3.3 相似三角形判定定理的证明（暑假预科讲义）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 3.3相似三角形判定定理的证明 知识归纳与题型总结 思 图 定理 一两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 平行线分线段成比例 推论 一平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例 相似三角形判 AA 一两组角对应相等 定定理的证明 SAS一两边成比例+夹角相等 相似三角形判定定理的证明 SsS 三边全部对应成比例 Hl 斜边+一条直角边成比例 考点01平行线分线段成比例 考点梳理 1.定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 2.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 典例引领 考向01由平行判断成比例的线段 【例1】在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，下列条件能判断DE与BC平行 的是() 1/10 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 A.AD=3cm,AB=4cm,AE=1.8cm,CE=2.4cm B.AD=2BD,AC=3CE C.AD=6cm,DE=9cm,AE =4cm,AC=10cm D.AB=2BD,BC=2DE 考向02由平行截线求相应线段的长或比值 【例2】如图，在ABCD中，AB=3,AD=8,对角线AC,BD相交于点O,E是 oABCD内一点，且OE∥BC,∠AEB=90°，则OE的长为() 3 A. B.2 C.2 5-2 D 对点提升 【对点1】己知：如图，在△ABC中，DE∥BC,点F为AD上的一点，且AD=AB·AF 求证：EF∥CD D 【对点2】如图，在矩形ABCD中，若AB=-34C=5,仁= CF4,求EA的长度。 2./10 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 考点02相似三角形判定定理的证明 考点梳理 证明依据：平行线分线段成比例。 判定 条件 适用范围 关键注意点 AA 两组角对应相等 任意三角形 最常用，只需找两组等角 SAS 两边成比例+夹角相等 任意三角形 必须是夹角，侧边不行 SSS 三边全部对应成比例 任意三角形 计算边长比例证明 HL 斜边+一条直角边成比例 仅直角三角形 直角专用，简化计算 典例引领 考向01利用平行判定相似 AD 【例1】如图，在△ABC中，DE∥BC,若Saac=9SAE,则AB的值() D 1 A. C. o.4 对点提升 3/10 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 BP 【对点1)如图，在△ABC中，AD=2CD,CF=2BF,则DP的值为 D 好 题 冲 关 能力提升 一、选择题 1.如图，在△ABC中，BF平分∠ABC,过A点作AF⊥BF,垂足为F并延长交BC于点 G,D为AB中点，连接DF延长交AC于点E.若AB=12,BC=20,则线段EF的长为 () G A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图，已知直线a∥b∥c,直线m交直线a、b、c于点A、B、C,直线n交直线a AB 1 EF bc于点D、B、P,若BC2,则DE=() m, n A D B 6 C F 4/10 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 1 A.2 B.3 3.如图，直 线，直线人、、专对应刻度尺上的刻度读数分别是5cm、&cm、 14cm,若AB=4cm,则AC的长为() A.8cm B.12cm C.18cm D.24cm 4.如图，a‖bc,直线m分别交直线a,b,c于点A,B,C,直线n分别交直线a, b,c于点D,E,F.若AB=6cm,BC=3cm,DF=7.5cm,则线段DE的长为 () A D -b -c A.4.5cm B.5cm C.5.5cm D.6cm 5.如图，己知AB∥CD∥EF,AC=CE,DF=5,那么BD的长是() A D E A.5 B.4 C.3 D.2 6.如图，直线4C和DF被5，人所载，直线 AB=3,AC=7,EF =2 ,则DE的 长为() 5/10 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 D B E 12 A.1 8-3 B. c D.2 7,图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中 BD 4 AB∥CD∥EF,已知CE=45cm'DF=5,则AC的长度是(）cm B D E 图① 图② A.30 B.36 C.45 D.56.25 8.如图，直线 ，直线4C分别交、专、于点4,，C,过点8的直线DE 分别交，5于点D,E.若AB=2,BC=4,DE=9 则线段DB的长为() D A A.3 B.4 C.5 D.6 9.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,点D,点E分别是AC边上两点(D在E的右 侧)AD=10,AE=2,连接BE,F为BE中点，若∠EDF=45°，则AB的长为() D E B 6/10 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 A.12 865 C.122 D.15 10.如图，在正方形ABCD中，点E为AD边上一点，点F为DC边延长线上一点且 AE=CF,连EF,点O为EF的中点，连BE,BD,BF,OC.有下列结论： E B ①△EAB≌△FCB； ②∠EBD+2∠CBF+∠DFE=90°： ③直线OC垂直平分BD: ④若0C=5-1,则0E=2-2 其中正确的有几个() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,分别以点B和点C为圆心、 1 大于2BC的长为半径作弧，两弧相交于E,F两点，作直线EF交4B于点D,连接CD: 则CD的长是 E D AB=6,BC=4,DF =15 12.如图，若 5,则EF的长为一 B F C 7/10 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 6 13.如图，点A小B分别在x轴、y轴的正半轴上，双曲线"=x>0)与直线4B相交于 C、D两点，若CD=2BC.则△BOD的面积是 B C 14.如图，在正方形ABCD中，AC和BD相交于点O,点P为线段OD的中点，连接AP 并延长交CD于点E.若BC=6,则CE的长为一 15.平行四边形ABCD的面积为60，点E,H在边AD上，点F,G在边BC上， EFI∥HG∥AB 连接对角线BD.分别交EF,HG于点NQ,连结40交EF于点M 连结CN,C0:若4C=号H-D,则图中△BMO5.CND的面积和为 D 三、解答题 16.如图，己知：在△MBC与△48BG中， ∠A=∠AB=ZB.求证： △ABCn△A,B,C A B B C 8/10 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 17.如图，在△ABC中，延长CB至点D,使BD=BC,在AC上取一点P,连接DF交AB 于点E,过F点作FH∥AB交CD于点H,己知AC=DE=3,EF=2. B (1)DB:DH= (2)求AF的长 AFAE 18.如图，在AABC中，点D在边AB上，点RE在边AC上，且DFIBE,FECE, (1)求证：DE∥BC: AF 2 2)如果FE=3,SAer=3,求S,ABc的值. AF CE 19.如图，△ABC中，点D在边BC上，DE‖AB,DF∥AC·求证：FBAE E AB AC 20.在A4BC中，已知AD是。ABC的角平分线，求证： 9/10 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 B D 10/10暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 3.3相似三角形判定定理的证明 知识归纳与题型总结 思 图 定理 一两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 平行线分线段成比例 推论 一平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例 相似三角形判 AA 一两组角对应相等 定定理的证明 SAS一两边成比例+夹角相等 相似三角形判定定理的证明 SsS 三边全部对应成比例 Hl 斜边+一条直角边成比例 考点01平行线分线段成比例 考点梳理 1.定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 2.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 典例引领 考向01由平行判断成比例的线段 【例1】在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，下列条件能判断DE与BC平行 的是() 1/28 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 A.AD=3cm,AB=4cm,AE =1.8cm,CE=2.4cm B.AD=2BD,AC=3CE C.AD=6cm.DE=9cm.AE =4cm.AC=10cm D.AB=2BD,BC=2DE 【答案】B AD AE AD AE 【分析】利用DE/BC时，BDEC或ABAC,逐一判断即可. AD AE AD AE 【详解】解：当DE∥BC时，BD=EC或ABAC,由此可得： A:AD=3,AB=4, .BD=AB-AD=4-3=1, 、4D=3=34E=18_3 :.BD 1 ，EC2.44 AD去AE BDEC,故A错误； B:.AD=2BD, ·AC=3CE, .AE=2CE, 装 AD AE ∴BDCE,故B正确： AD AE C:缺少AB或BD的长度，无法计算BD与CE的比值关系，无法判断，故C错误： D:由AB=2BD可知D为AB中点，但仅凭BC=2DE无法确定E点位置及比例关系，无 法判断，故D错误： 2/28 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 考向02由平行截线求相应线段的长或比值 【例2】如图，在口ABCD中，AB=3,AD=8,对角线AC,BD相交于点O,E是 ABCD内一点，且OE∥BC,，∠AEB=90°，则OE的长为() 3 A.1 B.2 C.2 【答案】D 【分析】延长OE交AB于点F,由平行四边形的性质得BC=AD=8,OA=OC,由平行 线等分线段定理得AF=BF,即得OF是△ABC的中位线，得到OF=2BC=4,又由直角三 角形的性质得EF-了4B- 2,再根据线段的和差关系解答即可求解。 【详解】解：如图，延长OE交AB于点F, F :四边形ABCD是平行四边形， .BC=AD=8,OA=OC, 又：OE∥BC, .'AF=BF, ∴，OF是△ABC的中位线， :0F=)BC=4 在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AF=BF, EF=14B-3 2 2 OE=OF-EF=4-3_§ 22· 3/28 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 对点提升 【对点1】己知：如图，在△ABC中，DE∥BC,点F为AD上的一点，且AD=AB·AF 求证：EF∥CD D B 【答案】证明：：DE∥BC, AD AE ABAC. ·AD2=ABAF, AD AF :.AB AD' AF AE AD AC' ∠A=∠A, .△AFEn△ADC, .∠AFE=∠ADC, ∴.EF∥CD AD AE AD AF 【分析】利用平行线分线段成比例可得ABAC,由已知条件变形可得ABAD,进而 AF AE 可得AD-AC,即可证明△AFEn△4DC,推出∠AFE=∠ADC,即得结论. 【详解】解：略。 【对点2】如图，在矩形4BCD中，若AB=34C=5,仁= CF4,求EA的长度. 【答案】1 4/28 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 【分析】根据矩形的性质得到AD∥BC,∠ABC=9O°，根据平行线分线段成比例定理得 AE AF 1 到BCCF=4,根据勾股定理求出BC的值，即可得到EA的长度. 【详解】解：：矩形ABCD .AD∥BC,∠ABC=90°， AE AF 1 BC CF 4' BC=VAC2-AB2=V52-32=4 AE 1 .44 .EA=1. 考点02相似三角形判定定理的证明 考点梳理 证明依据：平行线分线段成比例。 判定 条件 适用范围 关键注意点 AA 两组角对应相等 任意三角形 最常用，只需找两组等角 SAS 两边成比例+夹角相等 任意三角形 必须是夹角，侧边不行 SSS 三边全部对应成比例 任意三角形 计算边长比例证明 HL 斜边+一条直角边成比例 仅直角三角形 直角专用，简化计算 典例引领 考向01利用平行判定相似 AD 【例1】如图，在△ABC中，DE∥BC,若Sac=9SaE,则AB的值() 5/28 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 A 1 1 B. 3 c.9 D.4 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，可得△ADE一△ABC,再根据“相似三角形的面积之比 是相似比的平方”，即可求解. 【详解】解：DE∥BC, .△ADE△ABC, ·SAABC=9S△MDE SADE-1 (AD1 .S&ABC9,即AB 9, AD 1 ..AB 3. 对点提升 BP 【对点1】如图，在△ABC中，AD=2CD,CF=2BF,则DP的值为 3 【答案】4/0.75 【分析】过点D作BC的平行线，交AF于点E,设BF=3a,由平行可判定 DE AD 2 △ADE△ACF,则G=AC=3,计算得DE=4a'同理ADEP26BFP'因此 6/28 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 BP BF 3 DP=DE=4. 【详解】解：如图，过点D作BC的平行线，交AF于点E,设BF=3a, AD=2CD,CF=2BF. AD 2 ..AC3,CF=6a, DE∥BC. .△ADE∽△ACF 匹如 DE∥BC, ∴△DEP∽aBFP, BP BF 30-3 DP DE 46 4 好 题 能力提升 一、选择题 1.如图，在△ABC中，BF平分∠ABC,过A点作AF⊥BF,垂足为F并延长交BC于点 G,D为AB中点，连接DF延长交AC于点E.若AB=12,BC=20,则线段EF的长为 7/28 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 B A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【分析】证明△BFA≌aBFG,根据全等三角形的性质得到BG=AB=12,AF=FG,根 据平行线分线段成比例和三角形中位线定理计算即可， 【详解】解：，BF平分∠ABC, .∠ABF=∠GBF, AF⊥BF, ∴.∠BFA=∠BFG 在△BFA和△BFG中， ∠ABF=∠GBF BF=BF ∠BFA=∠BFG' ,△BFA≌△BFG(ASA) BG=AB=12.AF=FG」 ∴CC=BC-BG=8, AD=DB.AF=FG sDE∥BC, AD=AE=1 DB EC ..AE=EC, AE=EC,AF=FG 8/28 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 2.如图，己知直线a∥b∥c,直线m交直线a、b、c于点A、B、C,直线n交直线a AB 1 EF bc于点D、B、B,若BCF2,则DE=() A b A.2 B.3 c.3 1-2 D. 【答案】A 【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，据此列出比例式求解即可： 【详解】解：，a∥b∥c, DE AB 1 EF ∴.EF=BC2,即DE =2 3、如图，直线% 线、、马对应刻度尺上的刻度读数分别是5cm、8cm、 3,直线、 14cm,若AB=4cm,则AC的长为() B A.8cm B.12cm C.18cm D.24cm 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果， 4121 【详解】解：设刻度尺所在直线与直线、々、的交点分别为D、E、F 9/28 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 、A D B 12 C F -13 ,直线、 对应刻度尺上的刻度读数分别是5cm、8cm、l4cm ∴DE=8-5=3cm,DF=14-5=9cm, 4%14 AB DE 3 1 ·ACDF93; AB=4cm, ∴.AC=12cm. 4.如图，abc,直线m分别交直线a,b,c于点A,B,C,直线n分别交直线a, b,c于点D,E,F.若AB=6cm,BC=3cm,DF=7.5cm,则线段DE的长为 () m d A D B E b F A.4.5cm B.5cm C.5.5cm D 6cm 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果， 【详解】解：ablc, AB DE ·BCEF, .AB 6cm,BC=3cm,DF=7.5cm, 10/28 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 6 DE .37.5-DE· .'DE =5cm. 5.如图，己知AB∥CD∥EF,AC=CE,DF=5,那么BD的长是() B E F A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例，列出比例式，进行求解即可. 【详解】解：：AB∥CD∥EF, AC BD ·.CEDF .AC=CE,DF=5, BD .5 -=1 .BD=5. 6.如图，直线4C 所截，直线 I,I吗AB=3AC=7,EF=2,则DE的 长为() A∠1D -11 B E F A.1 B.3 D.2 【答案】C 【分析】利用平行线分线段成比例定理，求解即可； 【详解】解：AB=3,AC=7,EF=2, ∴.BC=AC-AB=4, 11/28 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 :4424 AB_DE BC EF .3_DE “42， 解得DE3 2 7.图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中 BD 4 AB∥CD∥EF,已知CE=45cm,DF=5,则AC的长度是(）cm· B D 图① 图② A.30 B.36 C.45 D.56.25 【答案】B 【详解】解：，AB∥CD∥EF, BD AC DF CE' BD 4 CE=45em'DF 5' 4 AC .545· ..AC=36cm 8.如图，直线 4，直线4C分别交、、5于点4，B,C,过点B的直线DE 分别交，于点D,E.若B=2,8C=4,DE=9,则线段DB的长为() 12/28 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 D A -I B A.3 B.4 c.5 D.6 【答案】A AB BD 【分析】设BD=x,根据平行线分线段成比例定理得出BCBE,解分式方程求出x的值 即可得出答案， 【详解】解：设BD=x, ,DE=9, .BE=DE-BD=9-x, %% AB=2 BC=4 AB BD 2 x BC=BE,即49-x 解得：x=3, 经检验：x=3是分式方程的解， 线段DB的长为3 9.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,点D,点E分别是AC边上两点(D在E的右 侧)AD=10,AE=2,连接BE,F为BE中点，若∠EDF=45°，则AB的长为() E B A.12 8.6v5 C122 D.15 【答案】B 【分折】作KLAC于太，先证FK是ABCE的中位线，有K=BC ×6=3 2 CE=2EK,再证△FKD是等腰直角三角形，求出AC后，利用勾股定理即可求解。 【详解】解：作FK⊥AC于K, 13/28 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 E ∠C=90°，即BC⊥AC, .FK∥BC, EK EF ∴.CKBF, F为BE中点， .K为CE中点， ,FK是△BCE的中位线， FK8C3 CE-2EK 又：∠EDF=45, ,△FKD是等腰直角三角形， .DK=FK=3. AD=10,AE=2, .DE=AD-AE=10-2=8. .EK=DE-DK=8-3=5, .CE=2EK=10 .AC=CE+AE=10+2=12. :AB=VAC+BC2=22+6=6N5 10.如图，在正方形ABCD中，点E为AD边上一点，点F为DC边延长线上一点且 AE=CF,连EF,点O为EF的中点，连BE,BD,BF,OC.有下列结论： D ①△EAB≌△FCB: 14/28 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 ②∠EBD+2∠CBF+∠DFE=90°， ③直线OC垂直平分BD: ④考oC=2-1,则E=2-v2 其中正确的有几个() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【分析】对于结论①，因为正方形的边AB=BC,且∠A=∠BCF=90°，又已知AE=CF, 所以可依据SAS判定定理判断两个三角形是否全等： 对于结论②，先由①的全等可得BE-BF、∠ABE=∠CBF,可推出△BEF是等腰直角三 角形，再结合正方形对角线分角为45°、△EDF是直角三角形的角度关系，推导角的和是 否为90°： 对于结论③，因为直角三角形斜边中线等于斜边的一半，所以可得OC=OE=OF,再结合 正方形顶点到BD两端距离相等，判断OC是否在BD的垂直平分线上： 对于结论④，过点O作OG⊥CD交CD于点G,可得中位线OG与DE的关系，用③的结论 可证aOCG的形状，从而得到OC与OG的关系，因此结合OC的长度求解DE的长度， 【详解】①：正方形ABCD中，AB=CB,∠A=∠BCF=90°，已知AE=CF,根据SAS 全等判定，可得△EAB≌△FCB,故①正确 ②：由①得：BE=BF,∠ABE=∠CBF,∠ABC=90, .∠ABE+∠EBC=90°， ∴.∠CBF+∠EBC=∠EBF=90°， ∴.△EBF是等腰直角三角形，∠BEF=45°， ,正方形对角线BD平分∠ABC, .∠ABD=45°=∠ABE+∠EBD=∠CBF+∠EBD, 即2∠CBF+2∠EBD=90° 又，△EDF是直角三角形， .∠DFE+∠DEF=90°， ∠DEF=180°-∠AEB-∠BEF=180°-(90°-∠CBF)-45°=45°+∠CBF 而 :∠DFE=900-(45+∠CBF)=45°-∠CBF=∠EBD 15/28 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 :∠EBD+2∠CBF+∠DFE=2∠EBD+2∠CBF=90°，故②正确： ③：连接OB、OD D 在直角 中，是中点，故 BO= △EBF O EF 2 在直角。BDF中，O是E你中点，放OD=EF 2 ..OD=OB ∴，点O在BD的垂直平分线上， .CB=CD. ∴.点C在BD的垂直平分线上， ∴，OC垂直平分BD,③正确： ④：过点O作OG⊥CD交CD于点G, D 由③得，直线OC垂直平分BD,且BD为正方形的对角线， ∴.OC平分LBCD, .∠0CG=45°， ..oc=2oG 0C=√2-1， 2, :点O为EF的中点，且OG∥DE, 16/28 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 ..oF FG OE DG ∴.点G为DF的中点， ∴.OG为△DEF的中位线， .DE=20G=2-V2 ,故④正确， 四个结论全部正确，正确的个数为4. 二、填空题 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,分别以点B和点C为圆心、 1 大于2BC的长为半径作弧，两弧相交于E,F两点，作直线EF交AB于点D,连接CD, 则CD的长是 D B 【答案】5 【分析】由作图痕迹可知直线EF是线段BC的垂直平分线，根据垂直于同一直线的两直线 平行可得EF‖AC,根据平行线分线段成比例可判定D为AB的中点，利用勾股定理求出 AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解. 【详解】解：如图， B 由作图可知，直线EF是线段BC的垂直平分线， .EF⊥BC,CG=BG, 17/28 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 :∠ACB=90°，即AC⊥BC, .EF∥AC, BD-BG=1」 :DA GC .D为AB的中点， 在Rt△ABC中，AB=VAC+BC=62+8=10 :∠ACB=90°，D为AB的中点， D号4B8=5 l AB=6,BC=4,DF =15 12.如图，若 5,则EF的长为 【答案】6 AB DE 【分析】根据平行线分线段成比例得出BCEF,再代入数值计算即可. 【详解】解：~川% AB DE BCEF AB=6,BC=4,DF=15 615-EF .4EF, 解得EF=6, 1,图。点A小6分别在x镇、y转的正半销上·双自线>0与直线B相交于 C、D两点，若CD=2BC.则△BOD的面积是 18/28 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 D 【答案】12 【分析】过点C,D分别作x轴的垂线，垂足分别为M和N,先根据CM∥DN和 a,s D3a,2 Ca,- cD=2BC,推出MN=20M,设M(a,0),，N(3a,0),即可推出a, ,再 求出直线AB的解析式，求出点B的坐标，最后根据50一0B即可求解. 【详解】如图，过点C,D分别作x轴的垂线，垂足分别为M和N, B OM 则CM∥DN. MN CD OM BC .CD=2BC, ∴.MN=2OM, 设M(a,0)N3a,0) 6 “C、D两点在y=(x>0)上， a, :设直线AB的解析式为： y=+b(k≠0) 19/28 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 ca,）p3a,2 2m2 将a,（a代入y=ac+b中， ak+b=6 k=- a a" 3ak+b=2,解得： b 8 a 2 8 直线AB的解析式为：y=。 x+ 8 8 六当x=0时，少= B0. a,即点a, :OB=8 a 5.am-20Bkl-2x合×3a=12 18 14.如图，在正方形ABCD中，AC和BD相交于点O,点P为线段OD的中点，连接AP 并延长交CD于点E.若BC=6,则CE的长为一 A B 【答案】 4 【分析】过点O作OF‖AE交CD于点F,利用平行线分线段成比例定理即可求解。 【详解】解：过点O作OF‖AE交CD于点F, :正方形ABCD中，CO=AO, CO_CF=1 .AO EF :.CF=EF, 20/28 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 “点P为线段OD的中点，PEOF, DP_DE=1 ·OPEF ∴.DE=EF, .'DE =EF =CF, :正方形ABCD中，CD=BC=6, ∴CE= 2cD=4 15.平行四边形ABCD的面积为60，点E,H在边AD上，点F,G在边BC上， EF∥HG∥AB 港接对角线D,分别交EF,HC于点NQ,连结40交EF于点M AQ、EF 连结CN,C0,若4E-H-D,则图中ABMQ与.CN2的面积和为 D B F 【答案】30 【分析】利用线段比例关系确定点M和点Q在图形中的相对位置，进而利用“等高模型” 将不规则三角形面积转化为已知平行四边形面积的一部分即可， 【详解】解：由题意知，设AE=a,则EH=3a,HD=2a,AD=6a, ,·HQ∥EM MO EH 3 .A0AH4· 21/28 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 SAB2=4S△BAe, HQ∥CD .A=B2_4a=2 AD BD 6a 3 2 SmS, 32 321 :5aw0X58aa0-4x号×2x60=15, :NF∥G0 NO FG 3a 3 BO BG 4a 4 :GQ∥CD BO BG 4a 2 BD BC 6a 3 2 SARCO=3SABCD, .SAcNe 321 4*3×2×60=15 ,S△Bw0+S△cNg=15+15=30 三、解答题 16,如图，已知：在△MBC与△4BG中， ∠A=∠A∠B=∠B .求证： △ABC∽△AB,C A E 22/28 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 【答案】证明：不妨假设 >48.在B上拔数0A8.在C上数 B=AC,连 接DE,如图所示， :∠A=∠AAD=ABAE=AC :.△AD≌aABC(SAS) ∴.∠ADE=∠AB,C∠AED=∠C1DE=B,C ∠B=∠B A A E B B C.∠ADE=∠B .DE//BC, ADAE ABAC· 过点E作EFI川AB,交BC于点E, 则四边形DEFB是平行四边形， :DE=FB, EF‖AB BF AE …BCAC, DE AE BC AC AD DE AE AB BC AC' ..4BBC_4C AB BC AC 23/28 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 :∠A=∠A∠B=∠B ∴∠C=∠C △ABC∽△AB,C AB BC AC 【分析】在AB上截取AD=AB,在AC上截取AE=AC,证明AB=BC=AC, ∠A=∠A∠B=∠B∠C=∠C 解答即可： 【详解】略 17.如图，在△ABC中，延长CB至点D,使BD=BC,在AC上取一点F,连接DF交AB 于点E,过F点作FH∥AB交CD于点H,己知AC=DE=3,EF=2. B H (1)DB:DH= (2)求AF的长， 【答案】(1)3：5 (2)AF=2 【分析】(1)利用平行线分线段成比例得到DB:BH=DE:EF=3:2即可求解： (2)由(1)得BCBH=32,再根据平行线分线段成比例得到ACAF=BCBH=32,进 而可求解， 【详解】(1)解：因为DE=3,EF=2, 所以DE:EF=3:2, 又因为FH∥AB, 所以DB:BH=DE:EF=3:2, 所以DBDH=35: (2)解：因为BD=BC,DB:BH=3:2 所以BCBH=32 24/28 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 因为FH∥AB 所以ACAF=BCBH=32, 又因为AC=3 所以AF=2. AF AE 18.如图，在AABC中，点D在边AB上，点RB在边AC上，且DFIBE,FECE: D (1)求证：DE∥BC: AF2 (2)如果FE3,SAEr=3,求S,Mc的值. 【答案】(1)证明：：DF∥BE, AF AD FEDB· AFAE FE CE AD AE 'DBCE· AD AE AB AC 又∠DAE=∠BAC, .△ADE△ABC, .∠ADE=∠ABC, .DE//BC 125 2)4 AF AD AD AE 【分析】(1)由DFBE可得FE=DB,再结合已知比例，可得DBCE,证明 △ADE∽△ABC,即可解答： (2)由图可知△ADE与△DEF等高，根据等高的两个三角形面积比等于底边的比，再由 DE∥BC,得出△ADEAABC,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解。 25/28 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 【详解】(1)略 AF2 (2)解：“FE3 .EF_3 AE 5 ·△DEF与△ADE同高， S.DEE=EF3 SADE AE 5, SADEF =3 ∴.SADE=5 AF AE FE CE' AE_2 CE3· AE2 AC 5 '△ADEn△ABC, 4 SABC AC25, .S△A8c= 125 4· AFCE 19.如图，△ABC中，点D在边BC上，DEIlAB,DF∥AC·求证：FB-AE 【答案】证明：DE∥AB, .CECD AE BD' 26/28 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 :DF∥AC, :F、CD BF BD .AF_CE 'FBAE· 【分析】由平行线分线段成比例即可证明。 【详解】略 ABAC 20.在。ABC中，己知AD是aABC的角平分线，求证：BDCD· B D 【答案】证明：如下图所示，过点C作CE‖AD,交BA的延长线于点E, ADI EC .∠1=∠4，∠2=∠3， :AD平分∠BAC, .∠1=∠2， .∠3=∠4， :AE=AC, AD‖EC, :.ABDB AE DC AB BD AC CD BD CD 27/28 暑季研思·九年级上册数学暑期培优专项讲 4 1 3 【分析】过点C作CE‖AD,交BA的延长线于点E,根据平行线的性质可证∠3=∠4，根 据等角对等边可证AE=AC,根据平行线分线段成比例定理可证结论成立. 【详解】略 28/28