考点培优练02 指对幂函数的图象与性质 7大考点（高效培优专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

考点培优练02 指对幂函数的图象与性质 7大考点 考点预览 考点01 指数函数含参分类讨论 1 考点02 对数函数定义域约束+嵌套的含参问题 4 考点03 指对幂数值大小比较（跨阶构造函数+放缩培优题型） 8 考点04 指对函数图像平移翻折、绝对值嵌套临界交点问 11 考点05 指对同构变形（嵌套方程、超越方程求解，导数高频工具） 16 考点06 指对幂零点问题（区间零点存在性、多零点参数范围） 21 考点07 指对幂综合恒成立与存在性问题（参变分离+最值嵌套） 26 考点通关 考点01 指数函数含参分类讨论 核心培优考法： ①底数(a>1、0<a<1)双层分类，结合内层二次 / 一次函数单调性嵌套； ②指数型复合函数在闭区间上值域恒成立、存在性求参数； ③分段指数函数衔接点单调性一致性参数限定。 解题方法 分层拆解：为二次/一次函数，先定内层单调区间，再对底数分两类用同增异减； 值域逆向：先求内层取值范围，再结合指数函数单调性反推y范围； 恒成立翻译：恒成立，存在性则取最大值。 【典例1】（2026·广东肇庆·二模）(多选题)若存在，使得函数在区间和上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】BC 【分析】先应用指数函数单调性转化已知条件，再应用导函数得出函数单调性求解参数判定A和B，再根据单调性判断C，D. 【详解】因为函数在上单调递增，所以原命题等价于“存在，使得函数在区间和上单调递减”. 又因为，所以，故A错误､B正确； 此时在上单调递增，在和上单调递减， 所以在上单调递增，在和上单调递减，故C正确､D错误. 【跟踪训练】1．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为为上的增函数， 所以由复合函数的单调性知在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足题意； 当时，在上单调递减，则， 解得. 综上，. 2．（2026·山西吕梁·三模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的性质及导数分析分段函数单调性及最值，再利用单调递增条件构造不等式，从而求出的取值范围． 【详解】当时，，开口向下，对称轴为， 在上单调递增，最大值为； 当时，，求导得， 要使在上单调递增，需对所有恒成立， 即，则， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得最大值，， ， 在上单调递增， ，解得， 综上可得，． 3．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数定义域与复合函数单调性计算即可得. 【详解】令， 由题意知，在上单调递减，且在上恒成立. 所以，解得. a的取值范围是. 4．（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，定义域为. 易知函数只含项， 因此关于直线对称.当增大时，增大，函数值增大， 所以在上单调递减，在上单调递增. 等价于离的距离小于离的距离大小问题， 即.两边平方得； 整理得，解得. 故的取值范围为. 考点02 对数函数定义域约束+嵌套的含参问题 核心培优考法 1. 定义域在 R 上恒成立恒成立；给定区间上对数函数有意义，逆向锁定二次型真数参数范围；对数嵌套分式、根式多层复合定义域联立不等式组。 解题方法 1. 核心铁律：①对数真数，底数； 2. ②真数为二次恒成立：区间有解则转化二次函数端点值、对称轴位置分析； 3. ③多层复合从外向内逐层列不等式，取交集。 1. ④定义域问题永远优先于单调性、值域分析，压轴题常故意省略定义域挖坑； 2. ⑤区分 “定义域为 R” 和 “值域为 R”：值域为 R 要求真数二次能取遍全体正实数，，极易混淆。 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若的定义域为R，求实数的取值范围． (2)若的值域为R，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得到恒成立，再通过讨论求解即可； （2）通过，两类情况讨论即可； 【详解】（1）由题意得恒成立． 当时，，定义域为，不符合题意． 当时，由题意得解得． 综上可得，的取值范围是． （2）当时，，值域为R，符合题意． 当时，由题意得解得． 综上可得，的取值范围是． 【跟踪训练】1．（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）我们把具有相同定义域的函数称为“同域函数”．若函数与是“同域函数”，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目条件函数的新定义结合函数的定义域和值域分析判断选项. 【详解】由，解得或， 所以的定义域为， 故的定义域, 令，则或， 所以函数可转化为， 函数的对称轴为， 当时，；当时，， 故的值域为． 故选：D 2．（25-26高三下·江苏南京·阶段检测）函数的值域为的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分时值域及当时结合判别式计算求参，再结合充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，，满足值域为R，成立； 当时，应有，则，综上， 对于A，是的充分不必要条件，满足； 对于B，是的充要条件，不满足； 对于C，是的必要不充分条件，不满足； 对于D，是的既不充分也不必要条件，不满足. 3．（25-26高三上·山东烟台·期中）(多选题)已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于直线对称 C．若有两个零点，则 D．若的值域为，则 【答案】BC 【分析】根据对数函数、二次函数的性质研究的区间单调性及对称性、值域判断A、B、D，令，结合判别式求参数范围判断C. 【详解】由题设，且，对称轴为， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，若是的两个根，且，则上， 此时在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 综上，在时在上单调递增，且其图象关于对称，A错误，B正确， 令，即， 若有两个零点，则，可得，C正确， 若的值域为，则，此时，D错误. 故选：BC 4．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）(多选题)已知函数，下列说法正确的是（     ） A．与函数的单调区间一定相同 B．若有两个零点，则的取值范围为 C．的图象关于直线对称 D．存在实数使的定义域和值域都为 【答案】BC 【分析】利用两个函数定义域特征判断A；利用零点定义求出范围判断B；利用轴对称特征判断C；利用对数型复合函数的定义域、值域都为R分别求出范围判断D. 【详解】对于A，由，得不等式的解集为的定义域， 而的定义域为R，因此两者的单调区间不一定相同，A错误； 对于B，由，得， 有两个零点，当且仅当方程有两个不等的实数根， 因此，解得，B正确； 对于C，，由，得的图象关于直线对称，C正确； 对于D，的定义域为，当且仅当； 的值域为，当且仅当， 因此不存在实数使的定义域和值域都为，D错误. 故选：BC 考点03 指对幂数值大小比较（跨阶构造函数+放缩培优题型） 核心培优考法 1. ①指数、对数、幂函数三类数混杂比较； 2. ②同指数 / 同底数失效，构造单调性比大小； 3. ③精细放缩：，锁定边界。 解题方法 1. ①基础分层：正负分界为中间值初步分组； 2. ②构造函数法：对型取对数，构造求导判单调； 3. ③放缩法：指数、对数跨阶无法单调性直接比较时，用经典切线不等式限定上下界。 【典例3】（2025·福建泉州·模拟预测）已知.则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为，分别构造和， 利用其单调性，比较的大小关系，进而得到的大小关系. 【详解】因为， 所以， ， 令， ，令， 则，所以在单调递减， 所以，所以在恒成立， 所以在单调递减，所以， 所以，即，所以. ， 令，则， 令，则， 所以在单调递减，所以， 所以在恒成立，所以在单调递减 所以，所以，即， 所以，即. 综上，. 故选：B. 【跟踪训练】1．（2026·陕西榆林·三模）已知的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则. 当时，则，可得，所以在上单调递减. 因为，且， 所以，即． 2．（24-25高三·全国·三轮复习）若是定义在上的函数，导函数满足对于恒成立，则(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，由其单调性即可判断. 【详解】由题意构造函数， 则＝， 因为导函数满足， 所以，所以在R上单调递减， 所以，，即，， 所以. 故选：D. 3．（2026·北京东城·二模）已知非零实数x，y满足，则下列各式中为定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令且，则， 所以，当的值变化时，不确定， 则的值不为定值； ，当的值变化时，不确定， 则的值不为定值； ，为定值； ，当的值变化时，不确定， 则的值不为定值. 4．（2024·江西赣州·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，对求导可得在上单调递减，可得，即，再由作差法比较的大小，即可得出答案. 【详解】令,, 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以，即， 所以可得，故， 因为， 所以， 故. 故选：D. 考点04 指对函数图像平移翻折、绝对值嵌套临界交点问 核心培优考法 ①、分段图像绘制； ②动直线与指对曲线相切，利用导数求切点临界； ③分段指数 / 对数函数与水平直线多交点参数范围。 解题方法 ①绝对值处理：拆成分段函数，分界点单独计算函数值； ②相切临界：联立方程，导数斜率相等 + 切点纵坐标一致，联立方程组求解参数； ③数形结合：固定曲线，平移旋转直线，标记临界相切、过定点两个边界。 ④图像变换切忌死记口诀，分段写解析式更稳妥；交点个数问题端点能否取等，必须代入验证，多选填空极易在此扣分。 【典例4】（2026·贵州毕节·二模）已知函数的图象过点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（    ） A． B．4 C．或 D． 【答案】A 【分析】由函数所过的点和推知，根据对数函数的图象无限靠近轴，类比分析得到，从而列方程组得解. 【详解】由题知，，即， 又，则，解得， 由对数函数性质，无限接近， 则时，，即， 故，解得，则 【跟踪训练】1．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出的图象，结合函数的图象可得方程的解、满足，根据根分布可求实数取值范围． 【详解】根据解析式知的图象如图所示： 由题意，有4个不相等的实数根， 设，结合图象可知有两个不等实根， 设此关于方程的解为、，其中均不为零且． 由题设可得关于的方程和共有4个不同的解，， 故不能都大于2，不能都小于等于1， 故（舍）或或（舍）． 令，其开口向上， 需满足，即，解得. 2．（25-26高三下·江西赣州·期中）已知函数，若函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知得到关于点对称，结合平移关系有关于点对称，最后由奇偶性得，即可得. 【详解】由，则， 所以关于点对称，则关于点对称， 要使为偶函数，则为奇函数， 则， 所以. 3．（2026·陕西延安·三模）(多选题)已知函数，若函数有4个零点，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】BC 【分析】利用对数函数及正弦函数的性质可以画出函数图象，结合图象分析逐个选项分析即可. 【详解】对A，画出函数的图象，如图所示，因为函数有4个零点，即有4个解， 也即直线与图象有4个交点，所以，所以A错误； 对B，因为有4个零点，，，，且， 所以零点位置如图所示，因为，结合图象可知，两零点关于直线对称，所以，B正确； 对C，时，或， 解得或， 对，令，则，则由图可知， 所以， 因为函数在单调递增，所以，故C正确： 对D，，是方程的两个解，且，所以，，所以，， 令，所以，， 令，，根据对勾函数的性质，该函数在上单调递增， 所以，所以的取值范围为，所以D错误. 4．（25-26高三上·河北张家口·开学考试）(多选题)对于函数，则下列判断正确的是（    ）． A．直线是过原点的一条切线 B．关于对称的函数是 C．若过点有2条直线与相切，则 D． 【答案】ACD 【分析】由导数的几何意义可判定A，由反函数的概念可判定B，利用对数函数的图像可判定C，利用常用的切线放缩可判定D. 【详解】对于A，设切点，则， ∴，∴，∴，切点 所以过原点的切线方程为，∴A正确； 对于B，由反函数的概念可得，故与关于对称的函数为，∴B错误； 对于C，若过点有2条直线与相切，则点在上方，如下图所示，    即，即，∴C正确； 对于D，由于，设， 令，令， ∴在上单调递增，在上单调递减； ∴，∴D正确． 故选：ACD 考点05 指对同构变形（嵌套方程、超越方程求解，导数高频工具） 核心培优考法 ①经典两级同构互相转化； ②多层嵌套指对混合方程无初等解，利用同构单调性脱去外层函数； ③恒成立不等式整体同构，无需参变分离直接构造新函数。 解题方法 ①经典同构模板： ②变形原则：等式两侧整理成，若单调，则； ③不等式同构：统一结构后利用单调性直接脱去外层超越函数。 【典例5】（2025高三·全国·专题练习）已知，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，，求出函数的单调区间，结合已知可得，不妨设，记，，解法一：设，利用导数求出的范围即可； 解法二：由题设易得，再结合对数均值不等式即可得解. 【详解】令，，则， 故当时，单调递增，当时，单调递减， 因为，所以， 又，不妨设，记，. 解法一：设， 则在上恒成立， 所以在上单调递减，所以， 则，又，且在上单调递减， 所以，则，所以，故选D. 解法二：由，两式相减整理得， 由对数均值不等式，可得. 故选：D. 【跟踪训练】1.（24-25高三下·河北·阶段检测）(多选题)若不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】将不等式变形为，然后由指数切线不等式得，再构造函数求出其最小值即可求解. 【详解】因为，所以，则． 令，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．故，即， 从而，当且仅当时，等号成立． 又，所以，则，所以． 令，则． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增．故， 且当时，. 故选：ABD． 2．（25-26高三下·福建·开学考试）(多选题)若，则（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．， 【答案】CD 【分析】举反例判断AB；对于C，先检验时满足题意，当时，由题设可得，设，利用导数分析其单调性，可得，，进而求解判断即可；对于D，由可得或，再结合函数图象求解即可判断. 【详解】对于A，当，时满足，而，故A错误； 对于B，当，时满足，故B错误； 对于C，当时，若，满足，且； 若，由，得， 设，则， 而，设，则， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，又， 则或时，， 所以在和上单调递增， 设函数，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，则，当且仅当时，等号成立． 当时，，当时，， 所以当且时，由，得， 则，即，又在上单调递增，则， 令，则， 所以在上单调递增，则， 所以，即； 综上所述，当时，，故C正确； 对于D，若存在，使得，由C知，若，可得， 当时，等式不成立； 当时，得或，即或， 画出函数与函数的图象，易得两图象有交点，故D正确． 3．（24-25高三·全国·二轮复习）(多选题)若实数，满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】将原不等式转化为，进一步转化为，构造并讨论的单调性与最值即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以，所以， 令，， 则，即， 所以， 令，则， 令，得；令，得， 所以在单调递增，单调递减， 则， 要使成立，即， 则当且仅当， 所以解得， 所以，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC. 4．（23-24高三上·湖北武汉·阶段检测）(多选题)已知实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先由题意可知，由，得，构造函数，得，再对四个选项逐一分析即可. 【详解】由题意可得， 则由，得. 对于A：设，， 则在区间上，，为增函数， 所以由题意可得，所以，故A正确； 对于B：由，得,故B错误； 对于C：由A可知在区间上为增函数， 且，则，即, 则, 由,得, 令,则, 所以在上单调递增, 所以, 所以,故C错误； 对于D：又, 令, 则, 所以在上单调递增,所以， 所以, 又，且, 令， 根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且， 所以， 综上可得，故D正确； 故选:AD. 【点睛】关键点睛： 本题关键点在于构造函数，利用导数求其单调性，从而可得. 考点06 指对幂零点问题（区间零点存在性、多零点参数范围） 核心考点培优 ①跨阶函数零点个数分析； ②拆分两个曲线交点等价零点，数形结合定参数边界； ③给定零点所在区间，端点函数值异号 + 单调性综合约束参数。 解题方法 ①零点等价变形：，转化两图像交点问题； ②连续函数零点存在定理：区间端点函数值异号；结合导数判断单调性，限定极值符号； ③多零点：求导找极值点，极值大于 0、小于 0 划分交点数量。 【典例6】（2025·湖南·二模）若，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知可得分别为与三个函数交点的横坐标，做出函数图象，即可求解结论. 【详解】做出函数的图象， 根据图象可得，. 故选：B. 【点睛】本题考查方程的解与函数图象间的关系，熟练掌握基本初等函数性质是解题关键，属于基础题. 【跟踪训练】1．（2026·河南新乡·三模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求解三个函数的零点满足的关系式,再数形结合利用函数图象的交点比较大小即可. 【详解】的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， ∵函数的零点分别为, 作出函数的图象如图， 由图可知：,    2．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题化为、、与的交点横坐标，画出大致函数图象，数形结合比较大小即可. 【详解】由题意，的零点分别为、、与的交点横坐标为，    它们的大致图象如上图示，易知，其中. 故选：A 3．（2024·江西南昌·三模）若，，，则正数大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为函数与函数的交点的横坐标，再数形结合即可判断. 