5.1.2　利用二分法求方程的近似解 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦“利用二分法求方程的近似解”，通过三级分层设计，实现从概念认知到实际应用的递进，培养数学抽象、逻辑推理与模型应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|二分法概念、零点判断、精确度条件|以选择/多选题（1-6题）为主，通过图象辨析（题1）、定义判断（题6）夯实基础，发展抽象能力| |技能应用层|近似解计算、区间等分、步骤规范|以填空/解答题（7-13题）为主，结合表格数据（题3、5）训练二分法操作，提升运算与推理能力| |综合拓展层|实际问题建模、跨知识综合|以应用解答题（14-16题）为主，通过故障查找（题14）、不动点问题（题16）培养模型意识与应用能力|

1.2　利用二分法求方程的近似解 1.已知函数f（x）的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点个数分别为（　　） A.4，4　　　　　　　 B.3，4 C.5，4　 D.4，3 2.用二分法求函数f（x）在（a，b）内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是（　　） A.｜a－b｜＜0.1　 B.｜a－b｜＜0.001 C.｜a－b｜＞0.001　 D.｜a－b｜＝0.001 3.用二分法求方程的近似解，求得f（x）＝x3＋2x－9的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为（　　） A.1.6　 B.1.7 C.1.8　 D.1.9 4.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间（a，b）内，当｜a－b｜＜ε（ε为精确度）时，函数零点的近似值x0＝与真实零点的误差最大不超过（　　） A.　 B. C.ε　 D.2ε 5.（多选）某同学求函数f（x）＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： f（2）≈－1.307 f（3）≈1.099 f（2.5）≈－0.084 f（2.75）≈0.512 f（2.625）≈0.215 f（2.562 5）≈0.066 则方程ln x＋2x－6＝0的近似解（精确到0.1）可取为（　　） A.2.52　 B.2.56　　C.2.66　 D.2.75 6.（多选）下列关于函数f（x），x∈[a，b]的命题中，不正确的是（　　） A.若x0∈[a，b]且满足f（x0）＝0，则x0是f（x）的一个零点 B.若x0是f（x） 在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值 C.函数f（x）的零点是方程f（x）＝0的根，但f（x）＝0的根不一定是函数f（x）的零点 D.用二分法求方程的根时，得到的都是近似解 7.用二分法求函数y＝f（x）在区间（2，4）上的近似解，验证f（2）·f（4）＜0，给定精确度为0.1，需将区间等分　　　　次. 8.某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解（精确度为0.1）”时，设f（x）＝lg x＋x－2，算得f（1）＜0，f（2）＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是　　　　. 9.函数f（x）＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是　　　　　　. 10.判断函数f（x）＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值.（精确度0.1） 11.若函数f（x）在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f（a）·f（b）＜0，f（a）·f＞0，则（　　） A.f（x）在上有零点 B.f（x）在上有零点 C.f（x）在上无零点 D.f（x）在上无零点 12.用二分法求函数f（x）＝ln（x＋1）＋x－1在区间（0，1）上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（　　） A.5　　 B.6　　C.7　　 D.8 13.（多选）用二分法求函数f（x）＝x3＋x2－2x－2的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f（1）＝－2，f（1.5）＝0.625，f（1.25）≈－0.984，f（1.375）≈－0.260，关于下一步的说法不正确的是（　　） A.已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值 B.已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值 C.没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.437 5） D.没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.312 5） 14.在一个风雨交加的夜里，某水库闸房（设为A）到防洪指挥部（设为B）的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段的查找，困难很多，每查一个点需要很长时间. （1）维修线路的工人师傅应怎样工作，才能每查一次，就把待查的线路长度缩减一半？ （2）要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m左右，最多要查多少次？ 15.已知函数f（x）满足：对任意x1，x2∈[a，b]，都有＞0，且f（a）·f（b）＜0.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[a，b]，，，又f＝0，则函数f（x）的零点为　　　　. 16.对于函数f（x），若存在x0，使f（x0）＝x0成立，则称x0为函数f（x）的不动点，已知f（x）＝x2＋bx＋c. （1）若f（x）的两个不动点为－3，2，求函数f（x）的零点； （2）当c＝b2时，函数f（x）没有不动点，求实数b的取值范围. 1.2　利用二分法求方程的近似解 1.D　因为图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；又因为左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的零点个数为3. 2.B　据二分法的步骤知当区间长度｜a－b｜小于精确度ε时，便可结束计算. 3.C　由表格可得，函数f（x）＝x3＋2x－9的零点在区间（1.75，1.812 5）内.结合选项可知，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为1.8.故选C. 4.B　真实零点离近似值x0最远即无限靠近a或b，而b－＝－a＝＜，因此误差最大不超过. 5.AB　由表格可知方程ln x＋2x－6＝0的近似解在（2.5，2.562 5）内，因此选项A中2.52符合，选项B中2.56也符合，故选A、B. 6.BCD　使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f（x）＝0的根也一定是函数f（x）的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确. 7.5　解析：开区间（2，4）的长度等于2，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，因为用二分法求函数y＝f（x）在区间（2，4）上的近似解，要求精确度为0.1，所以＜0.1，解得n≥5. 8.1.5，1.75，1.875，1.812 5　解析：第一次用二分法计算得区间（1.5，2），第二次得区间（1.75，2），第三次得区间（1.75，1.875），第四次得区间（1.75，1.812 5）. 9.a2＝4b　解析：∵函数f（x）＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f（x）＝x2＋ax＋b图象与x轴相切.∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b. 10.解：f（0）＝－1＜0，f（1）＝1＞0， 即f（0）·f（1）＜0，f（x）在（0，1）内有零点， 又f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数， ∴f（x）只有一个零点x0∈（0，1）. 取区间（0，1）的中点x1＝0.5， f（0.5）＝－0.75＜0， ∴f（0.5）·f（1）＜0，即x0∈（0.5，1）. 取区间（0.5，1）的中点x2＝0.75， f（0.75）＝－0.156 25＜0， ∴f（0.75）·f（1）＜0. 即x0∈（0.75，1）. 取区间（0.75，1）的中点x3＝0.875， f（0.875）≈0.34＞0. ∴f（0.75）·f（0.875）＜0， 即x0∈（0.75，0.875）. 取区间（0.75，0.875）的中点x4＝0.812 5， f（0.812 5）≈0.073＞0. ∴f（0.75）·f（0.812 5）＜0，即x0∈（0.75，0.812 5）， 而｜0.812 5－0.75｜＝0.062 5＜0.1. ∴f（x）的零点的近似值可取为0.75. 11.B　由f（a）·f（b）＜0，f（a）·f＞0可知f·f（b）＜0，根据零点存在定理可知f（x）在上有零点. 12.C　开区间（0，1）的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为.因为精确度为0.01，所以＜0.01.又n∈N＋，所以n≥7且n∈N＋，故所需二分区间的次数最少为7，故选C. 13.ABD　由二分法知，方程x3＋x2－2x－2＝0的根在区间（1.375，1.5）内，且｜1.5－1.375｜＝0.125＞0.1，没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.437 5），故选A、B、D. 14.解：（1）如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，假设发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次若发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD段中点E查，依次类推… （2）每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因此最多只要7次就够了. 15.　解析：因为对任意x1，x2∈[a，b]，都有＞0，且f（a）·f（b）＜0，所以f（x）在[a，b]上单调递增，且f（a）＜0，f（b）＞0； 因为a＋1＞a恒成立，所以解得 所以f（x）的零点为＝. 16.解：（1）由题意知f（x）＝x有两根， 即x2＋（b－1）x＋c＝0有两根，分别为－3，2. ∴ ∴从而f（x）＝x2＋2x－6. 由f（x）＝0，得x1＝－1－，x2＝－1＋. 故f（x）的零点为－1±. （2）若c＝，则f（x）＝x2＋bx＋， 又f（x）无不动点，即方程x2＋bx＋＝x无解， 化简得方程x2＋（b－1）x＋＝0无解， ∴Δ＝（b－1）2－b2＜0，即－2b＋1＜0，∴b＞. 故b的取值范围是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $