5.2.2用函数模型解决实际问题 课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦“用函数模型解决实际问题”，通过生活中飞机、轮船等实物模型导入，引出数学模型概念，衔接函数基础知识，构建从具体实例到抽象函数模型的学习支架。 其亮点在于融合欧拉、高斯等数学史素材，以一次、二次、指数等函数模型为载体，结合报刊摊主利润、人口增长等实际例题，培养学生用数学眼光观察问题、用数学思维分析建模、用数学语言表达的能力。学生能提升应用意识，教师可借助系统例题与练习优化教学。

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第五章 函数应用 第2节 实际问题中的函数模型 2.2用函数模型解决实际问题 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力。 2、会建立函数模型解决实际问题. 1、建立函数模型解决实际问题. 1、建立函数模型解决实际问题. 2 新 课 引 入 数学王子——高斯 你一定不会对模型这个词陌生吧！如我们在博物馆会看到飞机模型、轮船模型、汽车模型。模型其实是对客观事物的一种模拟，把真实的东西按一定的比例仿制出来，使人们能清楚地了解事物的全貌。除了机械模型以外，还有生物模型、地质模型等，可以说生活中存在的事物都可以做成模型。 3 新 课 引 入 韦 达 上面我们提到的都是客观实物的模型，那么数学模型是怎么回事呢？ 函数模型又是怎么回事呢？ 4 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 函数模型是应用最广泛的数学模型之一，它在实际生活中的应用非常地广泛，不同的函数模型能刻画出现实生活中不同的变化规律.如果实际问题中的变量与变量之间的关系一旦被认定为是函数关系就可以将实际问题转化为数学问题， 建立一个函数模型， 通过研究函数的性质，从而更好地去把握问题，分析问题，使实际问题得以解决. 数学模型是指用数学的方法来构筑的模型，也就是说把复杂的实际问题用数学的式子表示出来，从而模拟问题的发展变化。 5 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 如在物理学上讲火车的运动过程，认为火车是勻速行驶的，我们得到了一个式子：_____________________________。 如果我们考虑了火车启动后速度是一点一点加上去的这一因素，而且认为这个加速度a是不变的，那么我们可以细化上面的数学公式，得到___________________，其中vo代表初速度，t是时间。 可见上面两个函数模型虽然都反映了火车行驶这一实际生活中的问题，却有较大的差别。第一个模型粗糙一些，第二个模型精确一些。所以建立一个适当的函数模型会给我们的日常工作、生产等各方面带来极大的方便。 路程(S)=速度(V)x时间(t) S=vot+at2 6 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 (1)一次函数模型：_____________________________________________________ (2) 二次函数模型：_____________________________________________________ (3) 指数函数模型：_____________________________________________________ (4) 对数函数模型：_____________________________________________________ (5) 幂函数模型：_______________________________________________________ (6)分段函数模型：这个模型实质上是以上两种或多种模型的综合，因此应 用也十分广泛 常见函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0， b >0且b≠1) f(x)＝mlogax＋n(m,a,n为常数，m≠0，a>0且a≠1) f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1) 7 典 例 引 路 集合论之父——康托 一次函数模型 例1、 一家报刊摊主从报社买进晚报的价格是每份 0.20 元, 卖出的价格是每份 0.30 元, 卖不掉的报纸还可以以每份 0.08 元的价格退回报社. 已知在一个月(以30天计算)里, 有 20 天每天可卖出 400 份, 其余 10 天每天只卖出 250 份, 但每天从报社买进的份数必须相同. 问该摊主每天从报社买进多少份, 才能使每月获得的利润最大? 并计算该摊主一个月最多可赚得多少元. 解: 设每天从报社买进 x 份(250≤x≤400), 则每月共销售 (20x+10250) 份,退回报社 10(x-250) 份, 又卖出的报纸每份获利 0.10 元, 退回的每份亏损 0.12 元, 依题意,每月获得的利润 ： f(x)=0.10(20x+10∙250)-0.1210(x-250)=0.8x+550 ∵ f(x)在[250, 400]上是增函数, ∴ 当x=400 时,f(x)取得最大值,最大值为 870. 答: 该摊主每天从报社买进 400 份时,才能使每月获得的利润最大,一个月最多可赚 870 元. 　 8 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车数为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(　　) A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4000) B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4000) C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4000) D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4000) 解：据题意知： y＝0.2x＋0.3(4000－x)＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)． D 9 典 例 引 路 柯 西 二次函数模型 例2、某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为 40 元/个, 出厂价为 60元/个, 日销售量为 1000 个. 为适应市场需求, 计划提高蛋糕档次, 适度增加成本. 若每个蛋糕成本增加的百分率为 x(0<x<1), 则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为 0.5x, 同时预计日销售量增加的百分率为 0.8x, 已知日利润=(出厂价-成本)×日销售量. (1)写出 y 与 x 的关系式; (2)为使日利润有所增加, 问 x 应在什么范围内? 解: (1)依题意得:y=[60(1+0.5x)-40(1+x)]1000(1+0.8x), 整理得: y=-8000x2+6000x+20000(0<x<1). 此即为所求关系式. (2)要保证日利润有所增加, 必须 即 解得：0＜x＜ 答: 为使日利润有所增加, x 应满足 0<x< . 10 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、如图所示,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米.为了合理利用这块钢板,在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上. (1)设MP=x米,PN=y米,将y表示成x的函数, 求该函数的解析式及定义域; (2)求矩形BNPM面积的最大值. 解：（1）如图所示，延长NP交AF于点Q，所以PQ=8-y，EQ=x-4.在EDF中 = , = , y=-x+10,定义域为[4,8] (2)设矩形BNPM的面积为S，则 S = xy = x(10-) = - (x-10)2+50 又x∈[4,8],所以当x=8时，S取得最大值48. 11 典 例 引 路 牛 顿 指数函数模型 例3、 某厂今年 1 月, 2 月, 3 月生产某种产品分别为 1 万件, 1.2 万件, 1.3 万件. 为了估测以后每个月的产量, 以这三个月的产量为依据, 用一个函数模拟该产品的产量与月份 x 的关系, 模拟函数可选用二次函数或函数 y=a∙bx+c(其中a, b, c为常数). 已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件, 请问, 用以上哪个函数作为模拟函数较好? 并说明理由. 解: 设 f(x)=px2+qx+r(p0) 则由 即 得 ∴ f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7. ∴ f(4)=-0.0542+0.354+0.7=1.3(万件) 又由 g(x)=a∙bx+c 可得: 即 得 ∴ g(x)=-0.80.5x+1.4. ∴ g(4)=-0.80.54+1.4=1.35(万件) 而 4 月份的产量为 1.37 万件,故用 y=a∙bx+c 作为模拟函数较好. 12 同 步 练 习 黎 曼 练3、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0ert其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．下面是1950~1959年我国的人口数据资料： 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 （1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； （2）如果按表中数据的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？ 13 同 步 练 习 莱布尼兹 解：（1）因为ri= ,所以可以得出： 年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 ri 0.0200 0.210 0.0229 0.0250 0.0197 0.0223 0.0276 0.0222 0.0184 于是，1951~1959年期间，我国人口的年平均增长率为： r=0.0221 根据马尔萨斯人口增长模型y=y0ert，y0=55196 ， 则我国在1951~1959年期间的人口增长模型为: y=55196e0.0221t,t∈N 从该图可以看出，所得模型与1950~1959年的 实际人口数据基本吻合． (2）将y=130000代入y=55196e0.0221t,得t≈39 所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(1989)我国的人口就已达到13亿．由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力． 14 典 例 引 路 狄利克雷 对数函数模型 例4、候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,其飞行速度为1m/s时耗氧量为90个单位。 (1)求出a，b的值； (2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s,则其耗氧量至少要多少个单位？ 解：（1）依题意得： 即 得a=-1,b-1 (2)由(1)知，v＝a＋blog3＝－1＋log3.所以要使飞行速度不低于2m/s则有v≥2，即－1＋log3≥2，即log3≥3，解得Q≥270. 所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s则其耗氧量至少要270个单位． 15 同 步 练 习 庞加莱 练4、已知地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R=(lgE-11.4)，则9.0级地震释放的能量是7.1级地震释放的能量的________倍。（参考数据：102.85≈708） 解：设9.0级地震释放的能量为E1，7.1级地震释放的能量为E2。 由9.0=(lgE1-11.4)，得lgE1=9.0+11.4=24.9. 同理可得lgE2=9.0+11.4=22.05, 从而lgE1-lgE2=24.9-22.05=2.85， 则lg=2.85≈708, 即9.0级地震释放的能量是7.1级地震释放的能量的708倍。 16 典 例 引 路 皮 亚 诺 幂函数模型 例5、某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； 解：设A、B两种产品分别投资x万元，x≥0,所获利润分别为f(x)万 元、g(x)万元。 依题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2.根据图像可解得 f(x)=0.25x(x≥0),g(x)=2(x≥0). 17 同 步 练 习 洛必达 练5、一新型气枪发射子弹的速度v(cm/s)与枪管的半径r(cm)的四次方成正比，已知枪管直径为3cm时，子弹速度为400m/s.某人买了一支管道半径为5cm的气枪，若用该气枪瞄准高空中一水平飞行的小鸟，子弹发出5秒打中，则子弹发射走过的路程为(　　) A．15430 cm  B．15430 m   C．3086 cm   D．3086 m 解：∵气枪发射子弹的速度v与枪管的半径r的四次方成正比， ∴设v=kr4(k≠0),将r=3,v=40000代入得40000=k×34, ∴k= ∴v=r4, 当r=5时，v=×54=≈308600(cm/s)=3086m/s ∴子弹发射走过的路程s=vt=3086×5=15430m B 18 典 例 引 路 华罗庚 分段函数模型 例6、某市居民自来水收费标准如下：当每户每月用水量不超过4立方米时，每立方米1.8元；当每户每月用水量超过4立方米时，超过部分每立方米3.0元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x立方米、3x立方米．求y关于x的函数； 解：当甲的用水量不超过4立方米，即5x≤4，x≤时，乙的 用水量也不超过4立方米，y＝(5x＋3x)×1.8＝14.4x； 当甲的用水量超过4立方米，乙的用水量不超过4立方米， 即3x≤4且5x>4，<x≤时， y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8； 当乙的用水量超过4立方米，即3x>4，x>时， y＝2×4×1.8＋(3x－4)×3＋(5x－4)×3＝24x－9.6. 所以y= 19 同 步 练 习 陈景润 练6、某车间生产一种仪器的固定成本为10000元，每生产一台 该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数： H(x)＝,x∈N,其中x是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)； (2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？ (总收入＝总成本＋利润) 解：(1)设每月产量为x台，则总成本为t＝10000＋100x. 又f(x)＝H(x)－t， ∴f(x)＝ (2)当0≤x≤200时，f(x)＝－(x－150)2＋12 500， 所以当x＝150时，有最大值12500； 当x>200时，f(x)＝30000－100x是减函数， f(x)<30 000－100×200<12500. 所以当x＝150时，f(x)取最大值，最大值为12 500. 所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12500元． 20 全 课 总 结 建立函数模型解决实际问题 21 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 22 $