2.2 一元二次方程的解法 暑假预科讲义 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 2.2一元二次方程的解法 知识归纳与题型总结 考点01 用直接开平方法解一元二次方程 1. 定义：根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 直接降次解一元二次方程的步骤 （1）将方程化为p或的形式； （2）直接开平方化为两个一元一次方程； （3）解两个一元一次方程得到原方程的解． 考向01 解一元二次方程——直接开平方法 【例1】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【对点1】在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 考点02 用配方法解一元二次方程 1. 定义：解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 一般地，对于方程． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 用配方法解一元二次方程的步骤 （1）移项：将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边； （2）二次项系数化为1：方程左、右两边同时除以二次项系数； （3）配方：方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）开平方：利用平方根的意义直接开平方； （5）移项，合并同类项． 考向01 解一元二次方程——配方法 【例1】一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 考向2 配方法的应用 【例2】将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 【对点1】用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 【对点2】若，则代数式的值为__________． 考点03 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 考向01 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例1】下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【对点1】下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 考点04 公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式． 将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 考向01 公式法解一元二次方程 【例1】解方程 (1)； (2) 考向02 根据一元二次方程根的情况求参数 【例2】若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是________． 考向03 因式分解法解一元二次方程 【例3】一元二次方程的解为_________． 考向04 换元法解一元二次方程 【例4】已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 考向05 解分式方程（化为一元二次） 【例5】某工厂承接一批零件加工任务，原计划每天加工相同数量零件，预定工期完成；实际每天比原计划多加工个零件，结果提前天完成任务．已知这批零件总数为个，求原计划每天加工多少个零件． 【对点1】解下列一元二次方程： (1) (2) 【对点2】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【对点3】已知，则的值为________． 【对点4】若，为正实数，设，是关于的方程的一个正实数根． （1）当时，则的值是________； （2）当时，则的值是________． 【对点5】山西博物院以丰富的馆藏和展览资源为设计元素，潜心研发了一系列特色的文创产品，其中“卣”趣系列鸮卣毛毡背包和“铜”趣系列鸟尊毛绒玩具颇受广大游客喜爱．某网店为了满足人们的购物需求，计划购进两种系列的文创产品进行销售，已知每个鸮卣毛毡背包的进价是每个鸟尊毛绒玩具进价的2倍，现用1500元购进鸮卣毛毡背包的数量比用1200元购进鸟尊毛绒玩具的数量少15个． (1)求每个鸮卣毛毡背包和每个鸟尊毛绒玩具的进价分别为多少元； (2)该网店决定用1500元购进鸮卣毛毡背包和鸟尊毛绒玩具，且购进鸟尊毛绒玩具的数量不超过鸮卣毛毡背包数量的一半，则购进鸮卣毛毡背包至少多少个？ 一、选择题 1．等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（     ） A．12 B．16 C．2或4 D．12或16 2．一元二次方程根的情况为（     ）． A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 3．已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 4．已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 5．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（     ） A．9 B．11 C．13 D．11或13 6．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 7．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 8．定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．关于的方程有一个小于的非负数解，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在，轴上，顶点的坐标为，点的坐标为，是边上的动点（不与点，重合），直线与边交于点，给出下面四个结论： ① 与的面积可能相等； ② 与的面积可能相等； ③ 当点的纵坐标为时，是直角三角形； ④ 当是等腰三角形时，一定是等腰直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空题 11．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 12．对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 13．若是一元二次方程的一个根，则的值为__________． 14．把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 15．小若利用欧几里得的一元二次方程图解法解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，．