放电时间为________． 答案：54 解析：由题意得C＝，当I＝12 A时，则＝，所以＝＝＝＝2，所以t＝54. 8．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝L0D，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为________．(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771) 答案：481 解析：由于L＝L0D，所以L＝0.5×D，依题意得0.45＝0.5×D，解得D＝，则L＝0.5×，由L＝0.5×<0.05，得<，lg <lg ，lg <－1，G·(lg 9－lg 10)<－22，G·(lg 10－lg 9)>22，G>，G>≈＝≈480.35，所以所需的训练迭代轮数至少为481. 三、解答题 9．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)． (1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式； (2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 解：(1)由题意， 得y＝ (2)由题意知1.5＋2log5(x－14)＝5.5， 2log5(x－14)＝4，log5(x－14)＝2， 所以x－14＝52，解得x＝39. 所以老张的销售利润是39万元． 10．某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间(包含0.55元和0.75元)，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)(元)成反比，且当x＝0.65时，y＝0.8. (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若每度电的成本为0.3元，则电价调至多少时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%？(收益＝用电量×(实际电价－成本价)) 解：(1)因为y与(x－0.4)成反比， 所以可设y＝(k≠0)， 把x＝0.65，y＝0.8代入上式， 得0.8＝， 解得k＝0.2，所以y＝＝， 所以y与x之间的函数关系式为y＝(0.55≤x≤0.75)． (2)根据题意，得(x－0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)， 整理得x2－1.1x＋0.3＝0， 解得x＝0.5(舍去)或x＝0.6， 所以当电价调至0.6元时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%. 11．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．旅行社需付给航空公司包机费每团15000元． (1)写出每张飞机票的价格y(单位：元)关于人数x(单位：人)的函数关系式； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ 解：(1)由题意， 得y＝ 即y＝ (2)设旅行社获利S(x)元，则 S(x)＝ 即S(x)＝ 因为S(x)＝900x－15000在区间(0，30]上单调递增， 所以当x＝30时，S(x)取最大值12000元， 又S(x)＝－10(x－60)2＋21000在区间(30，75]上先增后减， 所以当x＝60时，S(x)取得最大值21000. 故当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润． 12．近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)间的关系为P(t)＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5 h过滤后还剩余90%的污染物． (1)求常数k的值； (2)试计算污染物减少到40%至少需要多长时间．(精确到1 h，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11) 解：(1)由已知得，当t＝0时，P＝P0； 当t＝5时，P＝90%P0. 于是有90%P0＝P0e－5k， 解得k＝－ln 0.9(或k≈0.022)． (2)由(1)，知P＝，当P＝40%P0时，有0.4P0＝， 解得t＝≈＝≈42. 故污染物减少到40%至少需要42小时． 1 学科网（北京）股份有限公司 $