第14讲 圆的有关概念（暑假预习）2026-2027学年人教版九年级数学上册

第14讲 圆的有关概念 （2大考点18大题型） 学习目标 1.掌握圆的定义，以及半径、弦、弧、圆心角、圆周角的定义。 2.掌握点与圆的位置关系以及条件。 3.掌握三角形外接圆的概念，外心与三边的关系，特殊三角形的外心与圆心角的关系.(重点、难点）。 4.掌握点与圆上一动点距离的最值问题。（重点、难点）。 考点整理 一、圆的基本概念 定 义 示例剖析 圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆． 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 由圆的定义可知： （1）圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． （2）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 表示为“” 圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 能够重合的两个圆叫做等圆． 弦和弧： 1．连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 以A、B为端点的弧记作，读作弧AB． 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 4．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 表示：劣弧 优弧或 圆心角和圆周角： 1．顶点在圆心的角叫做圆心角． 2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 二、点与圆的位置关系 1．点和圆的位置关系有三种： 点在圆上、点在圆内和点在圆外，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 则有：点在圆外； 点在圆上； 点在圆内. 2．三角形的外接圆 （1）确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆． （2）外接圆定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 注意： （1）外心的确定：三条垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在它的内部；直角三角形的外心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形的外心在它的外部． （2）外心到三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径． 题型归纳 【题型1 圆的基本概念辨析】 1．如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交边于点；则的长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得,,再根据题意得,即可得出答案． 【详解】解：∵在中， ∴,, 根据题意，得, ∴． 2．下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本性质，包括弦、直径的定义以及圆的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键． 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦；圆既是轴对称图形也是中心对称图形． 【详解】解：A：直径是弦，但弦不一定是直径（如非直径的弦），故A错误； B：过圆心的线段必须连接圆上两点才是直径，否则不是，故B错误； C： 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦，故C正确； D：圆有无数条对称轴（任何直径所在直线），且以圆心为中心对称点，故是中心对称图形，故D错误． 故选：C． 3．已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆中最长的弦是直径，直径的长度是半径的2倍，解答即可． 本题考查了直径是圆中最大弦，熟练掌握知识是解题的关键． 【详解】解：∵的半径是， ∴最长的弦（直径）， 故选：B． 4．下列说法正确的是（    ） A．所有半径都相等 B．过圆心的直线是圆的直径 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的基本概念（半径、直径、对称性、等弧），熟练掌握这些概念的定义及限制条件是解题的关键． 根据圆的基本概念（半径、直径、对称性、等弧）的定义，逐一分析每个选项的正误． 【详解】解：半径相等仅在同圆或等圆中成立，否则不一定相等，A选项错误； 直径是通过圆心且两端点在圆上的线段，而过圆心的直线是无限延伸的，不是直径，B选项错误； 圆有无数条对称轴（任何直径所在直线），且绕圆心旋转180度后与自身重合，故 圆既是轴对称图形又是中心对称图形，C选项正确； 等弧需在同圆或等圆中长度相等且能重合，仅长度相等不一定是等弧，D选项错误． 故选：C． 【题型2 求圆中弦的条数】 5．如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 6．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故选B． 【点睛】本题主要考查了弦的定义，熟知定义是解题的关键：连接圆上任意两点的线段叫弦． 7．如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 【答案】3 【分析】过点M作交于点A、B，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，进而得到答案． 【详解】解：过点M作交于点A、B，连接， 则， 在中，， ∴， 则过点M的所有弦， ，且 ， 则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共3条． 8．经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 【答案】 无数 直径 【分析】本题主要考查了弦的概念，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键． 根据连接圆上任意两点间的线段是弦，经过圆内一点可以作无数条直线与圆相交，从而形成无数条弦；根据圆中最长的弦是直径即可解答． 【详解】解：经过圆内一点可作圆的无数条弦，其中最长的弦是直径． 故答案为：无数；直径． 【题型3 求过圆内一点的最长弦】 9．已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键． 根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果． 【详解】解：中最长的弦长为， 的直径的长为， 的半径为． 故选B． 10．如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 11．已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可． 【详解】解：∵圆的半径为6， ∴直径为12， ∵AB是一条弦， ∴AB的长应该小于等于12，不可能为14， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小． 12．下列选项中，能够被半径为的圆及其内部所覆盖的图形是（    ） A．长度为的线段 B．斜边为的直角三角形 C．面积为的菱形 D．半径为，圆心角为的扇形 【答案】D 【分析】由直径为圆中最长的弦可判断 由直角三角形的外接圆的直径是斜边的长可判断，利用圆的面积为，小于菱形的面积，可判断 由半径为，圆心角为的扇形的面积小于圆的面积可判断 【详解】解： 半径为的圆的直径为 半径为的圆及其内部所能覆盖的线段最长为， 而＞ 半径为的圆及其内部不能覆盖长度为的线段．故 不符合题意， 斜边为的直角三角形的外接圆的直径为，而＞， 所以半径为的圆及其内部不能覆盖斜边为的直角三角形，故不符合题意， ，菱形的面积为 而＜ 半径为的圆及其内部不能覆盖面积为的菱形，故不符合题意； 半径为，圆心角为的扇形的面积为： 而＜ 所以半径为的圆及其内部能覆盖半径为，圆心角为的扇形，故符合题意， 故选： 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，直径为圆中最长的弦，直角三角形的外接圆的直径，菱形的面积，扇形的面积，掌握以上知识是解题的关键. 【题型4 判断点与圆的位置关系】 13．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 14．已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系，判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵点A到圆心O的距离为7，的半径为6，且， ∴点A在外． 15．已知的半径为4，若点在内，则点到圆心的距离可能为（    ） A．4 B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】利用点在圆内的性质：点到圆心的距离小于圆的半径，判断各选项即可． 【详解】解：∵点P在⊙O内，⊙O的半径为4， ∴点P到圆心O的距离d满足； A选项，不符合要求； B选项，即，符合要求； C选项，不符合要求； D选项，不符合要求． 16．如图，在的正方形网格中，点，，，均在格点上，一条圆弧经过，，三点，那么点与这条圆弧所在圆的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 【答案】A 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，先确定圆心的位置，再求出圆的半径，进而根据点到圆心的距离和圆的半径的大小关系进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵圆心到三点距离相等， ∴圆心在线段的垂直平分线上， 如图，线段和的垂直平分线相交于点，点即为圆心， ∴圆的半径， ∵， ∴点在圆内， 故选：． 【题型5 利用点与圆的位置关系求半径】 17．点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，且圆的半径为正数即可求解． 【详解】解：点P在圆O外， 点P到圆心O的距离大于圆O的半径r， 点P到圆心O的距离为，且圆的半径， ． 故选：A． 18．已知点P在半径为2的上，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本性质，利用“圆上任意一点到圆心的距离等于圆的半径”这一性质即可求解 【详解】解：∵点P在半径为2的上， ∴是的半径， ∴． 故选：B． 19．点是外一点，的半径是，则的长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在外的性质，可知的长度大于圆的半径，结合选项即可得出答案． 【详解】解：的半径是，点是外一点， ， 只有满足， 故选：D． 20．如图，已知在矩形中，，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，且点在内，点在外，的半径的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了点和圆的位置关系，两圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质等知识，熟练掌握两圆的位置关系是解题的关键．首先求出的半径的取值范围为，再根据两圆的圆心距是10，分内切和外切两种情况进一步即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，， ∴， ∵点在内，点在外， ∴的半径的取值范围为， 当分别以A、C为圆心的两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，是，即， ∴， 解得， 当分别以A、C为圆心的两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差，是，即， ∴， ∴， 综上可知，的半径的取值范围是或， 故选：C． 【题型6 已知半径和圆上两点作圆】 21．已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】根据题意分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意． 【详解】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图， 得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 即能画的圆的个数是2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了两圆相交的性质，能找出圆的圆心是解此题的关键． 22．如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，如图，连接， 取的中点， 连接，， ，，，，利用三角形中位线定理求出，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，则 ，求出 的最大值，可得结论，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用参数解决问题，熟练掌握知识点的应用． 【详解】如图， 连接， 取的中点， 连接，， ，，，， ∵点、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则， ∵， ∴最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 23．点A是半径为2的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6．连接OA，AB． （1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值；将下列解答过程补充完整． 解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′． 由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形． ∴OO′＝BO＝6 又∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC＝60°，AB＝BC ∴∠OBO′＝∠ABC＝60° ∴∠OBA＝∠O′BC 在△OBA和△O′BC中， ∴　 　（SAS） ∴OA＝O′C 在△OO′C中，OC＜OO′+O′C 当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C 即OC≤OO′+O′C ∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是 　 　． （2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值； （3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长． 【答案】（1），；（2）；（3）OC的最小值为或，△ABC的周长为 【分析】（1）根据全等三角形的性质，，从而求得OC的最大值； （2）将线段OB绕点B顺时针旋转90°到O′B，连接OO′，CO′，按照（1）中的思路，求证，从而求得OC的最小值； （3）分别以为顶角进行讨论，按照上述方法求证，从而求得OC的最小值，过点作于点，根据勾股定理求得长度，从而求得△ABC的周长． 【详解】解：（1）根据上下文题意可得： ∴ ∴ （2）将线段OB绕点B顺时针旋转90°到O′B，连接OO′，CO′ 由旋转的性质知：∠OBO′＝90°，BO′＝BO＝6，为等腰直角三角形 ∴ 又∵四边形为正方形 ∴ ∴ 在△OBA和△O′BC中， ∴（SAS） ∴ 在△OO′C中， 当O，O′，C三点共线，且点C在线段OO′上时， 即 （3）以为顶点，构建等腰三角形，将线段OB绕点B顺时针旋转120°到O′B，连接OO′，CO′，过点作于点，如下图： 由旋转的性质知：∠OBO′＝120°，BO′＝BO＝6，为等腰三角形 在中，，，∴ ∴， ∴ 由（2）可得 ∴ 在△OO′C中， 当O，O′，C三点共线，且点C在线段OO′上时， 即 又∵，在线段上 ∴ ∴ ∴ 的周长为 以为顶点，构建等腰三角形，将线段OA绕点A顺时针旋转120°到O′A，连接OO′，CO′，如下图： 由旋转的性质得：，，为等腰三角形 ∴ 由（2）可得 ∴ 在中， ∴当点在线段上时，最小 ∴点与点重合， 的周长为 【点睛】此题主要考查了旋转、圆、三角形、正方形等有关性质，充分理解题意并熟练掌握有关性质是解题的关键． 24．【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根． 【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化简得：.同理可得 所以m，n为方程的两个实数根． 【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N． （3）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．    【答案】（1）；（2）见解析；（3）与x轴相交；见解析；（4） 【分析】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的根以及勾股定理的应用， （1）根据勾股定理得出等式化简即可； （2）作AB的垂直平分线交于点P，再以点P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点即可； （3）根据点的坐标可得，再算出，即可得出结论； （4）由点的坐标即可得出结果． 解题的关键是对一元二次方程的几何解法的理解和运用． 【详解】解：（1），，， 在中，， ， 化简得：， 故答案为：； （2）先在坐标系内找到，，连接 ，分别A，B为圆心，以大于为半径画弧，连接两弧的交点与交于点P，以P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点．如图所示：    （3）由题意得：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 与x轴有两个交点， 即与x轴相交； （4）由题意得，以为直径的圆与交x轴有两个交点M、N， 则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是． 故答案为：． 【题型7 三角形外接圆的概念】 25．如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为   A．5 B． C．6 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的中位线，点与圆的位置关系．掌握三角形的中位线定理，点与圆的位置关系是解题的关键．由点、点的坐标得是的中点，则是的中位线，，当的长最大时，的长最大，根据点与圆的位置关系可得长的最大值为，求出，即可求解． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， 是的中点， 为的中点， 是的中位线， ， 当的长最大时，的长最大，如图， 点的坐标为，点的坐标为， ， 长的最大值为， 长的最大值为， 故选：D． 26．已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点A，交于一点M，则当取得最大值时，k的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直线上点的坐标特征，圆外一点到圆上点距离的最大值，解题的关键是确定当圆心在线段上，取得最大值． 由题意知，当圆心在线段上，取得最大值，把点的坐标代入中，即可求得的值． 【详解】解：由题意知，当圆心在线段上，取得最大值， 此时直线过点， 把点坐标代入中，得：， 解得：； 故选：D． 27．圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，则该圆的半径是___________． 【答案】2 【分析】本题考查了利用点与圆的位置关系求半径，根据圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，得出直径为，即可求出该圆的半径， 【详解】解：∵圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6， ∴， 故答案为：2． 28．如图，已知和射线，动点在上，动点在射线上，．若的最小值为，最大值为，则的半径为_________． 【答案】7 【分析】本题考查圆外一点到圆上一点的距离，勾股定理，根据，得到当时，最长，当时，最短，利用的长为定值，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当，最长，此时最长， 当，最短，此时最短，如图： 设半径为， 当，即：， 由勾股定理，得：， 当，即：， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：； 故答案为：7． 【题型8求三角形外心坐标】 29．如图，在直角三角形中，，点D在外接圆上，且平分，则的大小为（   ） A． B． C． D．随点C的位置变化而变化 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的外接圆，圆周角定理，根据角平分线的定义，得到，根据圆周角定理得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵点D在外接圆上， ∴； 故选B． 30．如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外心，勾股定理， 根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， 所以点是△的外心， 故选：A． 31．如图，已知点是的外心，，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外心的性质以及圆周角定理，掌握“三角形的外心是其外接圆的圆心”、“同弧所对的圆心角的度数是圆周角的两倍”知识点是解题的关键． 由已知点是的外心，说明点是外接圆的圆心，根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：点是的外心，， 是圆周角，是同弧所对的圆心角， ． 故选：C． 32．下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】A 【分析】本题考查了外接圆．外接圆是指多边形的所有顶点都在同一个圆上．三角形一定有外接圆，因为三角形的三条垂直平分线交于一点（外心），该点到各顶点距离相等，四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心）,且外心到三个顶点的距离相等， ∴ 三角形一定有外接圆， 四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有， 故选：A 【题型9求特殊三角形外接圆的半径】 33．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外接圆圆心的确定，勾股定理等知识，确定圆心坐标是关键；确定外接圆的圆心坐标，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，圆心M的坐标， ∵， ∴， ∴的半径为， 故选：C． 34．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的外心，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；根据三角形的外心可分别作出线段的垂直平分线，它们的交点即为三角形的外心，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：的外心坐标是； 故选B． 35．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用．首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心． 【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的垂直平分线交点即为的外心， 的外心坐标是， 故选：D． 36．如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段，则点D与的位置关系为（   ） A．点D在上 B．点D在外 C．点D在内 D．无法确定 【答案】C 【分析】连接，作和的垂直平分线，交点为，则圆心的坐标为，然后求出的半径，比较即可解答． 【详解】解：如图： 连接，作和的垂直平分线，交点为， ∴圆心M的坐标为， ∵， ∴， ∵线段， ∴半径， ∴点D在内， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理的应用，确定圆心的位置是解题的关键． 【题型10已知外心的位置判断三角形的形状】 37．在中，，，，则外接圆的半径为（    ） A．10 B．5 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形外接圆的半径，勾股定理． 在直角三角形中，外接圆的半径等于斜边的一半，因此需先利用勾股定理求斜边长，进而作答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵是外接圆的直径， ∴外接圆的半径． 故选：B． 38．如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键．直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离． 【详解】解：∵中，， ， 斜边上的中线长， 因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长. 故选：B． 39．已知在中，，则的外接圆直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆直径，勾股定理求得斜边的长即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴的外接圆直径为， 故选：C． 40．直角三角形的两边长分别为和，则此三角形的外接圆半径是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况：①为斜边长；②和为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径． 【详解】解：由勾股定理可知： ①当直角三角形的斜边长为时，这个三角形的外接圆半径为； ②当两条直角边长分别为和，则直角三角形的斜边长 因此这个三角形的外接圆半径为． 综上所述：这个三角形的外接圆半径等于或． 故选：B 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆是解题的关键 【题型11判断三角形外接圆圆心的位置】 41．如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C 42．的外心在三角形的一边上，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据三角形外心与三角形的位置关系可判断三角形的形状，因此可得到答案． 【详解】解：当的外心在的内部时，则是锐角三角形； 当的外心在的外部时，则是钝角三角形； 当的外心在的一边时，则是直角三角形，且这边是斜边． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的外心，解决本题的关键是经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 43．下列命题中真命题的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弦相等 C．任意三点确定一个圆 D．外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】根据等弧、圆心角与弦的关系、确定圆的条件、直角三角形的外心等知识一一判断即可． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故A中命题是假命题，不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故B中命题是假命题，不符合题意； C、不共线的三点确定一个圆，故C中命题是假命题，不符合题意； D、外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，是真命题，本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查判断命题的真假，涉及等弧、圆心与弦的关系、确定圆的条件、直角三角形的外心等知识，熟知它们的前提条件是解答的关键． 44．如图，是等边三角形且边长为1，点，，分别在边的延长线上，，连接，．给出下面四个结论： ①是等边三角形； ②； ③的面积为； ④的外心与的外心重合． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．利用证明，推出，证明是等边三角形；利用三角形的外角性质求得，可证明；利用勾股定理求得，求得；利用等边三角形的外心和内心的性质据此即可得解． 【详解】解：∵是等边三角形且边长为1， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故①正确； ∵，， ∴， ∴，即，故②正确； ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； 设的外心为， ∵是等边三角形， ∴点也是的内心，作于点，于点， ∴，， ∴， ∴， ∴，同理，则， ∴的外心与的外心重合，故④正确． 综上，正确的有①②④， 故选：B． 【题型12判断确定圆的条件】 45．下列判断正确的是（     ） A．命题“如果，那么”是真命题 B．对角线相等的四边形是矩形 C．三角形的外心到三角形三边的距离相等 D．的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查命题真假的判断，用到平方的性质、矩形的判定、三角形外心的性质和立方根的定义，逐一判断各选项即可得出结论； 【详解】解： 可得 或 ，举反例：时，满足 ，但 ，该命题是假命题，A错误； 只有对角线相等的平行四边形才是矩形，对角线相等的任意四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但不是矩形， B错误； 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等，到三边距离相等的是三角形的内心， C错误； ， 的立方根是 ，D正确； 46．如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，根据三角形的外心是三角形三条边的线段垂直平分线的交点，结合网格，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，满足题意，共2个， 故选：C． 47．下列说法正确的个数有（   ） ① 两条弧的长度相等，那么它们是等弧：② 若两个圆心角相同，则它们所对应的弧相等；③在同圆或等圆中，若两弦相等，则所对的弧相等：④ 若两弧相等，则所对的圆心角相等；⑤过三点可以画一个圆；⑥三角形的外心在三角形外． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了等弧的概念，在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条优弧（或劣弧），两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余 各组量都分别相等，过不在同一直线上的三点确定一个圆，三角形的外心等，熟练掌握相关知识点是解题的关键； 根据等弧的概念，可判定①；在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条优弧（或劣弧），两条弦中有一组量相等，那么它们所对的 其余各组量都分别相等，可判定②③④；根据过不在同一直线上的三点确定一个圆可判定⑤；根据三角形的外心知识可判定⑥． 【详解】等弧不仅要求长度相等，还要求弯曲程度相同．两条弧的长度相等，并不能说明它们是等弧：故①不正确； 在同圆或等圆中，若两个圆心角相同，则它们所对应的优弧和劣弧分别相等．两个圆心角相同，并不能说明它们所对应的弧相等，故②不正确； 在同圆或等圆中，若两弦相等，则它们所对应的优弧和劣弧分别相等，故③不正确； 若两弧相等，则说明它们是等弧，它们在同圆或等圆中，故所对的圆心角相等，故④正确； 过不在同一直线上的三点可以画一个圆，若三点在同一直线上，过这三点不能画圆，故⑤不正确； 锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外，故⑥不正确； 综上可知，说法正确的是④． 故选：B． 48．如图，矩形中，是的中点，过、、三点的圆与边、分别交于点、点，给出下列说法：（1）与的交点是圆的圆心；（2）与的交点是圆的圆心；（3）与圆相切，其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质和三角形外心，切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，解题的关键是掌握以上知识点． 连接、，作于，连接，如图，先确定，则垂直平分，则可判断点在上，再根据可判定与圆相切；接着利用可判断圆心不是与的交点；然后根据四边形为的内接矩形可判断与的交点是圆的圆心． 【详解】解：连接、，作于，连接，，如图， 是的中点， ， 垂直平分， ， ， ， ， ，， 点O位于的垂直平分线上， 点，，三点共线， ， ， 与圆相切； ， 点不是的中点， 圆心不是与的交点； ， ， 四边形为的内接矩形， 与的交点是圆的圆心； （1）错误，（2）（3）正确． 故选：C． 【题型13确定圆心、画圆（尺规作图）】 49．下列说法正确的是（     ） A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B．长度相等的弧是等弧 C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形 D．三个点确定一个圆 【答案】C 【分析】根据圆的相关性质与菱形的判定定理，逐一判断各选项的正误即可． 【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径才垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，当弦本身是直径时结论不成立，故该选项错误； B．等弧是能完全重合的弧，必须在同圆或等圆中长度相等的弧才是等弧，仅长度相等不能保证是等弧，故该选项错误； C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形，故该选项正确； D．不在同一直线上的三个点才能确定一个圆，三点共线时无法确定一个圆，故该选项错误． 50．下列说法正确的是（   ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件 B．三点确定一个圆是必然事件 C．平面内任意三点可以画三个平行四边形是必然事件 D．“明天的地方会降雨”表示明天一定会降雨 【答案】A 【详解】解：A、∵掷一枚质地均匀的硬币，有正面朝上、反面朝上两种不确定的结果，∴正面朝上是随机事件，A正确； B、∵只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，三点共线时无法确定一个圆，∴三点确定一个圆不是必然事件，B错误； C、∵若三点在同一直线上，无法画出平行四边形，∴平面内任意三点可以画三个平行四边形不是必然事件，C错误； D、∵“明天的地方会降雨”表示降雨范围的可能性，不是一定会降雨，∴D错误． 51．已知下列函数：；；；，则图象上的任意三点均可以确定一个圆的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查确定圆的条件，一次函数、二次函数与反比例函数的图象，熟练掌握相关知识是关键． 不在同一直线上的三点可以确定一个圆，结合函数的图象逐个判断即可． 【详解】解：不在同一直线上的三点可以确定一个圆， 对于①和④，一次函数的图象的形状是直线，故不符题意； 对于②，二次函数的图象的形状是抛物线，与直线最多两个交点，故符合题意； 对于③，反比例函数的图象的形状是双曲线，与直线最多两个交点，故符合题意． 故选：D． 52．下列语句中，正确的是（　　） A．经过三点一定可以作圆 B．在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角一定相等 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．三角形的外心到三角形各边距离相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的相关定义， 根据圆的基本性质、圆周角定理和垂径定理等知识判断各选项的正确性． 【详解】解：∵三点共线时无法作圆，∴A错误； ∵在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，∴B正确； ∵当弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，∴C错误； ∵三角形的外心是外接圆圆心，到各顶点距离相等，但到各边距离不一定相等，∴D错误． 故选：B． 【题型14求特殊三角形外接圆的半径】 53．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下： （甲）作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求； （乙）连接，两线段交于一点O，则O即为所求 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（    ） A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【分析】证明O为的两边中垂线的交点，判断甲，根据的圆周角所对的弦是直径判断乙，从而可得答案． 【详解】解：甲，∵矩形ABCD，E为AB的中点， ∴AE=EB，∠A=∠B=，AD=BC， ∴△ADE≌△BCE（SAS）， ∴ED=EC， ∴△DEC为等腰三角形， ∵射线L为∠DEC的角平分线， ∴射线L为线段CD的中垂线， ∴O为两中垂线之交点， 即O为△CDE的外心， ∴O为此圆圆心． 乙，∵∠ADC=，∠DCB=， ∴PC、QD为此圆直径， ∴PC与DQ的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确． 故选：A． 【点睛】本题考查的是确定圆的条件，涉及到矩形性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、垂径定理的推论，熟练掌握线段垂直平分线的性质、圆周角定理是解题的关键． 54．如图，已知，用尺规按照下面步骤操作： 作线段的垂直平分线； 作线段的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ） A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对 【答案】D 【分析】根据三角形外心的定义对结论 Ⅰ 进行判断；利用点 D、 G有任意性可对结论 Ⅱ 进行判断． 【详解】解：点是和的垂直平分线的交点， 点是的外心，故结论Ⅰ正确； 点，的位置不确定， 和的长度不确定，故结论Ⅱ不正确． 故选：． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和三角形的外心与内心，熟练掌握尺规作图和三角形外心的性质是解题的关键． 55．某校的数学兴趣活动课上，老师正在开展以“用尺规作图法作特殊角”为主题的探究．如图，已知为外一点，请用尺规作图法在上求作一个点，使． 作法说明：①先作线段的垂直平分线，交于点． ②再以点为圆心，的长为半径画圆，分别交于点，． ③点，均满足题意，点，为所求作的点． 按照上述作图步骤，在图中补全图形，保留作图痕迹． 【答案】 【分析】根据作图步骤可得为直径，由直径所对的圆周角为直角可得，，进而即可得解． 【详解】略 56．根据下列条件作圆： (1)以定点为圆心，作半径等于的圆； (2)以定点为圆心作圆，使其过另一个定点； (3)先任作一条线段，再作半径为的圆． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求； (3) 如图，即为所求． 【分析】根据题意画出圆即可； 先任意画线段，然后作垂直平分线，交于点，再以为半径画圆即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 【题型15反证法中的假设】 57．用反证法证明命题“三角形中必有一个角不大于”，第一步应先假设（     ） A．三角形中的三个角都大于 B．三角形中必有一个角大于或等于 C．三角形中必有一个角小于 D．三角形中必有一个角小于或等于 【答案】A 【分析】反证法证明命题时，第一步需假设原命题的结论不成立，只需找到原结论的反面即可得到答案． 【详解】解：∵原命题的结论是“三角形中必有一个角不大于”， ∴该结论的否定是“三角形中三个角都大于”， 即第一步应假设三角形中的三个角都大于． 58．用反证法证明：在中，，的对边分别是，，若，则．第一步应假设（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】反证法证明命题时，第一步需要假设原命题的结论不成立，只需找出待证结论的否定即可得到答案． 【详解】解：∵原命题要证明的结论是， ∴第一步应假设． 59．用反证法证明命题“如图，若，则”时，第一步应假设（    ） A． B． C．与平行 D．与不平行 【答案】D 【分析】反证法证明命题的第一步是假设命题的结论不成立，根据原命题找出结论即可判断． 【详解】解：反证法证明命题时，第一步应假设命题的结论不成立． ∵原命题“若，则”的结论是， ∴第一步应假设与不平行． 60．用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（     ） A．每一个内角都小于 B．每一个内角都大于 C．有一个内角小于或等于 D．有一个内角小于 【答案】A 【分析】反证法第一步需假设原命题结论不成立，即结论的反面成立，写出原结论的反面即可得到答案． 【详解】解：∵ 用反证法证明命题时，应先假设结论不成立， 原命题结论为“四边形中至少有一个内角大于或等于” ， ∴ 结论不成立即“每一个内角都小于”． 【题型16用反证法证明命题】 61．已知点、为抛物线 （a为常数， ）上的两点，当 ， 时（     ） A．若 ，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 【答案】B 【分析】先求得抛物线对称轴为，开口向上，点离对称轴越远函数值越大，且恒大于，A取反例，两点在对称轴右侧，由右侧随增大而增大得，判定A错误；B要恒成立需所有到轴距离均大于，时满足该条件，则无法保证，判定B正确；C取反例，离对称轴更远得，与结论矛盾，判定C错误；D取反例，满足但，与结论矛盾，判定D错误． 【详解】解：∵抛物线 ， ， ∴抛物线开口向上，对称轴为 ， 又∵ ， ， ∴， 开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，函数值越大，同时在对称轴左侧，随的增大而减小；在对称轴右侧，随的增大而增大， 对于A：取 ，此时 ， ，两点都在对称轴右侧， 随增大而增大，得，故A错误，该选项不符合题意； 对于B：要使恒成立，需保证所有满足条件的，到对称轴的距离都大于所有到对称轴的距离， 当时：，所有都在对称轴左侧，且到对称轴的距离都大于； 在到之间，结合，任意到对称轴的距离恒大于任意到对称轴的距离， 因此所有离对称轴更远，恒成立， 反之，若，则会出现离对称轴更远的情况，无法保证， 因此“若，则”成立，故B正确，该选项符合题意； 对于C：取，此时在到之间（对称轴左侧），在到之间（对称轴右侧）， 到对称轴的距离都大于，到对称轴的距离都小于， 根据开口向上“距离越远值越大”的规律，可得与结论矛盾，故C错误，该选项不符合题意； 对于D：取，此时在到之间（对称轴左侧），在到之间（对称轴右侧）， 到对称轴的距离都小于，到对称轴的距离都大于，因此<，但此时，与结论矛盾，故D错误，该选项不符合题意． 62．定义：对于两个分式和，若满足（是不为0的常数），则称是的“和美分式”，此时称为“和美数”．下列结论： ①若，，则是的“和美分式”； ②若，且是的“和美分式”，且“和美数”为2，则； ③若分式和，，（，为常数），则一定是的“和美分式”； ④若是的“和美分式”，则不可能是的“和美分式”． 其中正确的是（     ） A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题为新定义题型，根据“和美分式”的定义，逐一计算每个结论中的值，判断结果是否为非零常数，即可得到正确选项． 【详解】解：① ， ，，符合定义，①正确； ② 根据定义，是的和美分式，和美数为，则 ，②错误； ③ ， ，若时，则，不符合题意，故③错误； ④ 假设是的“和美分式”，则由题意得 解得，即均为常数，不符合题意， 故假设不成立， ∴若是的“和美分式”，则不可能是的“和美分式”，故④正确， 综上，①④正确． 63．用反证法证明命题“在中，若，则．”时，应先假设，则所得结论与下列选项相矛盾的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反证法先假设原结论不成立，经过推导推出矛盾，即可证明原结论成立． 【详解】解：∵假设，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得， ∴该结论与原命题已知条件相矛盾， 因此矛盾对应的选项为． 64．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角（、、）中有两个直角，不妨设．正确顺序的序号为（   ） A．③②① B．①③② C．②③① D．③①② 【答案】D 【分析】反证法的步骤是先假设结论不成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立，据此可得答案． 【详解】解：反证法中第一步先假设结论不成立，即第一步为假设三角形的三个内角（、、）中有两个直角，不妨设， 第二步是推出矛盾，即推出假设不成立，即第二步为，这与三角形内角和为相矛盾，不成立， 第三步为所以一个三角形中不能有两个直角 故正确的顺序为③①②． 【题型17举反例】 65．下列选项中，能说明命题“若，则．”是假命题的a的值是（     ） A．4 B． C．0.5 D． 【答案】D 【分析】要说明一个命题是假命题，只需找到使命题不成立的反例即可.当不等式两边同乘负数时，不等号方向改变，因此当时原命题不成立. 【详解】解：对不等式变形，两边同时减去，得：， ∵已知，若，根据不等式的性质，不等号方向改变，可得， ∴此时，原命题不成立. 选项中只有，符合要求，因此选D. 66．为说明“若，则”是假命题，可举反例（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】要说明原命题是假命题，只需找出满足条件，但不满足结论的反例，逐个验证选项即可． 【详解】解：选项A．，，且，符合原命题，不是反例． 选项B．，，且，满足条件，但不满足结论，是原命题的反例． 选项C．，，不满足命题条件，不是反例． 选项D．，，不满足命题条件，不是反例． 67．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反例需要满足命题条件，且不满足命题结论，据此逐一判断选项即可． 【详解】反例需要满足条件，且不满足结论． 选项B、D中，，均不满足， B、D不符合要求，不是反例； 选项C中，满足，且，满足命题结论， C不是反例； 选项A中，满足，且，不满足， A是符合要求的反例． 68．如图，在中，、相交于点，平分．可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要说明命题“相等的角是对顶角”是假命题，需要举出一个反例，即找到两个角相等，但它们不是对顶角；根据角平分线的定义可得，这两个角相等但不是对顶角，符合反例的要求． 【详解】解：∵平分， ∴； 又∵与有公共边，它们不是对顶角， ∴可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例； 对于B选项，与是对顶角，不能作为反例； 对于A、C选项，角不相等，不满足命题的题设． 【题型18点与圆上一点的最值问题】 69．如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】先利用正方形的边相等、内角为直角的性质，结合证明，进而推出，从而确定点G的运动轨迹是以为直径的圆弧， 将求线段最小值问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题，当O，G，D共线时，有最小值，用点到圆心的距离减去半径即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点G的运动轨迹是以为直径的圆弧，当O，G，D共线时，有最小值， 如图，以为直径作，连接， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】“定弦定角”模型是发现隐圆、进而求解最值的关键核心． 70．如图，中，，点为的边上或内部一动点，满足，连接，若的最小值是，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，可知点在以为直径的上，根据的最小值是，求出，因为当点在上时，最大，利用勾股定理可得方程设，则，解方程求出的值即为的最大值． 【详解】解：如下图所示， ， 点在以为直径的上， 当点在上时，最小， 、是的半径， ， 设，则， ，点是的中点， ， 在中，， ， 解得：， ， 当点在上时，最大， 设，则， ， 即， 解得：． 71．如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的长是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理得，又长度一定，则点P在以中点O为圆心，长为半径的圆上运动，所以当B、P、O三点共线时，最短；在中，利用勾股定理可求的长，并得到点P是的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质可求解． 【详解】解：， ∴， 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆，则点P在此圆上运动，当B、P、O三点共线时，最短， ， ，， ， ， ∴点P是的中点， ∴在中，． 72．综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片，，，他在边上取中点N，又在边上任取一点M，再将沿折叠得到，连接．则的长度不可能是（     ） A．16 B．18 C．24 D．26 【答案】D 【分析】根据折叠的性质和中点的定义，可得，从而可得当点在边上运动时，点在以点为圆心的圆弧上运动，利用勾股定理，求，根据“圆外一点到圆上最短距离”可得，，根据点在边上运动，可得，则，即可求解． 【详解】解：如图1，连接， 将沿折叠得到， ， 点为的中点，， ， 当点在边上运动时，点在以点为圆心的圆弧上运动， 如图2，在中，， ， ， 的最小值为16， ，且点在边上， ， ，故不可能是26． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 圆的有关概念 （2大考点18大题型） 学习目标 1.掌握圆的定义，以及半径、弦、弧、圆心角、圆周角的定义。 2.掌握点与圆的位置关系以及条件。 3.掌握三角形外接圆的概念，外心与三边的关系，特殊三角形的外心与圆心角的关系.(重点、难点）。 4.掌握点与圆上一动点距离的最值问题。（重点、难点）。 考点整理 一、圆的基本概念 定 义 示例剖析 圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆． 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 由圆的定义可知： （1）圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． （2）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 表示为“” 圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 能够重合的两个圆叫做等圆． 弦和弧： 1．连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 以A、B为端点的弧记作，读作弧AB． 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 4．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 表示：劣弧 优弧或 圆心角和圆周角： 1．顶点在圆心的角叫做圆心角． 2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 二、点与圆的位置关系 1．点和圆的位置关系有三种： 点在圆上、点在圆内和点在圆外，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 则有：点在圆外； 点在圆上； 点在圆内. 2．三角形的外接圆 （1）确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆． （2）外接圆定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 注意： （1）外心的确定：三条垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在它的内部；直角三角形的外心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形的外心在它的外部． （2）外心到三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径． 题型归纳 【题型1 圆的基本概念辨析】 1．如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交边于点；则的长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 3．已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（    ） A．所有半径都相等 B．过圆心的直线是圆的直径 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 【题型2 求圆中弦的条数】 5．如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 6．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 7．如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 8．经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 【题型3 求过圆内一点的最长弦】 9．已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 10．如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 11．已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 12．下列选项中，能够被半径为的圆及其内部所覆盖的图形是（    ） A．长度为的线段 B．斜边为的直角三角形 C．面积为的菱形 D．半径为，圆心角为的扇形 【题型4 判断点与圆的位置关系】 13．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 14．已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 15．已知的半径为4，若点在内，则点到圆心的距离可能为（    ） A．4 B． C．5 D．7 16．如图，在的正方形网格中，点，，，均在格点上，一条圆弧经过，，三点，那么点与这条圆弧所在圆的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 【题型5 利用点与圆的位置关系求半径】 17．点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 18．已知点P在半径为2的上，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．点是外一点，的半径是，则的长可能是（    ） A． B． C． D． 20．如图，已知在矩形中，，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，且点在内，点在外，的半径的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【题型6 已知半径和圆上两点作圆】 21．已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 22．如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为_____． 23．点A是半径为2的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6．连接OA，AB． （1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值；将下列解答过程补充完整． 解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′． 由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形． ∴OO′＝BO＝6 又∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC＝60°，AB＝BC ∴∠OBO′＝∠ABC＝60° ∴∠OBA＝∠O′BC 在△OBA和△O′BC中， ∴　 　（SAS） ∴OA＝O′C 在△OO′C中，OC＜OO′+O′C 当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C 即OC≤OO′+O′C ∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是 　 　． （2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值； （3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长． 24．【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根． 【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化简得：.同理可得 所以m，n为方程的两个实数根． 【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N． （3）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．    【题型7 三角形外接圆的概念】 25．如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为   A．5 B． C．6 D．3 26．已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点A，交于一点M，则当取得最大值时，k的值为（  ） A． B． C． D． 27．圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，则该圆的半径是___________． 28．如图，已知和射线，动点在上，动点在射线上，．若的最小值为，最大值为，则的半径为_________． 【题型8求三角形外心坐标】 29．如图，在直角三角形中，，点D在外接圆上，且平分，则的大小为（   ） A． B． C． D．随点C的位置变化而变化 30．如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 31．如图，已知点是的外心，，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 32．下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【题型9求特殊三角形外接圆的半径】 33．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 34．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 35．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 36．如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段，则点D与的位置关系为（   ） A．点D在上 B．点D在外 C．点D在内 D．无法确定 【题型10已知外心的位置判断三角形的形状】 37．在中，，，，则外接圆的半径为（    ） A．10 B．5 C．6 D．4 38．如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 39．已知在中，，则的外接圆直径为（    ） A． B． C． D． 40．直角三角形的两边长分别为和，则此三角形的外接圆半径是（     ） A．或 B．或 C． D． 【题型11判断三角形外接圆圆心的位置】 41．如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 42．的外心在三角形的一边上，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 43．下列命题中真命题的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弦相等 C．任意三点确定一个圆 D．外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形 44．如图，是等边三角形且边长为1，点，，分别在边的延长线上，，连接，．给出下面四个结论： ①是等边三角形； ②； ③的面积为； ④的外心与的外心重合． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【题型12判断确定圆的条件】 45．下列判断正确的是（     ） A．命题“如果，那么”是真命题 B．对角线相等的四边形是矩形 C．三角形的外心到三角形三边的距离相等 D．的立方根是 46．如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 47．下列说法正确的个数有（   ） ① 两条弧的长度相等，那么它们是等弧：② 若两个圆心角相同，则它们所对应的弧相等；③在同圆或等圆中，若两弦相等，则所对的弧相等：④ 若两弧相等，则所对的圆心角相等；⑤过三点可以画一个圆；⑥三角形的外心在三角形外． A．0 B．1 C．2 D．3 48．如图，矩形中，是的中点，过、、三点的圆与边、分别交于点、点，给出下列说法：（1）与的交点是圆的圆心；（2）与的交点是圆的圆心；（3）与圆相切，其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型13确定圆心、画圆（尺规作图）】 49．下列说法正确的是（     ） A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B．长度相等的弧是等弧 C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形 D．三个点确定一个圆 50．下列说法正确的是（   ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件 B．三点确定一个圆是必然事件 C．平面内任意三点可以画三个平行四边形是必然事件 D．“明天的地方会降雨”表示明天一定会降雨 51．已知下列函数：；；；，则图象上的任意三点均可以确定一个圆的是（    ）． A． B． C． D． 52．下列语句中，正确的是（　　） A．经过三点一定可以作圆 B．在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角一定相等 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．三角形的外心到三角形各边距离相等 【题型14求特殊三角形外接圆的半径】 53．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下： （甲）作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求； （乙）连接，两线段交于一点O，则O即为所求 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（    ） A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 54．如图，已知，用尺规按照下面步骤操作： 作线段的垂直平分线； 作线段的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ） A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对 55．某校的数学兴趣活动课上，老师正在开展以“用尺规作图法作特殊角”为主题的探究．如图，已知为外一点，请用尺规作图法在上求作一个点，使． 作法说明：①先作线段的垂直平分线，交于点． ②再以点为圆心，的长为半径画圆，分别交于点，． ③点，均满足题意，点，为所求作的点． 按照上述作图步骤，在图中补全图形，保留作图痕迹． 56．根据下列条件作圆： (1)以定点为圆心，作半径等于的圆； (2)以定点为圆心作圆，使其过另一个定点； (3)先任作一条线段，再作半径为的圆． 【题型15反证法中的假设】 57．用反证法证明命题“三角形中必有一个角不大于”，第一步应先假设（     ） A．三角形中的三个角都大于 B．三角形中必有一个角大于或等于 C．三角形中必有一个角小于 D．三角形中必有一个角小于或等于 58．用反证法证明：在中，，的对边分别是，，若，则．第一步应假设（     ） A． B． C． D． 59．用反证法证明命题“如图，若，则”时，第一步应假设（    ） A． B． C．与平行 D．与不平行 60．用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（     ） A．每一个内角都小于 B．每一个内角都大于 C．有一个内角小于或等于 D．有一个内角小于 【题型16用反证法证明命题】 61．已知点、为抛物线 （a为常数， ）上的两点，当 ， 时（     ） A．若 ，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 62．定义：对于两个分式和，若满足（是不为0的常数），则称是的“和美分式”，此时称为“和美数”．下列结论： ①若，，则是的“和美分式”； ②若，且是的“和美分式”，且“和美数”为2，则； ③若分式和，，（，为常数），则一定是的“和美分式”； ④若是的“和美分式”，则不可能是的“和美分式”． 其中正确的是（     ） A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④ 63．用反证法证明命题“在中，若，则．”时，应先假设，则所得结论与下列选项相矛盾的是（） A． B． C． D． 64．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角（、、）中有两个直角，不妨设．正确顺序的序号为（   ） A．③②① B．①③② C．②③① D．③①② 【题型17举反例】 65．下列选项中，能说明命题“若，则．”是假命题的a的值是（     ） A．4 B． C．0.5 D． 66．为说明“若，则”是假命题，可举反例（     ） A．， B．， C．， D．， 67．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中可以为（     ） A． B． C． D． 68．如图，在中，、相交于点，平分．可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例是（     ） A． B． C． D． 【题型18点与圆上一点的最值问题】 69．如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为（     ） A．2 B． C．4 D． 70．如图，中，，点为的边上或内部一动点，满足，连接，若的最小值是，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 71．如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的长是（     ） A．1 B． C． D． 72．综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片，，，他在边上取中点N，又在边上任取一点M，再将沿折叠得到，连接．则的长度不可能是（     ） A．16 B．18 C．24 D．26 学科网（北京）股份有限公司 $