若，则的值为__________． 三、解答题 16．解方程：． 17．解方程： (1)； (2) 18．解方程： (1)； (2)． 19．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 20．如图，在等腰中，，点的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)若直线，则直线必过点 ． 当直线把分成面积相等的两部分，求的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 2.2一元二次方程的解法 知识归纳与题型总结 考点01 用直接开平方法解一元二次方程 1. 定义：根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 直接降次解一元二次方程的步骤 （1）将方程化为p或的形式； （2）直接开平方化为两个一元一次方程； （3）解两个一元一次方程得到原方程的解． 考向01 解一元二次方程——直接开平方法 【例1】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 根的判别式满足，其中二次项系数，常数项， 代入得，， 整理得，， 解得，． 【对点1】在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，将原方程转化为一元二次方程，再利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 考点02 用配方法解一元二次方程 1. 定义：解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 一般地，对于方程． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 用配方法解一元二次方程的步骤 （1）移项：将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边； （2）二次项系数化为1：方程左、右两边同时除以二次项系数； （3）配方：方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）开平方：利用平方根的意义直接开平方； （5）移项，合并同类项． 考向01 解一元二次方程——配方法 【例1】一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法步骤，先移常数项到等号右侧，再在等号两边加上一次项系数一半的平方，即可得到配方结果． 【详解】解：原方程为， 移项得， 一次项系数为，一半的平方为，等式两边同时加得， ， 整理得． 考向2 配方法的应用 【例2】将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 【答案】 【分析】用配方法对二次代数式变形，根据完全平方式的非负性即可求出代数式的最小值． 【详解】解：对进行配方， ， ， 因此该代数式的最小值为． 【对点1】用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， ∴． 【对点2】若，则代数式的值为__________． 【答案】4 【分析】观察x的值以及代入式的特征，将变形为，然后代入计算即可简便求解． 【详解】解： 把代入，得 . 考点03 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 考向01 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例1】下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程没有实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式为． 选项A：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项B：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项C：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项D：方程为，， ，方程没有实数根． 【对点1】下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用判别式的值判断根的情况，当时，一元二次方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：A、，，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、，，，方程没有实数根，不符合题意； C、，，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、，，，方程有两个相等的实数根，符合题意． 考点04 公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式． 将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 考向01 公式法解一元二次方程 【例1】解方程 (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴， 考向02 根据一元二次方程根的情况求参数 【例2】若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，再根据方程有两个相等的实数根，可得根的判别式的值为，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 将，，代入得， 解得， 满足， ∴的值是． 考向03 因式分解法解一元二次方程 【例3】一元二次方程的解为_________． 【答案】， 【分析】提取公因式后将原方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 因式分解得：， 可得或， 解得：，． 考向04 换元法解一元二次方程 【例4】已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 考向05 解分式方程（化为一元二次） 【例5】某工厂承接一批零件加工任务，原计划每天加工相同数量零件，预定工期完成；实际每天比原计划多加工个零件，结果提前天完成任务．已知这批零件总数为个，求原计划每天加工多少个零件． 【答案】原计划每天加工个零件 【分析】设原计划每天加工个零件，根据实际比原计划提前天完成任务，列分式方程并解方程，即可得到答案. 【详解】解：设原计划每天加工个零件， 根据题意可列方程：， 整理得：， 解得， 经检验，当时，最简公分母，是原分式方程的解， ∵不合题意，舍去， ∴取， 答：原计划每天加工个零件. 【对点1】解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）用公式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， 分解因式得：， 可得：，， 解得：，； （2）解：， 其中，，， ， 解得：，． 【对点2】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式，据此列不等式求解参数范围即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 【对点3】已知，则的值为________． 【答案】或 【分析】根据因式乘积为的性质，若两个因式的乘积为，则至少有一个因式为，先求出的所有可能值，再代入计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， ∴当时，，当时，， ∴的值为或． 【对点4】若，为正实数，设，是关于的方程的一个正实数根． （1）当时，则的值是________； （2）当时，则的值是________． 【答案】 / 【分析】（1）根据t是关于x的方程的一个正实数根得到，配方即可得，根据，，得到，即可得到，再解方程即可； （2）根据t是关于x的方程的一个正实数根得到，配方即可得，根据，，得到，即可得到，化简后两边同时除以，将方程转化为，解方程即可． 【详解】解：（1）∵是关于的方程的一个正实数根， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵，为正实数， ∴． （2）∵是关于的方程的一个正实数根， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵n、t均为正实数， ∴． 【对点5】山西博物院以丰富的馆藏和展览资源为设计元素，潜心研发了一系列特色的文创产品，其中“卣”趣系列鸮卣毛毡背包和“铜”趣系列鸟尊毛绒玩具颇受广大游客喜爱．某网店为了满足人们的购物需求，计划购进两种系列的文创产品进行销售，已知每个鸮卣毛毡背包的进价是每个鸟尊毛绒玩具进价的2倍，现用1500元购进鸮卣毛毡背包的数量比用1200元购进鸟尊毛绒玩具的数量少15个． (1)求每个鸮卣毛毡背包和每个鸟尊毛绒玩具的进价分别为多少元； (2)该网店决定用1500元购进鸮卣毛毡背包和鸟尊毛绒玩具，且购进鸟尊毛绒玩具的数量不超过鸮卣毛毡背包数量的一半，则购进鸮卣毛毡背包至少多少个？ 【答案】(1)每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，每个鸮卣毛毡背包的进价为元 (2)购进鸮卣毛毡背包至少个 【分析】（1）设每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，则每个鸮卣毛毡背包的进价为元，根据“现用1500元购进鸮卣毛毡背包的数量比用1200元购进鸟尊毛绒玩具的数量少15个”列出分式方程，解分式方程即可得出结果； （2）设购进鸮卣毛毡背包个，则购进鸟尊毛绒玩具个，根据“购进鸟尊毛绒玩具的数量不超过鸮卣毛毡背包数量的一半”列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】（1）解：设每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，则每个鸮卣毛毡背包的进价为元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意； ∴， ∴每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，每个鸮卣毛毡背包的进价为元； （2）解：设购进鸮卣毛毡背包个，则购进鸟尊毛绒玩具个， 由题意可得：， 解得：， ∴购进鸮卣毛毡背包至少个． 一、选择题 1．等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（     ） A．12 B．16 C．2或4 D．12或16 【答案】B 【分析】分两种情况讨论：已知边长2为等腰三角形的腰长，或已知边长2为等腰三角形的底边长，分别计算k的值，再用三角形三边关系验证，得到符合条件的结果． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为2，另外两边长是方程的两个实根， ∴分两种情况讨论： ①当边长2为腰长时，方程有一个根为， 把代入方程得， 解得， 此时方程为， ∴， 解得， ∴另一根为，三角形三边长为， ∵ ，不满足三角形三边关系，此情况舍去； ②当边长2为底边长时，两腰是方程的两个实根，即方程有两个相等实根， ∴， 解得， 此时方程的根为，三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 综上，的值为16． 2．一元二次方程根的情况为（     ）． A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】运用一元二次方程根的判别式判断根的情况即可求解． 【详解】解：∵，则，，， ∴， ∴该一元二次方程没有实数根． 3．已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】D 【分析】先根据一次函数位置得到、的取值范围，再分情况讨论方程类型，判断根的个数． 【详解】解：∵一次函数的图象不过第三象限， ∴，， 分两种情况讨论： 当时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根； 当时，原方程为一元二次方程，计算判别式得， ∵，， ∴， ∴，即方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1个或2个． 4．已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 5．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（     ） A．9 B．11 C．13 D．11或13 【答案】C 【分析】先求解一元二次方程得到第三边的两个可能取值，再根据三角形三边关系判断符合条件的第三边长度，最后计算三角形周长． 【详解】解：， 因式分解得， ∴， 解得或． 根据三角形三边关系，可得第三边的取值范围为， 即． ∵不满足，不能构成三角形，舍去， 满足，可以构成三角形． ∴三角形的周长为． 6．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时判别式，整理等式即可求出的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 展开整理得， 即， ∴，得， ∵， 等式两边同除以得． 7．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 8．定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新定义的运算规则，将整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等实数根时判别式大于，求解得到的取值范围． 【详解】解：∵定义运算， ∴， ∵， ∴， 即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 9．关于的方程有一个小于的非负数解，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对一元二次方程因式分解得到两个根，再根据“有一个小于1的非负数解”的条件列出不等式组，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵关于的方程有一个小于的非负数解，且，即不是非负数， ∴ 解得． 10．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在，轴上，顶点的坐标为，点的坐标为，是边上的动点（不与点，重合），直线与边交于点，给出下面四个结论： ① 与的面积可能相等； ② 与的面积可能相等； ③ 当点的纵坐标为时，是直角三角形； ④ 当是等腰三角形时，一定是等腰直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】设点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，表示出点的坐标，分别计算各三角形面积，通过解二元一次方程判断①②；利用勾股定理逆定理判断③；分类讨论是等腰三角形的情况，结合是等腰三角形则，判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形，点的坐标为， ∴，，，， 设点的坐标为，， ∵点的坐标为， ∴设直线的解析式为， 将，代入， 解得，， ∴直线的解析式为， 令，，解得， ∴，即， ， ， 若，则， 整理得，， 解得，或（舍去，∵） ∴当时，，， 故①正确； ， ， 若， 则， ∴， 整理得， 解得或， ∵， ∴均不符合题意， 故②错误； 当点的纵坐标为时，， ，， ∴，， 过点作轴，点作轴，，交于点，则， ， ∴， ∴是直角三角形， 故③正确； 若是等腰三角形， 当时，， 解得，或（舍去，∵） 此时，， 则是等腰三角形， 当时，, ∴， 化简得， 若是等腰三角形，则， ∴， 解得， （舍去，∵） 当时，，矛盾， ∴当时，不是等腰三角形， 故④错误． 二、填空题 11．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 【答案】或 【分析】先对关于的一元二次方程因式分解求解得到两个根，再根据“邻根方程”的定义，得到两根的差为，分情况列方程计算的值即可． 【详解】解：对因式分解得：， 或， 解得：，， 方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． 12．对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【答案】 或 【分析】根据新定义运算得到关于的分式方程，去分母转化为一元二次方程求解，检验后得到的值，进行解答，即可． 【详解】解：由题意得， 方程两边同乘最简公分母，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， 经检验，当和时，且，均为原方程的解． 13．若是一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据题意，得，求解即可； 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 整理，得， 解得或， 一元二次方程， ， 解得， 故 14．把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 【答案】 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程除完全平方式前的系数不同外其他对应部分相同，由第一个方程可得，因此第二个方程可整理为，通过比较两个方程展开式的对应系数相等建立方程组求解，再计算的值. 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程可化为方程， ， ， ， 解得：， ． 15．小若利用欧几里得的一元二次方程图解法解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，．若，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据勾股定理和已知条件求出的长，利用已知条件，即可求出，求出的值，再根据，求出和的关系，即可知道的值，从而求出的值． 【详解】解：由题意可得，，， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ． 三、解答题 16．解方程：． 【答案】 【详解】解：， ， 则， ， 即， ∴或， ． 17．解方程： (1)； (2) 【答案】(1)，； (2)， 【分析】（1）运用配方法求解方程即可； （2）运用十字相乘法求解方程即可． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： ， 解得，． 18．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】根据公式法解一元二次方程求解即可； 根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，； （2）解：； ， ， 即， 或， ∴，． 19．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 【答案】(1)证明：， ∴无论取何实数，该方程总有两个实数根； (2)的周长为或 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】（1）略 （2）解：①当时，则，即， ， ． ，即， ∴三边为2，2，3，满足， 的周长； ②解：当或者时，得， 解得． ∴方程为，解得另一根为． ∴三边为2，3，3，满足， 的周长； 综上所述，的周长为或． 20．如图，在等腰中，，点的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)若直线，则直线必过点 ． 当直线把分成面积相等的两部分，求的值． 【答案】(1) (2)直线必过点；的值为 【分析】（1）过点A作于点E，根据等腰三角形三线合一的性质求出A点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式； （2）根据，即可得直线必过点；画出直线，与的交点为D，求出直线与y轴的交点C，联立直线与的解析式求出D点坐标，再根据直线把分成面积相等的两部分，得到，即可列方程求解． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点E， ∵在等腰中，，， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵， ∴函数一定过点； 当时，， ∴点C的坐标为，， 如图，当直线l与相交时，很显然直线l不可能把分成面积相等的两部分， ∴直线l一定与直线相交，才可能将分成面积相等的两部分，设交点为D， 联立得，解得， ∴， ∴， ∵直线把分成面积相等的两部分， ∴， ∴， ∴， 解得，，（舍去）， ∴的值为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $