第17讲 幂指对比较大小·分类练习-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 以幂指对比较大小为核心，构建从基础单调性到进阶放缩法的六级方法体系，实现知识逻辑与解题技巧的系统整合 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单调性直接比较|2题|利用指数对数函数单调性|基于函数基本性质的直接应用| |媒介值与估算|8题|引入0/1或其他媒介值、估算法|从常数媒介到数值估算的思维进阶| |特殊值与不等式|3题|特殊值代入、不等式性质|通过特殊化思想简化比较过程| |构造函数与同构|10题|导数分析单调性、同构构造|函数思想的深度应用，体现数学思维的严谨性| |数形结合|3题|函数图象交点、反函数特征|几何直观与代数推理的结合，培养数学眼光| |进阶技巧|10题|放缩法、泰勒展开、不定方程|高阶数学方法的迁移应用，提升数学语言表达能力|

第17讲 幂指对比较大小 · 分类练习 考点一：利用指数、对数函数单调性直接比较 考法1：利用指数、对数函数单调性直接比较 1.（2025·皖北协作体一模）若，则（ 　　） A. B. C. D. 2.（2026·黄骅中学一模）（多选）若，，且，则（ 　　） A. B. C. D. 考点二：引入媒介值与估算法 考法2：引入0、1等常数媒介值比较 3.（2026·华南师大附中测试）若，，，则（ 　　） A. B. C. D. 4.（2025·保定一模）设，则的大小关系为（ 　　） A. B. C. D. 5.（2025·石家庄三模）已知，，，则的大小关系为（ 　　） A. B. C. D. 考法3：引入其他媒介值或估算法比较 6.（2026·佛山检测）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 7.（2026·汕头二模）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 8.（2026·江西三新联盟训练）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 9.（2026·湖北云学联盟一模）已知，，，则下列大小关系正确的是（ 　　） A. B. C. D. 10.已知，则的大小关系为（ 　　） A. B. C. D. 考点三：特殊值法与不等式性质 考法4：利用特殊值代入或不等式性质比较 11.（2026·淮北一模）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 12.若都不为零的实数满足，则（ 　　） A. B. C. D. 13.（2025·沧州五县一模）（多选）已知实数，满足等式，则下列可能成立的关系式为（ 　　） A. B. C. D. 考点四：构造函数与同构法 考法5：构造单一函数利用导数单调性比较 14.（2026·八省T8联考）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 15.（2026·阜阳一模）已知函数，则（ 　　） A. B. C. D. 16.（2024·广东新南方联盟联考）已知，则的大小关系是（ 　　） A. B. C. D. 17.（2026·汕头一模）设，且，则它们的大小关系为（ 　　） A. B. C. D. 18.（2026·浙江县域联盟模拟）（多选）已知，则（ 　　） A. 当时， B. 存在实数，使得 C. 对任意，都有 D. 当时， 考法6：利用同构法构造函数比较 19.（2025·衡水中学评价）已知，且，则（ 　　） A. B. C. D. 20.（2026·嘉兴桐乡测试）已知正实数满足，则为（ 　　） A. B. C. D. 21.（2025·湖北楚天协作体联考）若实数满足，则的大小关系不可能是（ 　　） A. B. C. D. 22.（多选）已知且，则下列结论一定正确的是（ 　　） A. B. C. D. 考点五：数形结合法 考法7：结合函数图象交点或反函数特征比较 23.（2026·深圳一模）若实数满足，则的大小关系不可能是（ 　　） A. B. C. D. 24.已知，为函数的零点，，若，则（ 　　） A. B. C. D. 与大小关系不确定 25.已知满足，则的大小关系为（ 　　） A. B. C. D. 考点六：进阶技巧（放缩法、泰勒展开与不定方程） 考法8：利用放缩法比较大小 26.设，则的大小关系为（ 　　） A. B. C. D. 27.已知，则的大小关系为（ 　　） A. B. C. D. 28.已知实数，则的大小关系为（ 　　） A. B. C. D. 29.已知，则的大小关系是（ 　　） A. B. C. D. 考法9：利用泰勒展开比较大小 30.设，则（ 　　） A. B. C. D. 31.设，则的大小关系为＿＿＿＿＿＿. (从小到大顺序排) 考法10：结合不定方程比较大小 32.已知是正实数，且，则的大小关系不可能为（ 　　） A. B. C. D. 33.设实数满足，则的大小关系为（ 　　） A. B. C. D. 无法比较 34.已知实数，满足，则关于下列判断正确的是（ 　　） A. B. C. D. 35.已知实数满足，则下列判断正确的是（ 　　） A. B. C. D. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 幂指对比较大小 · 分类练习（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 C BC A B D 6 7 8 9 10 C A A D C 11 12 13 14 15 B C BCD A A 16 17 18 19 20 D A AB B C 21 22 23 24 25 D BC C C B 26 27 28 29 30 A D B D 31 32 33 34 35 C D C D A 考点一：利用指数、对数函数单调性直接比较 考法1：利用指数、对数函数单调性直接比较 1.（2025·皖北协作体一模）若，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵，，∴A，B均错误.又，∴，，∴C正确，D错误.故选C. 【点拨】利用对数的运算性质将对数化为同底，再与中间量进行比较. 2.（2026·黄骅中学一模）（多选）若，，且，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】令且，则恒成立，∴在上单调递减，则，即，从而.∵且，而，∴.设且，则，∴在单调递减.由，得，则，∴.故选BC. 【点拨】通过等式变形构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合放缩法比较大小. 考点二：引入媒介值与估算法 考法2：引入0、1等常数媒介值比较 3.（2026·华南师大附中测试）若，，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵，，∴.∵，∴指数函数为单调递减函数.又，∴，即.综上所述，.故选A. 【点拨】利用指数函数和对数函数的单调性，以为媒介值进行大小比较. 4.（2025·保定一模）设，则的大小关系为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由指数函数的单调性可知：，.又，∴.故选B. 【点拨】化简指数幂，利用指数函数和对数函数的单调性，以为媒介值比较大小. 5.（2025·石家庄三模）已知，，，则的大小关系为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵单调递增，∴.∵单调递增，∴.∵单调递减，∴，且.∴.故选D. 【点拨】利用指数函数和对数函数的单调性，分别与和进行比较即可得出结论. 考法3：引入其他媒介值或估算法比较 6.（2026·佛山检测）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵，∴.∵，∴，∴.则.故选C. 【点拨】将常数转化为对数形式，利用对数函数的单调性进行比较. 7.（2026·汕头二模）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵，∴.又，.∴.故选A. 【点拨】利用对数函数的单调性，借助媒介值和进行大小比较. 8.（2026·江西三新联盟训练）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵当时，，∴.又，∴.故选A. 【点拨】利用不等式以及对数函数的单调性，以为媒介值比较大小. 9.（2026·湖北云学联盟一模）已知，，，则下列大小关系正确的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由已知得.∵，，∴.又在上单调递减，∴.∴.故选D. 【点拨】将指数式化为对数式，利用对数函数的单调性，借助媒介值比较大小. 10.已知，则的大小关系为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】依题意，，，∵，∴.又（因为），即，而，∴. 又，∴. ∵，且， ∴，∴，即. 综上所述，.故选C. 【点拨】利用指数函数的单调性比较与的大小，利用基本不等式比较的大小. 考点三：特殊值法与不等式性质 考法4：利用特殊值代入或不等式性质比较 11.（2026·淮北一模）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由，得.∵在上单调递增，∴，故A错误.∵，又，∴，即，故B正确.由换底公式得，∵，∴，即，故C错误.∵，又，∴，即，故D错误.故选B. 【点拨】利用对数函数的单调性得出，再结合不等式的性质及作差法逐项判断. 12.若都不为零的实数满足，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】对于A，取，满足，但，故A错误.对于B，取，满足，但，故B错误.对于C，∵，∴，∴，故C正确.对于D，当或时，与无意义，故D错误.故选C. 【点拨】利用特殊值法排除错误选项，利用指数函数的单调性证明正确选项. 13.（2025·沧州五县一模）（多选）已知实数，满足等式，则下列可能成立的关系式为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】∵，∴.对于A、B选项，当时，由得，故A错误，B可能成立.对于C选项，当时，由得，故C可能成立.对于D选项，当时，成立，故D可能成立.故选BCD. 【点拨】利用指数的运算性质化简等式得到，再分为正数、负数、零三种情况讨论即可. 考点四：构造函数与同构法 考法5：构造单一函数利用导数单调性比较 14.（2026·八省T8联考）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵函数在上单调递增，且，∴，即.构造函数，.令，（当时）.，（因）.（因）.所以在上单调递增，，即.所以，即，∴.综上，.故选A. 【点拨】利用指数函数的单调性比较底数相同的情形，利用构造函数法比较底数和指数均不同的情形. 15.（2026·阜阳一模）已知函数，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵，∴.令，得；令，得.∴在上单调递增，在上单调递减.∵，∴.∴，即.故选A. 【点拨】利用导数求出函数的单调区间，再根据自变量的大小关系比较函数值的大小. 16.（2024·广东新南方联盟联考）已知，则的大小关系是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由得.构造函数，则，，且.∵，又，∴，∴在上单调递增.∵，∴，即.故选D. 【点拨】将指数式转化为函数，利用导数判断函数的单调性，结合已知条件比较大小. 17.（2026·汕头一模）设，且，则它们的大小关系为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】构造函数，则，∴在上单调递减.∵，∴.∵当时，，∴，即，∴，∴.又构造函数，，∴在上单调递减.∵，∴.∵，∴，即，∴.综上所述，.故选A. 【点拨】构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合不等式进行大小比较. 18.（2026·浙江县域联盟模拟）（多选）已知，则（ 　　） A. 当时， B. 存在实数，使得 C. 对任意，都有 D. 当时， 【答案】AB 【解析】对于A，当时，，故A正确.对于B，若，则，即.令，则在上单调递增，且，∴存在实数使得，故B正确.对于C，当时，，此时，不满足，故C错误.对于D，当时，，∴.令，则在上单调递增，且.∵，∴，即，∴.又，实际上，，，且，∴，故D错误.故选AB. 【点拨】利用指数函数的单调性及构造函数法，结合特殊值进行判断. 考法6：利用同构法构造函数比较 19.（2025·衡水中学评价）已知，且，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由，得.令，，.当时，；当时，，，∴恒成立，∴在上单调递增，∴.∴恒成立，即.故选B. 【点拨】将等式转化为函数关系，利用导数证明不等式恒成立，进而比较大小. 20.（2026·嘉兴桐乡测试）已知正实数满足，则为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】等式变形为.设，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴，即.设，则.当时，，单调递增；当时，，单调递减.∴，即.∵，∴，当且仅当时等号成立.∴.故选C. 【点拨】将等式两边分别构造函数，利用导数求出函数的最值，结合最值相等求出变量的值. 21.（2025·湖北楚天协作体联考）若实数满足，则的大小关系不可能是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】令，则.在同一平面直角坐标系中作出这三个函数的图象，它们都过点.当时，；当时，；当时，.综上可知，的大小关系可能是，或，不可能是.故选D. 【点拨】构造函数，利用数形结合思想，根据函数图象的交点位置判断大小关系. 22.（多选）已知且，则下列结论一定正确的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】对于A，取，满足，但，故A不一定成立.对于D，取，满足，但，故D不一定成立.对于B，令，则.当时，，单调递增.∵，∴，即.若，由在上单调递增，得，∴；若，即，而，显然.故B一定正确.对于C，由得.若，则矛盾.若，则.又对任意且，有（对数平均不等式），∴，∴，故C一定正确.故选BC. 【点拨】利用特殊值法排除错误选项，通过同构构造函数，结合函数的单调性及对数平均不等式进行证明. 考点五：数形结合法 考法7：结合函数图象交点或反函数特征比较 23.（2026·深圳一模）若实数满足，则的大小关系不可能是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】令，则.在同一平面直角坐标系中作出函数的图象.由图象可知，函数与的交点在直线上，且交点横坐标；函数与的交点横坐标，且；函数与的交点横坐标，且.当时，；当时，；当时，；当时，.综上可知，的大小关系不可能是.故选C. 【点拨】引入参数，将方程转化为三个函数，利用数形结合思想，根据函数图象的交点位置判断大小关系. 24.已知，为函数的零点，，若，则（ 　　） A. B. C. D. 与大小关系不确定 【答案】C 【解析】∵为函数的零点，∴，，.结合图象易知.∵，∴，即.∵，∴，∴.将代入，得，即.两边同除以，得.解得（负根舍去）.又，即直线与曲线有三个交点.设过原点与曲线相切的直线切点为，则切线斜率，切线方程为.将原点代入得，解得，此时.由图象可知，要使直线与曲线有三个交点，需满足，即.∵，∴.而，∴.故选C. 【点拨】利用指数与对数的转化，结合韦达定理求出比值，再利用导数求出临界相切时的斜率，结合数形结合进行比较. 25.已知满足，则的大小关系为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由知，是函数与交点的横坐标.∵，，∴.由知，是函数与交点的横坐标.∵，，所以.由知，是函数与交点的横坐标.∵，，∴.综上所述，.故选B. 【点拨】构造函数，利用数形结合思想，通过零点存在性定理估算各变量的范围. 考点六：进阶技巧（放缩法、泰勒展开与不定方程） 考法8：利用放缩法比较大小 26.设，则的大小关系为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵，.构造函数，则，∴在上单调递减，∴，即，∴，即.又，.∵，∴，∴.故选A. 【点拨】利用对数运算将指数形式转化为对数形式，构造函数利用导数证明不等式，结合基本不等式进行放缩. 27.已知，则的大小关系为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由已知得，，.则.由基本不等式得，∴，∴.又，，∴.∵，且，∴，∴.故选D. 【点拨】将指数式化为对数式，利用换底公式和基本不等式进行放缩比较. 28.已知实数，则的大小关系为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵，，∴，∴.∵，，∴最小.又.由基本不等式得，∴，即.又，∴.综上所述，.故选B. 【点拨】利用常数判断的符号，利用换底公式和基本不等式比较对数的大小. 29.已知，则的大小关系是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵，∴，两边取以为底的对数得，即.构造函数，则，∴在上单调递增.∴，即，化简得，即.综上所述，.故选D. 【点拨】利用指数幂的放缩比较对数与有理数的大小，构造函数利用导数证明对数不等式. 考法9：利用泰勒展开比较大小 30.设，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】构造函数，则.由泰勒展开式知，但直接比较较难. 我们直接利用泰勒展开式估算： . . . 显然.故选C. 【点拨】利用泰勒展开式对各数进行估算，从而比较大小. 31.设，则的大小关系为＿＿＿＿＿＿. (从小到大顺序排) 【答案】 【解析】由得，.由得，.∴. 【点拨】利用常见的不等式和进行放缩比较. 考法10：结合不定方程比较大小 32.已知是正实数，且，则的大小关系不可能为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由，变形得.∵是正实数，∴.若，则，等式成立，故A可能.若，则，等式可能成立，故B可能.若，则，等式可能成立，故C可能.若，则，此时，等式不可能成立，故D不可能.故选D. 【点拨】将指数方程变形，利用因式分解和指数函数的单调性，结合选项进行分类讨论. 33.设实数满足，则的大小关系为（ 　　） A. B. C. D. 无法比较 【答案】C 【解析】假设，则，.由得，即.构造函数，则在上单调递减.又，∴，∴.由得，即.构造函数，则在上单调递减.又，∴，∴.这与假设矛盾，∴.故选C. 【点拨】采用反证法，假设，构造单调递减的指数型函数，利用函数的单调性得出矛盾. 34.已知实数，满足，则关于下列判断正确的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵.∴.∵，∴，∴，即.∵，且，∴，∴.构造函数，则在上单调递减.∵，且，∴，即，∴.又，∴，∴.综上所述，.故选D. 【点拨】利用换底公式化简对数式，结合作差法判断与的大小，再构造指数型函数比较与的大小. 35.已知实数满足，则下列判断正确的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵.∴.∵，∴，∴，即.∵，且，∴，∴.构造函数，则在上单调递减.∵，且，∴，即，∴.又，∴，∴.综上所述，.故选A. 【点拨】利用换底公式化简对数式，结合作差法判断与的大小，再构造指数型函数比较与的大小. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $