第5章 1.2 利用二分法求方程的近似解-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

1．下列函数中，不能用二分法求零点的是(　　) 答案：B 2．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点 B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点 C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点 D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点 答案：D 3．用二分法求方程lg x＝3－x的近似解，可以取的一个区间是(　　) A．(0,1)　　　　　　　 B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 答案：C 4．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)＜0，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此零点x0所在的区间是(　　) A．(2,4) B．(2,3) C．(3,4) D．无法确定 答案：B 5．(多选)在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数f(x)的一个误差不超过0.05的正实数零点可以为(　　) A．0.6 B．0.68 C．0.7 D．0.72 解析：BCD　[因为f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数f(x)的零点所在的区间为[0.68,0.72]，所以函数f(x)的一个误差不超过0.05的正实数零点可以为0.68或0.7或0.72.] 6．(多选)某同学求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： f(2)≈－1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈－0.084 f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.562 5)≈0.066 则方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度0.1)可取为(　　) A．2.52 B．2.56 C．2.66 D．2.75 解析：AB　[由表格可知方程ln x＋2x－6＝0的近似根在(2.5,2.562 5)内，因此选项A中2.52符合，选项B中2.56也符合．] 7．下列图中的函数图象均与x轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是　________　(填序号)． 解析：题图①②④中所示函数的零点都不是变号零点，因此不能用二分法求解；题图③中所示函数的零点是变号零点． 答案：③ 8．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表： X －1.6 －1.4 －1.2 －1 －0.8 －0.6 －0.4 －0.2 0 … y＝2x 0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 0.574 3 0.659 8 0.757 9 0.870 6 0.870 6 1 … y＝x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0 … 若方程2x＝x2有一个根位于区间(a，a＋0.4)(a在表格中第一栏里的数据中取值)，则a的值为　________　. 解析：令f(x)＝2x－x2，由表中的数据可得f(－1)＜0，f(－0.6)＞0；f(－0.8)＜0，f(－0.4)＞0，所以根在区间(－1，－0.6)与(－0.8，－0.4)内，所以a＝－1或a＝－0.8. 答案：－1或－0.8 9．已知函数y＝f(x)的图象如图，其中零点的个数为　______　，可以用二分法求解的个数为　______　. 解析：题中图象与x轴有2个交点，所以零点的个数为2；零点左、右函数值异号的有1个，所以可以用二分法求解的近似根的个数为1. 答案：2　1 10．用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度0.01)． 解：经计算，f(1)＜0，f(1.5)＞0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0. 取区间(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1,25)＜0，因为f(1,5)·f(1,25)＜0，所以x0∈(1,25,1.5)． 如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表： (a，b) (a，b)的中点 中点函数值 (1,1.5) 1.25 f(1.25)＜0 (1.25,1.5) 1.375 f(1.375)＞0 (1.25,1.375) 1.312 5 f(1.312 5)＜0 (1.312 5,1.375) 1.34375 f(1.343 75)＞0 (1.3125,1.343 75) 1.328 125 f(1.328 125)＞0 (1.312 5,1.328 125) 1.320 312 5 f(1.320 312 5)＜0 (1.320 312 5,1.328 125) 1.324 218 75 f(1.324 218 75)＜0 因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5＜0.01，所以函数f(x)＝x3－x－1的一个精确度0.01的近似零点可取为1.328 125. 11．在一个风雨交加的夜里，某水库闸房(设为A)到防洪指挥部(设为B)的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段查找，困难很多，每查一个点需要很长时间． (1)维修线路的工人师傅应怎样工作，才能每查一次，就把待查的线路长度缩减一半？ (2)要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m左右，最多要查多少次？ 解：(1)如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，假设发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次若发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD段中点E来查，依次类推… (2)每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因此最多只要7次就够了． 12．已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)． (1)求证：f(x)在(－1，＋∞)上为增函数； (2)若a＝3，求方程f(x)＝0的正根(精确度0.01)． 解：(1)证明：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，则x2－x1＞0，＞1(a＞1)，且ax1＞0，∴＝ax1(ax2－x1－1)＞0(a＞1)，∵x1＋1＞0，x2＋1＞0，∴－＝＞0， 于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－＞0. 故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知当a＝3时，f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上单调递增，故在(0，＋∞)上也单调递增， 因此f(x)＝0的正根最多有一个． ∵f(0)＝－1＜0，f(1)＝＞0，∴方程的正根在(0,1)内，取(0,1)为初始区间用二分法逐次计算，列出下表： 区间 中点值 中点函数近似值 (0,1) 0.5 0.732 (0,0.5) 0.25 －0.084 (0.25,0.5) 0.375 0.328 (0.25,0.375) 0.312 5 0.124 (0.25,0.312 5) 0.281 25 0.021 (0.25,0.281 25) 0.265 625 －0.032 (0.265 625,0.281 25) 0.273 437 5 －0.005 43 (0.273 437 5,0.281 25) 因为|0.273 437 5－0.281 25|＝0.007 812 5＜0.01，所以方程的根的近似值为0.273 437 5，即f(x)＝0的正根约为0.273 437 5. 13．已知函数f(x)＝ln x＋2x－6. (1)证明f(x)有且只有一个零点； (2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于. 解：(1)证明：f(x)＝ln x＋2x－6在(0，＋∞)上是增函数， ∴f(x)至多有一个零点． 由于f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0， ∴f(2)·f(3)<0. ∴f(x)在(2,3)内有一个零点． ∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点． (2)∵f(2)<0，f(3)>0，取x1＝＝， f＝ln＋5－6＝ln－1<0， ∴f(3)·f<0. ∴f(x)零点x0∈.取x2＝＝， 则f＝ln＋2×－6＝ln－>0. ∴f·f<0.∴x0∈. ∵－＝≤， ∴满足题意的区间为. 14．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)＞0，f(1)＞0，证明a＞0，并利用二分法证明f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根． 解：∵f(1)＞0，∴f(1)＝3a＋2b＋c＞0， 即3(a＋b＋c)－b－2c＞0. ∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，－b－2c＞0， ∴－b－c＞c，即a＞c. ∵f(0)＞0，∴f(0)＝c＞0，∴a＞0. 取区间[0,1]的中点， 则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a＜0. ∵f(0)＞0，f(1)＞0， ∴函数f(x)在区间和上各有一个零点． 又f(x)为二次函数，最多有两个零点． ∴f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根． 学科网（北京）股份有限公司 $$