【详解】由，则为与交点的横坐标， 由，则为与交点的横坐标， 由，即，则为与交点的横坐标， 作出，，，的图象如下所示， 由图可知，. 故选：B 4．（24-25高三上·湖北·期中）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数的零点，转化为函数的图象分别与函数的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解. 【详解】函数的零点， 即为函数的图象分别与函数的图象交点的横坐标， 如图所示：    由图象可得：， 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的零点以及指数函数，对数函数和幂函数的图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 5．（25-26高三上·广东惠州·期末）(多选题)已知函数有两个零点，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】把零点问题转化为与的图像交点问题，再结合指数、对数函数的单调性，通过变形与推导逐一判断选项对错. 【详解】函数零点即方程的解，等价于与的交点横坐标. 选项A，当时，，最多只有一个零点，当时，如图所示有两个交点，且，故选项A正确；    选项B，由零点定义，满足，因为递减，所以，则，故选项B正确. 选项C， 解法1：将原式等价表示为，由可知，故C选项错误. 解法2：两边同时除以改为，由可知，则，与选项矛盾，故C选项错误. 解法3：将代入，则，由矛盾，故C选项错误. 选项D，由零点定义可知，，，， 则，即. 因，且递减，故， 则. 因此.故选项D正确. 故选：ABD. 考点07 指对幂综合恒成立与存在性问题（参变分离+最值嵌套） 核心考点培优 ①单变量：在区间上恒成立；②双变量：最值嵌套翻译； ③参变分离后超越函数最值求解（导数求极值）。 解题方法 ①恒成立/存在性标准最值翻译：； ②双变量嵌套逐级转化两个函数最值； 1. 参变分离：把参数单独放到一侧，另一侧构造新函数求最值； 2. 无法分离则分类讨论参数范围，结合单调性限定极值。 【典例7（25-26高三上·贵州·阶段检测）已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，将问题化为计算两个函数的最大值即可. 【详解】易知，令得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以时，单调递增，即， 而时，， 由题意可知，所以，即. 故选：A 【跟踪训练】1．（2026·江苏·二模）已知函数（为自然对数的底数），若对任意，总存在，使得，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用导函数求出，将问题转化为对，恒成立，再令得出，再检验对，恒成立即可. 【详解】因为，所以， 当时，单调递增；当时，单调递减； 故， 因为对任意，总存在，使得， 所以对，恒成立， 若，则，得，又，所以， 令，则， 令，得，， 当或时，单调递增； 当时，单调递减； 因为，所以， 则 ， 同理可得，， 因为，所以， 因此，当时，对，恒成立， 故实数的最大值为. 2．（25-26高二上·广西贵港·阶段检测）已知函数，若对任意（0，2]，存在[1，2]，使，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确“任意-存在”型不等式的转化逻辑，再利用导数判断函数的单调性并求出其最值解决问题. 【详解】，令，解得或， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 因为对任意，存在，使， 所以在上有解，整理得， 令，， 令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减. 因为，所以， 所以. 故选：B 3．（25-26高三上·安徽·期中）已知函数，若存在，对任意，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，，再分别求出两个函数的最大值即可得解. 【详解】，当时，， 所以在上单调递增， 所以当时，， 而时，， 由题意得，， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 4．（25-26高二下·天津·阶段检测）已知函数, ，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，转化为分别求两个函数的最小值，利用导数求函数最小值，对于函数，讨论函数的对称轴和定义域的关系，求函数的最小值. 【详解】由题意可知，因为， 所以，且， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，取得最小值，， 函数在单调递增，故， 故，解得，综上可知：. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练02 指对幂函数的图象与性质 7大考点 考点预览 考点01 指数函数含参分类讨论 1 考点02 对数函数定义域约束+嵌套的含参问题 2 考点03 指对幂数值大小比较（跨阶构造函数+放缩培优题型） 3 考点04 指对函数图像平移翻折、绝对值嵌套临界交点问 4 考点05 指对同构变形（嵌套方程、超越方程求解，导数高频工具） 5 考点06 指对幂零点问题（区间零点存在性、多零点参数范围） 6 考点07 指对幂综合恒成立与存在性问题（参变分离+最值嵌套） 7 考点通关 考点01 指数函数含参分类讨论 核心培优考法： ①底数(a>1、0<a<1)双层分类，结合内层二次 / 一次函数单调性嵌套； ②指数型复合函数在闭区间上值域恒成立、存在性求参数； ③分段指数函数衔接点单调性一致性参数限定。 解题方法 分层拆解：为二次/一次函数，先定内层单调区间，再对底数分两类用同增异减； 值域逆向：先求内层取值范围，再结合指数函数单调性反推y范围； 恒成立翻译：恒成立，存在性则取最大值。 【典例1】（2026·广东肇庆·二模）(多选题)若存在，使得函数在区间和上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 【跟踪训练】1．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山西吕梁·三模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点02 对数函数定义域约束+嵌套的含参问题 核心培优考法 1. 定义域在 R 上恒成立恒成立；给定区间上对数函数有意义，逆向锁定二次型真数参数范围；对数嵌套分式、根式多层复合定义域联立不等式组。 解题方法 1. 核心铁律：①对数真数，底数； 2. ②真数为二次恒成立：区间有解则转化二次函数端点值、对称轴位置分析； 3. ③多层复合从外向内逐层列不等式，取交集。 1. ④定义域问题永远优先于单调性、值域分析，压轴题常故意省略定义域挖坑； 2. ⑤区分 “定义域为 R” 和 “值域为 R”：值域为 R 要求真数二次能取遍全体正实数，，极易混淆。 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若的定义域为R，求实数的取值范围． (2)若的值域为R，求实数的取值范围． 【跟踪训练】1．（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）我们把具有相同定义域的函数称为“同域函数”．若函数与是“同域函数”，则的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·江苏南京·阶段检测）函数的值域为的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山东烟台·期中）(多选题)已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于直线对称 C．若有两个零点，则 D．若的值域为，则 4．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）(多选题)已知函数，下列说法正确的是（     ） A．与函数的单调区间一定相同 B．若有两个零点，则的取值范围为 C．的图象关于直线对称 D．存在实数使的定义域和值域都为 考点03 指对幂数值大小比较（跨阶构造函数+放缩培优题型） 核心培优考法 1. ①指数、对数、幂函数三类数混杂比较； 2. ②同指数 / 同底数失效，构造单调性比大小； 3. ③精细放缩：，锁定边界。 解题方法 1. ①基础分层：正负分界为中间值初步分组； 2. ②构造函数法：对型取对数，构造求导判单调； 3. ③放缩法：指数、对数跨阶无法单调性直接比较时，用经典切线不等式限定上下界。 【典例3】（2025·福建泉州·模拟预测）已知.则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（2026·陕西榆林·三模）已知的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三·全国·三轮复习）若是定义在上的函数，导函数满足对于恒成立，则(　　) A． B． C． D． 3．（2026·北京东城·二模）已知非零实数x，y满足，则下列各式中为定值的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·江西赣州·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 考点04 指对函数图像平移翻折、绝对值嵌套临界交点问 核心培优考法 ①、分段图像绘制； ②动直线与指对曲线相切，利用导数求切点临界； ③分段指数 / 对数函数与水平直线多交点参数范围。 解题方法 ①绝对值处理：拆成分段函数，分界点单独计算函数值； ②相切临界：联立方程，导数斜率相等 + 切点纵坐标一致，联立方程组求解参数； ③数形结合：固定曲线，平移旋转直线，标记临界相切、过定点两个边界。 ④图像变换切忌死记口诀，分段写解析式更稳妥；交点个数问题端点能否取等，必须代入验证，多选填空极易在此扣分。 【典例4】（2026·贵州毕节·二模）已知函数的图象过点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（    ） A． B．4 C．或 D． 【跟踪训练】1．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·江西赣州·期中）已知函数，若函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西延安·三模）(多选题)已知函数，若函数有4个零点，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 4．（25-26高三上·河北张家口·开学考试）(多选题)对于函数，则下列判断正确的是（    ）． A．直线是过原点的一条切线 B．关于对称的函数是 C．若过点有2条直线与相切，则 D． 考点05 指对同构变形（嵌套方程、超越方程求解，导数高频工具） 核心培优考法 ①经典两级同构互相转化； ②多层嵌套指对混合方程无初等解，利用同构单调性脱去外层函数； ③恒成立不等式整体同构，无需参变分离直接构造新函数。 解题方法 ①经典同构模板： ②变形原则：等式两侧整理成，若单调，则； ③不等式同构：统一结构后利用单调性直接脱去外层超越函数。 【典例5】（2025高三·全国·专题练习）已知，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1.（24-25高三下·河北·阶段检测）(多选题)若不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·福建·开学考试）(多选题)若，则（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．， 3．（24-25高三·全国·二轮复习）(多选题)若实数，满足，则（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·湖北武汉·阶段检测）(多选题)已知实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 考点06 指对幂零点问题（区间零点存在性、多零点参数范围） 核心考点培优 ①跨阶函数零点个数分析； ②拆分两个曲线交点等价零点，数形结合定参数边界； ③给定零点所在区间，端点函数值异号 + 单调性综合约束参数。 解题方法 ①零点等价变形：，转化两图像交点问题； ②连续函数零点存在定理：区间端点函数值异号；结合导数判断单调性，限定极值符号； ③多零点：求导找极值点，极值大于 0、小于 0 划分交点数量。 【典例6】（2025·湖南·二模）若，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（2026·河南新乡·三模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江西南昌·三模）若，，，则正数大小关系是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·湖北·期中）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·广东惠州·期末）(多选题)已知函数有两个零点，，且，则（   ） A． B． C． D． 考点07 指对幂综合恒成立与存在性问题（参变分离+最值嵌套） 核心考点培优 ①单变量：在区间上恒成立；②双变量：最值嵌套翻译； ③参变分离后超越函数最值求解（导数求极值）。 解题方法 ①恒成立/存在性标准最值翻译：； ②双变量嵌套逐级转化两个函数最值； 1. 参变分离：把参数单独放到一侧，另一侧构造新函数求最值； 2. 无法分离则分类讨论参数范围，结合单调性限定极值。 【典例7（25-26高三上·贵州·阶段检测）已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（2026·江苏·二模）已知函数（为自然对数的底数），若对任意，总存在，使得，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广西贵港·阶段检测）已知函数，若对任意（0，2]，存在[1，2]，使，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·安徽·期中）已知函数，若存在，对任意，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·天津·阶段检测）已知函数, ，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $