第一章 培优课不等式的综合问题课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦不等式的综合问题，涵盖基本不等式求最值及一元高次不等式解法。通过典型例题精研析导入，先复习基本不等式“正、定、等”条件，再过渡到高次不等式转化技巧，构建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于强调通性通法，如基本不等式的“拆拼凑”技巧、穿根引线法四步步骤，结合实际问题（如矩形花坛扩建、垃圾处理成本）培养数学眼光与思维。通过例题解析与跟踪训练，帮助学生提升运算推理能力，教师可直接用于课堂互动与课后巩固。

培优课　不等式的综合问题 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 基本不等式的综合应用 【例1】已知实数 x ， y 满足 x ＞ y ＞0，且 x ＋ y ＝2，则 ＋ 的 最小值为（　　） A. 3＋2 C. 3－2 　 D. 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　∵ x ＋ y ＝2， ＝ ＝1，∵ x ＞ y ＞ 0，∴ x － y ＞0，∴ ＋ ＝ （ ＋ ） ＝ ［3＋ ＋ ］≥ ［3＋2 ］＝ . 当且仅当 x ＋3 y ＝ （ x － y ）时，等号成立，因此， ＋ 的 最小值为 . 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 　　在利用基本不等式求最大（小）值时，要特别注意“拆、拼、 凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（条件要求中字母为正 数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的 条件）的条件才能应用，否则会出现错误. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 如图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建为一个更大的矩形花坛 AMPN ， 要求点 B 在 AM 上，点 D 在 AN 上，且对角线 MN 过点 C ，已知 AB ＝4 米， AD ＝3米，当 BM ＝ 米时，矩形花坛 AMPN 的面积最小. 4　 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：设 BM ＝ x （ x ＞0），则由 DC ∥ AM 得 ＝ ，解得 ND ＝ ，∴矩形 AMPN 的面积为 S ＝（4＋ x ）（3＋ ）＝24＋3 x ＋ ≥24＋2 ＝48，当且仅当3 x ＝ ，即 x ＝4时等号成立.∴当 BM ＝4米时，矩形花坛 AMPN 的面积最小. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 一元高次不等式的解法 角度1　不等式组法解一元高次不等式 【例2】　解不等式（ x ＋2）（ x2－ x －12）＞0. 解：原不等式可化为或即 或解得 x ＞4或－3＜ x ＜－2.故原不等 式的解集为{ x ｜ x ＞4或－3＜ x ＜－2}. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 　　将高次不等式 f （ x ）＞0（＜0）中的多项式 f （ x ）分解成若干 个不可约因式的乘积，然后利用不等式的性质将高次不等式等价转化 为一个或多个一元一次或一元二次不等式组，原不等式的解集就是各 不等式组解集的并集. 目录 数学·必修第一册（BSD） 角度2　穿根引线法解一元高次不等式 【例3】　解不等式 ≤0. 解：原不等式可化为（ x2－3 x －4）（ x2－1）＜0或 即（ x －1）·（ x ＋1）2（ x －4）＜0或 x ＝4.令 （ x －1）（ x ＋1）2·（ x －4）＝0，可得 x ＝1或 x ＝4或 x ＝－1（偶次 根），结合图象可得不等式（ x －1）（ x ＋1）2（ x －4）＜0的解集 为{ x ｜1＜ x ＜4}，故原不等式的解集为{ x ｜1＜ x ≤4}. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 穿根引线法解一元高次不等式的步骤 （1）分解因式，将不等式转化为一端为0，另一端为若干个因式（一 次或二次不可约因式）的乘积的形式，并将各因式中 x 最高次数 的项的系数化为“＋”； （2）求出相应方程的根，并在数轴上表示出来； 目录 数学·必修第一册（BSD） （3）由数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点.穿线时要遵循 “奇穿偶回”的原则（即某个因式是奇数次时，就从数轴的一 侧穿到数轴的另一侧；某个因式是偶数次时，则不穿过数轴）. 简称“奇过偶不过”； （4）若不等式（ x 最高次数的项的系数符号化为“＋”后）“＞ 0”，则找“线”在数轴上方对应的 x 的取值范围；若不等式 “＜0”，则找“线”在数轴下方对应的 x 的取值范围. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 已知不等式（ ax2＋ bx ＋ c ）（ x ＋ d ）＞0的解集是{ x ｜ x ＜－3或1＜ x ＜4}.则不等式 ax3－（ b ＋ ad ） x2＋（ c ＋ bd ） x － cd ≤0的解集 为 ⁠. { x ｜－4≤ x ≤－1或 x ≥3}　 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：由穿根引线法可知－3，1，4为方程（ ax2＋ bx ＋ c ）·（ x ＋ d ）＝0的根，且 a ＜0.而 ax3－（ b ＋ ad ） x2＋（ c ＋ bd ） x － cd ＝ ax3－ bx2＋ cx － d （ ax2－ bx ＋ c ）＝（ ax2－ bx ＋ c ）（ x － d ）.∴原 不等式可化为（ ax2－ bx ＋ c ）（ x － d ）≤0.而（ ax2－ bx ＋ c ）（ x － d ）＝－[ a （－ x ）2＋ b （－ x ）＋ c ][（－ x ）＋ d ].∴（ ax2－ bx ＋ c ）（ x － d ）＝0的根与（ ax2＋ bx ＋ c ）（ x ＋ d ）＝0的根互为相 反数，所以（ ax2－ bx ＋ c ）（ x － d ）＝0的根为3，－1，－4.由图可 知，所求不等式的解集为{ x ｜－4≤ x ≤－1或 x ≥3}. 目录 数学·必修第一册（BSD） 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 设 x ＞0，则3－3 x － 的最大值是（　　） A. 3 C. －1 解析：　∵ x ＞0，∴3 x ＋ ≥2 ＝2 ，当且仅当 x ＝ 时取等号，∴－ ≤－2 ，则3－3 x － ≤3－2 ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 若关于 x 的不等式 x2＋ ax ＋ b ＞0的解集是{ x ｜ x ＜－2或 x ＞3}， 则 a ＋ b ＝（　　） A. －7 B. －6 C. －5 D. 1 解析：　依题意，关于 x 的不等式 x2＋ ax ＋ b ＞0的解集是{ x ｜ x ＜－2或 x ＞3}，所以关于 x 的方程 x2＋ ax ＋ b ＝0的根为 x ＝－2或 x ＝3，所以⇒所以 a ＋ b ＝－7，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 设 m ＞3， P ＝ m ＋ ， Q ＝9，则 P ， Q 的大小关系为（　　） A. P ＜ Q B. P ＝ Q C. P ≥ Q D. P ≤ Q 解析：　因为 m ＞3，所以 P ＝ m ＋ ＝ m －3＋ ＋3≥2 ＋3＝9＝ Q ，当且仅当 m －3＝ ，即 m ＝6时 等号成立，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. 不等式 ax2＋ bx ＋2＞0的解集为{ x ｜－1＜ x ＜2}，则函数 y ＝ ax2 － bx ＋2的图象为（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　不等式 ax2＋ bx ＋2＞0的解集为{ x ｜－1＜ x ＜2}，则－ 1，2是 ax2＋ bx ＋2＝0的两根且 a ＜0，则－1＋2＝－ ，－1×2＝ ，故 a ＝－1， b ＝1，所以 y ＝ ax2－ bx ＋2＝－ x2－ x ＋2，则函数 y ＝ ax2－ bx ＋2的图象为开口向下，对称轴为 x ＝－ 的抛物线，只 有D选项中图象符合题意，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） 5. 某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最 少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本 y （元） 与月处理量 x （吨）之间的函数关系可近似地表示为 y ＝ x2－300 x ＋80 000，为使平均处理成本最低，则该厂每月处理量应为（　　） A. 300吨 B. 400吨 C. 500吨 D. 600吨 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　由题意，月处理成本 y （元）与月处理量 x （吨）的函 数关系为 y ＝ x2－300 x ＋80 000，所以平均处理成本为 s ＝ ＝ ＝ ＋ －300，其中300≤ x ≤600，又 ＋ －300≥2 －300＝400－300＝100，当且仅当 ＝ 时 等号成立，所以 x ＝400时，平均处理成本最低.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） 6. 甲、乙两人解关于 x 的不等式 x2＋ bx ＋ c ＜0，甲写错了常数 b ，得 到的解集为{ x ｜－6＜ x ＜2}；乙写错了常数 c ，得到的解集为 { x ｜－3＜ x ＜2}.那么原不等式的解集为（　　） A. { x ｜2＜ x ＜6} B. { x ｜－4＜ x ＜3} C. { x ｜－3＜ x ＜4} D. { x ｜－2＜ x ＜6} 解析：　由根与系数的关系得则则原 不等式为 x2＋ x －12＜0，解得－4＜ x ＜3，即原不等式的解集为 { x ｜－4＜ x ＜3}，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） 7. 若关于 x 的不等式 kx2＋2 kx － k －1＞0的解集为∅，则实数 k 的取值 范围是（　　） 解析：　当 k ＝0时，不等式化为－1＞0，此时不等式无解，满足 题意；当 k ≠0时，要满足题意，只需 解得－ ≤ k ＜0，综上，实数 k 的 取值范围为［－ ，0］，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） 8. 设 x ＞0， y ＞0，不等式 ＋ ＋ ≥0恒成立，则实数 m 的最小 值是（　　） A. －2 B. 2 C. 1 D. －4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　∵ x ＞0， y ＞0，不等式 ＋ ＋ ≥0恒成立，即 m ≥－（ ＋ ）（ x ＋ y ）恒成立，∴只需 m ≥［－（ ＋ ）（ x ＋ y ）］max，∵（ ＋ ）（ x ＋ y ）＝2＋ ＋ ≥2＋2 ＝4，当 且仅当 x ＝ y 时取等号.∴－（ ＋ ）（ x ＋ y ）≤－4，∴ m ≥－ 4，∴ m 的最小值为－4，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） 9. （多选）下列推理正确的是（　　） A. 若 a ＞ b ，则 a2＞ b2 B. 若 a2－ b2＝1，且 a ， b 为正实数，则 a － b ＜1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　A选项，不妨设 a ＝0， b ＝－1，满足 a ＞ b ，但 a2＜ b2，A错误；B选项，因 a ， b 为正实数，且 a2－ b2＝（ a ＋ b ）（ a － b ）＝1，则 a － b ＞0，即 a ＞ b ＞0，由于 a ＋ b ＞ a － b ，则 a ＋ b ＞1＞ a － b ＞0，所以 a － b ＜1，B正确；C选项，因为 a ＜ b ＜ 0，所以 ab ＞0，不等式两边同除以 ab 得： ＞ ，C正确；D选 项，因为 a ， b ∈R，故当 a ＝0或 b ＝0时， ＋ 无意义，D错误， 故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） 10. （多选）不等式－ x2－ x ＋6≥0成立的充分不必要条件可以是 （　　） A. 0≤ x ≤2 B. x ≥－3 C. x ∈{1，2} D. －3≤ x ≤2 解析：　由题意知，－ x2－ x ＋6≥0⇒－3≤ x ≤2，所以0≤ x ≤2， x ∈{1，2}是－3≤ x ≤2的充分不必要条件，故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） 11. （多选）若关于 x 的一元二次方程（ x －2）（ x －3）＝ m 有实数 根 x1， x2，且 x1＜ x2，则下列结论正确的是（　　） A. 当 m ＝0时， x1＝2， x2＝3 C. 当 m ＞0时，2＜ x1＜ x2＜3 D. 当 m ＞0时， x1＜2＜3＜ x2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　对于A， m ＝0时，方程为（ x －2）（ x －3）＝0， 解得 x1＝2， x2＝3，所以A正确.对于B，将方程整理可得 x2－5 x ＋6－ m ＝0，由于方程有两个不同的实数根，所以Δ＝25－4（6 － m ）＞0，解得 m ＞－ ，所以B正确.对于C和D，当 m ＞0时， 根据根与系数的关系可得 x1＋ x2＝5， x1 x2＝6－ m ＜6，结合2＋3 ＝5，2×3＝6即可得出 x1＜2， x2＞3，故选项C不符合题意，选项 D符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） 12. （多选）若 m ＞0， n ＞0，且3 m ＋ n ＝1，下列结论正确的是 （　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　选项A，因为 m ＞0， n ＞0，3 m ＋ n ＝1≥2 ，所以 mn ≤ ，当且仅当3 m ＝ n ＝ ，即 m ＝ ， n ＝ 时 等号成立，故选项A正确；选项B，因为3 m ＋ n ＝1，所以 ＋ ＝ ＋ ＝3＋ ＋ ≥3＋2 ＝5，当且仅当 m ＝ n ，即 m ＝ ， n ＝ 时等号成立，故选项B不正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） 选项C， ＋ ＝ （ ＋ ）[（3 m ＋3）＋（ n ＋2）]＝ ［3＋2＋ ＋ ］≥ （5＋2 ） ＝ （5＋2 ），当且仅当 ＝ 且3 m ＋ n ＝1，即 m ＝5－2 ， n ＝6 －14时等号成立，故选项C正确；选项D，9 m2 ＋ n2≥ （3 m ＋ n ）2＝ ，当且仅当3 m ＝ n ＝ ，即 m ＝ ， n ＝ 时 等号成立，故选项D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） 13. 已知 x ＞0，则2－ x － 的最大值是 ⁠. 解析：∵ x ＞0，∴2－ x － ＝2－（ x ＋ ）≤2－2 ＝－2， 当且仅当 x ＝2时等号成立，∴2－ x － 的最大值是－2. －2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） 14. 写出一个同时具有下列四个性质中的三个性质的二次函数： f （ x ）＝ ⁠ ⁠. ① f （ x ）的最小值为－1；② f （ x ）的一次项系数为－4；③ f （0）＝3；④ f （ x ）的对称轴为直线 x ＝1. x2－4 x ＋3（2 x2－4 x ＋1或4 x2－8 x ＋3或2 x2－4 x ＋ 3） 解析：第一种情况： f （ x ）具有①②③三个性质，由②③可设 f （ x ）＝ ax2－4 x ＋3（ a ≠0），则根据①可得： ＝－1，解 得 a ＝1，所以 f （ x ）＝ x2－4 x ＋3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） 第二种情况： f （ x ）具有①②④三个性质，由①④可设 f （ x ）＝ a （ x －1）2－1（ a ＞0），则根据②可得：－2 a ＝－4，解得 a ＝2，所以 f （ x ）＝2（ x －1）2－1＝2 x2－4 x ＋1.第三种情况： f （ x ）具有①③④三个性质，由①④可设 f （ x ）＝ a （ x －1）2－1（ a ＞0），则根据③可得： f （0）＝ a －1＝3，解得： a ＝4，所以 f （ x ）＝4（ x －1）2－1＝4 x2－8 x ＋3.第四种情况： f （ x ）具有②③④三个性质，由②③可设 f （ x ）＝ ax2－4 x ＋3（ a ≠0），则根据④可得：－ ＝1，解得 a ＝2，所以 f （ x ）＝2 x2－4 x ＋3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） 15. 不等式 ≥1的解集为 　{ x ｜－2≤ x ＜－1或 ≤ x ＜3}　. 解析：原不等式可化为 ≤0，即 ≤0， 则如图所示，则不等式的 解集为{ x ｜－2≤ x ＜－1或 ≤ x ＜3}. { x ｜－2≤ x ＜－1或 ≤ x ＜3}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） 16. 如图，已知在一个半径为 r 的半圆形铁板中，截取一块矩形 ABCD ，使得矩形的顶点 A ， B 在半圆的直径上， C ， D 在半圆弧 上，若矩形 ABCD 的面积最大时，其最大值是 ⁠. r2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：设 BC ＝ x ， x ∈（0， r ），连接 OC ，得 OB ＝ ， 所以 AB ＝2 ，所以矩形 ABCD 面积 S ＝2 x ＝2 ≤ x2＋ r2－ x2＝ r2.当且仅当 x2＝ r2－ x2，即 x ＝ r 时取等号，此时 Smax＝ r2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） 17. （1）设2＜ a ＜7，1＜ b ＜2，求 a ＋3 b ，2 a － b ， 的范围； 解：∵2＜ a ＜7，1＜ b ＜2， ∴4＜2 a ＜14，3＜3 b ＜6，－2＜－ b ＜－1， ＜ ＜1， ∴5＜ a ＋3 b ＜13，2＜2 a － b ＜13，1＜ ＜7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）已知 a ＋ b ＋ c ＝1，求证： ab ＋ bc ＋ ca ≤ . 解：证明：由 a ＋ b ＋ c ＝1，两边平方得 a2＋ b2＋ c2＋2 ab ＋2 bc ＋2 ac ＝1， 根据基本不等式有 a2＋ b2≥2 ab ， b2＋ c2≥2 bc ， a2＋ c2≥2 ac ， 当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝ 时等号成立， 将上述3个不等式相加得2（ a2＋ b2＋ c2）≥2 ab ＋2 bc ＋2 ac ， 即 a2＋ b2＋ c2≥ ab ＋ bc ＋ ac ， 所以1＝ a2＋ b2＋ c2＋2 ab ＋2 bc ＋2 ac ≥3 ab ＋3 bc ＋3 ac ， 整理得 ab ＋ bc ＋ ca ≤ ，当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝ 时等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） 18. 已知函数 y ＝ ax2－（2 a ＋3） x ＋6（ a ∈R）. （1）若 y ＋2＞0恒成立，求实数 a 的取值范围； 解：若 y ＋2＞0恒成立，则 y ＋2＞0⇒ ax2－（2 a ＋3） x ＋8＞0恒成立. 当 a ＝0时， ax2－（2 a ＋3） x ＋8＝－3 x ＋8＞0不恒成立； 当 a ≠0时，解得 ＜ a ＜ . 故实数 a 的取值范围为（ ， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）当 a ＝1时，函数 y ≤－（ m ＋5） x ＋3＋ m 在[－2，2]有 解，求 m2＋3的取值范围. 解：当 a ＝1时， y ≤－（ m ＋5） x ＋3＋ m 在[－2，2]有解， 即 x2＋ mx ＋3－ m ≤0在[－2，2]有解， 因为 y ＝ x2＋ mx ＋3－ m 的图象开口向上，对称轴 x ＝－ ， ①－ ≤－2即 m ≥4， x ＝－2时，函数取得最小值，此时4 －2 m ＋3－ m ≤0， 即 m ≥ ，∴ m ≥4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） ②－2＜－ ＜2即－4＜ m ＜4时，当 x ＝－ 取得最小值， 此时－ ＋3－ m ≤0，解得2≤ m ＜4. ③当－ ≥2即 m ≤－4时，当 x ＝2时取得最小值，此时4＋ 2 m ＋3－ m ≤0， 解得 m ≤－7，综上， m ≥2或 m ≤－7，所以 m2＋3的范围 为[7，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $