5.2.1实际问题的函数刻画课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

该高中数学课件聚焦“实际问题的函数刻画”，通过复利计算、龟兔赛跑等现实情境导入，引导学生从变量关系中抽象函数模型，构建“情境识别—数据拟合—模型选择（一次、二次、指数函数）—应用验证”的学习支架。 其亮点在于以数学建模为核心，结合数学眼光（从生活现象提取数量关系）、数学思维（推理函数性质与最值），通过典型例题（如车管站保管费计算、旅游人数折线图分析）和通性通法总结，培养学生用数学语言表达现实问题的能力。学生能提升实际应用与建模素养，教师可获得系统的教学资源与方法支持。

2.1　实际问题的函数刻画 新课程标准解读 核心素养 在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问 题的变化规律 数学建模 目录 数学·必修第一册（BSD） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100 元，40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长，指数函数 值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例 如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为 a 元，每期的利率为 r ，设 本利和为 y ，存期为 x ，那么要知道存一定期限之后所得的本利和， 就要写出本利和 y 随着存期 x 变化的函数式.假设存入的本金为1 000 元，每期的利率为2.25%. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【问题】　五期后的本利和是多少？ ⁠ ⁠ ⁠ 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点　实际问题的函数刻画 1. 在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，当面对的实际问题中 存在几个变量，并且它们之间具有依赖关系时，我们往往用函数对 其进行刻画.函数刻画的方法可以使用图象，但常见的还是使用解 析式. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标 系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种 函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达 式，求出具体的函数解析式，再做必要的检验，基本符合实际，就 可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合. 在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过实验，得到 数据，再通过数据拟合得到的. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）先有实际问题，后有模型. （　√　） （2）一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地 推演和预测. （　√　） （3）当自变量变化时，函数值的增长速度越来越快，那么该函数 关系一定用指数函数模型来刻画. （　×　） √ √ × 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 某同学最近5年内的学习费用 y （千元）与时间 x （年）的关系如图 所示，则可选择的模拟函数模型是（　　） A. y ＝ ax ＋ b B. y ＝ ax2＋ bx ＋ c C. y ＝ a e x ＋ b D. y ＝ a ln x ＋ b 解析：　因为图中的点基本分布在一条抛物线上，所以可选择的 函数模型应为二次函数，故选B. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 某商品进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售 单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的 最佳售价应为每个 元. 解析：设涨价 x 元，销售的利润为 y 元，则 y ＝（50＋ x －45）（50 －2 x ）＝－2 x2＋40 x ＋250＝－2（ x －10）2＋450，所以当 x ＝ 10，即销售价为60元时， y 取得最大值. 60　 目录 数学·必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 解析式法刻画函数关系 【例1】　车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆 次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每辆一次 0.3元. （1）若设自行车停放的辆次为 x ，总的保管费收入为 y 元，试写出 y 关于 x 的函数关系式； 解：由题意得 y ＝0.3 x ＋0.5（3 500－ x ）＝－0.2 x ＋1 750（ x ∈N＋且0≤ x ≤3 500）. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）若估计前来停放的3 500辆次自行车和电动车中，电动车的辆次 数不小于25%，但不大于40%，试求该车管站这个星期日收入保 管费总数的范围. 解：若电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，则3 500× （1－40%）≤ x ≤3 500×（1－25%）， 即2 100≤ x ≤2 625. 根据函数 y ＝－0.2 x ＋1 750（2 100≤ x ≤2 625）的图象（图 略），可得函数 y ＝－0.2 x ＋1 750（2 100≤ x ≤2 625）的值域 是[1 225，1 330]，即收入在1 225元至1 330元之间. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 1. 一次函数模型的实际应用 应用一次函数模型时，应本着“问什么，设什么，列什么”这 一原则. 2. 一次函数的最值求解 一次函数求最值，常转化为求解不等式 ax ＋ b ≥0（或 ax ＋ b ≤0），解答时，注意系数 a 的正负，也可以结合函数图象或其单 调性来求最值. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出 13 km，之后以120 km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程 s 与匀速行驶的时间 t 之间的函数关系式，并求离开北京2 h 时火车行驶 的路程. 目录 数学·必修第一册（BSD） 解：因为火车匀速行驶的总时间为（277－13）÷120＝ （h），所 以0≤ t ≤ . 因为火车匀速行驶 t h所行驶的路程为120 t km，所以火车行驶的总路 程 s 与匀速行驶的时间 t 之间的函数关系式为 s ＝13＋120 t . 离开北京2 h时火车匀速行驶的时间为2－ ＝ （h），此时火车行驶 的路程 s ＝13＋120× ＝233（km）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【例2】　（1）“龟兔赛跑”是一则经典故事：兔子与乌龟在赛道上 赛跑，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当它醒来后看 到乌龟已经领先了，因此它用更快地速度去追，结果还是乌龟先到了 终点，请根据故事选出符合的路程—时间图象（　C　） 解析：由故事内容知乌龟先达到终点，兔子醒来乌龟未达到终点，且 兔子后来的速度更快，故选C. C 题型二 图表法刻画函数关系 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）如图，是三个底面半径均为1，高分别为1，2，3的圆锥、圆柱型容器，现同时分别向三个容器中注水，直到注满为止，在注水的过程中，保证水面高度平齐，且匀速上升，记三个容器中水的体积之和为 V ＝ V （ h ）， h 为水面的高，则函数 V ＝ V （ h ）的大致图象为（　B　） B 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：由题得，三个容器同时注水时，由于圆锥同样高度注水 体积越来越大，即此过程体积 V （ h ）增加速度越来越快，排除 C、D，圆锥注满水后，体积匀速增加，在矮圆柱注满水以前体 积 V （ h ）增加速度要大于矮圆柱注满水以后的速度，即矮圆柱 注满水以前的所在直线斜率大，故选B. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 　　当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变 化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符 合实际的情况，选择出符合实际情况的答案. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整 理了2021年1月至2023年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数 据，绘制了下面的折线图： 目录 数学·必修第一册（BSD） A. 月接待游客量逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加 C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变 化比较平稳 解析：　通过题图可知A不正确，并不是逐月增加，但是每一年是 递增的，所以B正确.从图观察C是正确的，D也正确，1～6月比较平 稳，7～12月波动比较大.故选A. 根据该折线图，下列结论错误的是（　　） 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型三 已知函数模型的实际应用问题 【例3】　灌满水的热水瓶放在室内，如果瓶内水原来的温度是θ1 ℃，室内气温是θ0 ℃， t min后，水的温度可由公式θ＝θ0＋（θ1 －θ0）e－ kt 求得，其中， k 是一个与热水瓶类型有关的正的常量.现有 一个某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100 ℃，1 h后又测得瓶内水 温变为98 ℃.已知某种茶叶必须用不低于85 ℃的水冲泡，现用这个热 水瓶在早上六点灌满100 ℃的水，问：能否在这一天的中午十二点用 瓶内的水来冲泡这种茶叶？（假定该地白天室温为20 ℃） 目录 数学·必修第一册（BSD） 解：根据题意，有98＝20＋（100－20）e－60 k ， 整理得e－60 k ＝ ， 利用计算器，算得 k ≈0.000 42. 故θ＝20＋80e－0.000 42 t . 从早上六点到这一天的中午十二点共经过6 h，即360 min. 当 t ＝360时，θ＝20＋80e－0.000 42×360≈89. 因为89 ℃＞85 ℃， 所以能在这一天的中午十二点用瓶内的水来冲泡这种茶叶. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 　　某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为 x ，因变 量为 y ，它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际 问题的答案.具体解题步骤为： 　　第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型，了解变量的含 义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法 确定； 　　第二步，求解数学模型，利用数学知识，如函数的单调性、最值 等，对函数模型进行解答； 　　第三步，转译成实际问题的解. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 某辆汽车以 x km/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行 车安全，要求60≤ x ≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为 （ x － k ＋ ）L，其中 k 为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶 时，每小时的油耗为11.5 L. 欲使每小时的油耗不超过9 L，则 x 的取 值范围为 ⁠. [60，100]　 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：设每小时的油耗（所需要的汽油量）为 y L，由题意可得 y ＝ ，当 x ＝120时， y ＝11.5，∴11.5＝ ，解得 k ＝100，∴ y ＝ .要使每小时的油耗不 超过9 L，则 ≤9，即 x2－145 x ＋4 500≤0，解得 45≤ x ≤100，又60≤ x ≤120，可得60≤ x ≤100，故当每小时的油耗 不超过9 L时， x 的取值范围为[60，100]. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示. 时间 1 2 3 4 利润（千元） 2 3.98 8.01 15.99 现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的（　　） A. y ＝log2 x B. y ＝2 x C. y ＝ x2 D. y ＝2 x 解析：　逐个检验可得到答案为B. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 某数学小组进行社会实践调查，了解到雪花桶装水经营部在为定价 发愁.进一步调研了解到如下信息：该经营部每天的房租，工人工 资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售 量的关系如表： 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 根据以上信息，你认为该经营部的定价为多少才能获得最大利润？ （　　） A. 每桶8.5元 B. 每桶9.5元 C. 每桶10.5元 D. 每桶11.5元 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　根据表格可知销售单价每增加1元，日均销售就减少40 桶.设每桶水的价格为（6＋ x ）元，公司日利润为 y 元，则 y ＝（6 ＋ x －5）（480－40 x ）－200＝－40 x2＋440 x ＋280（0≤ x ≤12），∴当 x ＝5.5时函数 y 有最大值，因此，每桶水的价格为 11.5元，公司日利润最大. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是 M ＝ lg A －lg A0，其中， A 是被测地震的最大振幅， A0是“标准地 震”的振幅， M 为震级，则7级地震的最大振幅是5级地震最大 振幅的 倍. 解析：当 M ＝7时，∵7＝lg A －lg A0＝lg ， ∴ ＝107，∴ A ＝ A0107，当 M ＝5时，∵5＝lg A －lg A0＝lg ， ∴ ＝105，∴ A ＝ A0105，从而可得7级地震的最大振幅是5级地震 最大振幅的100倍. 100　 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $