5.2.1实际问题的函数刻画 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

**基本信息** 围绕“实际问题的函数刻画”，通过基础巩固、中档提升、拔高综合三层设计，覆盖一次函数、指数对数函数、分段函数等模型，从单一应用到复杂情境递进，适配新授课知识内化与建模能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一函数模型应用（一次函数、图像识别、数据拟合）|如1题成本利润计算，强化概念理解与基本运算，培养抽象能力| |中档|函数模型综合应用（多变量分析、指数对数模型）|如5题多水口蓄水量分析，结合图像与函数变化，发展推理意识| |拔高|复杂情境建模（分段函数与最值、跨知识整合）|如15题房屋造价模型，融合抛物线与线性函数，提升模型观念与应用意识|

2.1　实际问题的函数刻画 1.某厂日产手套的总成本y（元）与日产量x（双）之间的关系式为y＝5x＋40 000.若手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本，至少日产手套（　　） A.2 000双　　　　　 B.4 000双 C.6 000双　 D.8 000双 2.如图是张大爷晨练时离家距离（y）与行走时间（x）之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是（　　） 3.某学校开展研究学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据： x 1.99 3 4 5.1 8 y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 如下四个模拟函数，能近似地反映这些数据的规律的是（　　） A.y＝0.58x－0.16　 B.y＝2x－3.02 C.y＝x2－5.5x＋8　 D.y＝log2x 4.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况. 加油时间 加油量/升 加油时的累计里程/千米 2024年5月1日 12 35 000 2024年5月15日 48 35 600 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（　　） A.6升　　 B.8升　　C.10升　　 D.12升 5.（多选）一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示.已知某天0点到6点，该水池至少打开一个水口，且水池的蓄水量如图丙所示，则下列判断正确的有（　　） A.0点到3点只打开了两个进水口 B.3点到4点三个水口都打开 C.4点到6点只打开了一个出水口 D.0点到6点至少打开了一个进水口 6.一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是　　　　. 7.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a（a为常数），广告效应为D＝a－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为　　　　.（用常数a表示） 8.已知某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍，且病毒的繁殖规律为y＝ekt（其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数），则k＝　　　，经过5小时，1个病毒能繁殖　　　　个. 9.科学家发现某种特别物质的温度y（单位：摄氏度）随时间x（时间：分钟）的变化规律满足关系式：y＝m·2x＋21－x（0≤x≤4，m＞0）.如果该物质温度总不低于2摄氏度，则m的取值范围是　　　　. 10.为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月（30天）的通话时间x（min）与通话费用y（元）的大致关系如图①、图②所示.（通话时长不足1 min按1 min计费） （1）分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数关系式； （2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜. 11.国家速滑馆又称“冰丝带”，是2022年北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量N（mg/L）与时间t的关系为N＝N0e－kt（N0为最初污染物数量）.如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要（　　） A.3.6小时　 B.3.8小时 C.4小时　 D.4.2小时 12.某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%.现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的最少过滤次数为（参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）（　　） A.6　 B.9 C.8　 D.7 13.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表： 强度x（J） 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019 震级y（里氏） 5.0 5.2 5.3 5.4 注：地震强度是指地震时释放的能量. 地震强度（x）和震级（y）的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b（其中a，b为常数），则a＝　　　　.（取lg 2≈0.3进行计算） 14.某种商品在30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系如图所示，该商品在30天内日销售量Q（件）与时间t（天）之间的关系如下： t（天） 5 15 20 30 Q（件） 35 25 20 10 （1）根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式； （2）在平面直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对（t，Q）的对应点，并确定日销售量Q与时间t的函数关系式； （3）求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？（日销售金额＝每件的销售价格×日销售量） 15.房屋造价（元/m2）与建筑层数有关，可表示为一般造价（元/m2）乘上层数系数λ.根据经验数据，绘出层数系数λ与层数n的关系，如图所示，其中2层～5层的建筑由于共用地基和层顶等原因，λ随层数增加沿抛物线下降，而5层～8层及以上的建筑则由于防震、防风等因素需增加成本，λ随层数增加而增加. （1）请根据所给图与表格建立λ随层数n增加而改变的函数关系式，并将表中数据填完整； n 1 2 3 4 5 6 7 8 λ 1.08 1.03 1 1.08 1.17 1.26 （2）某单位为建造楼房筹集资金100万元，用于支付房屋造价和土地使用权购置费，若一般造价为800元/m2，土地价为300元/亩（1亩＝ m2），试利用（1）中的条件求该单位最多能建房多少平方米.（精确到1 m2） 2.1　实际问题的函数刻画 1.D　由5x＋40 000≤10x，得x≥8 000，即至少日产手套8 000双才不亏本. 2.D　由y与x的关系知，在中间时间段y值不变，只有D符合题意. 3.D　根据题中数据画出散点图如图所示. 由图可知上述散点大体分布在函数y＝log2x的图象的附近，故函数y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律. 4.B　因为第一次（2024年5月1日）把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶路程为35 600－35 000＝600（千米），耗油48升，所以每100千米的平均耗油量为8升. 5.ABD　由甲、乙图知：每个进水口进水速度为1，每个出水口出水速度为2，对于A：由丙图知：0点到3点蓄水量增加6，所以只打开了两个进水口，只进水不出水，故正确；对于B：3点到4点蓄水量不变，说明三个水口都打开进出一样多蓄水量不变，故正确；对于C：4点到6点蓄水量减少2，说明每个小时减少1，所以打开了一个进水口和一个出水口，故不正确；对于D：由选项A、B、C的分析可知，0点到6点至少打开了一个进水口，故选项D正确.故选A、B、D. 6.－1　解析：设每月的产量增长率为x，1月份产量为a，则a（1＋x）11＝ma，所以1＋x＝，即x＝－1. 7.a2　解析：令t＝（t≥0），则A＝t2，所以D＝at－t2＝－＋a2.所以当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值. 8.2ln 2　1 024　解析：当t＝0.5时，y＝2，∴2＝，∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024. 9.　解析：由题意得m·2x＋21－x≥2对一切0≤x≤4恒成立，则由m·2x＋21－x≥2，得出m≥－，令t＝2－x，则≤t≤1，且m≥2t－2t2，构造函数f（t）＝2t－2t2＝－2＋，所以当t＝时，函数y＝f（t）取得最大值，则m≥.因此，实数m的取值范围是. 10.解：（1）由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B（30，35），C（30，15）分别代入y1，y2，得k1＝，k2＝. ∴y1＝x＋29（x≥0），y2＝x（x≥0）. （2）令y1＝y2，即x＋29＝x，则x＝96. 当x≤96时，y1＞y2，即“便民卡”便宜； 当x≥97时，y1＜y2，即“如意卡”便宜. 11.C　由题意可得N0e－4k＝N0，可得e－4k＝，设N0e－kt＝0.64N0＝N0，可得e－kt＝（e－4k）2＝e－8k，解得t＝8.因此，污染物消除至最初的64%还需要4小时.故选C. 12.C　设经过n次过滤，产品达到市场要求，则×≤，即≤，即nlg ≤－lg 20，即n（lg 2－lg 3）≤－（1＋lg 2），得n≥≈7.4，故选C. 13.　解析：由记录的部分数据，可知当x＝1.6×1019时，y＝5.0，当x＝3.2×1019时，y＝5.2.则由②－①得0.2＝alg ，即0.2＝alg 2.所以a＝≈＝. 14.解：（1）根据图象，每件的销售价格P与时间t的函数关系式为P＝ （2）描出实数对（t，Q）的对应点（如图）. 从图中可以发现，点（5，35），（15，25），（20，20），（30，10）基本分布在一条直线上，假设这条直线为l：Q＝kt＋b.由点（5，35），（30，10）确定出直线l的解析式为Q＝－t＋40，通过检验可知：点（15，25），（20，20）也在直线l上.所以日销售量Q与时间t的函数关系式为Q＝－t＋40（0＜t≤30，t∈N＋）. （3）设日销售金额为y（元），则 y＝P×Q＝ ＝ 若0＜t＜25，t∈N＋，则当t＝10时，ymax＝900； 若25≤t≤30，t∈N＋，则当t＝25时，ymax＝1 125.由1 125＞900，知ymax＝1 125. 故这种商品日销售金额的最大值为1 125元，30天中的第25天的日销售金额最大. 15.解：（1）由已知， ①当2≤n≤5，n∈N＋时，λ＝f（n）的图象为抛物线上的一些孤立的点，所以设λ＝an2＋bn＋c（a≠0）， 将（2，1.08），（3，1.03），（4，1）代入，得 解得 所以λ＝0.01n2－0.1n＋1.24. ②当5＜n≤8，n∈N＋时，观察图形，三点似乎在同一条直线上，所以设λ＝kn＋d（k≠0）， 将（6，1.08）和（8，1.26）代入， 得解得 所以λ＝0.09n＋0.54，通过验证知（7，1.17）正好在此直线上. 综上，λ＝ 其中n∈N＋. 把n＝5代入上式，得λ＝0.99，又由图得n＝1时，λ＝1.25. 将1.25，0.99填入表中的对应格里即可（表略）. （2）设所建楼房占地面积为x m2，由（1）知， 当n＝5时，造价最低，此时λ＝0.99， 故总建房面积为5x m2，其总造价为0.99×800×5x＋×300， 由已知，1 000 000＝0.99×800×5x＋x，解得5x≈1 262， 即该单位最多可建房1 262 m2. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $