第13讲 相似三角形的性质（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材北师大版

第13讲 相似三角形的性质（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+1个知识归纳+4个题型+课后作业】 模块二 相似三角形的性质 如图，小王依据图纸上的△ABC，以1:2的比例建造了模型房的房梁△A'B'C'，CD和C'D'分别是它们的立柱。 （1）△ACD与△A'C'D'相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。 （2）如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？ 【知识点1 相似三角形的性质】 1. 定理1：相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比． 2. 定理2：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 【题型1 利用相似三角形的性质求解】 【例1】如图，在中，，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，容易证明，则，因此． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【变式1-1】如图，，，，CD平分，平分．若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边上高线的比、对应角平分线的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵，，，平分，平分， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】如图在中，、分别是边，上的点，且，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定与性质，理解“同高的两个三角形，面积比等于底的比”是解题关键． 先由同高三角形面积比得，通过平行线证明，利用相似性质得，再通过平行线证明，最后由面积比等于相似比的平方求出结果． 【详解】解： 与的高相同，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【变式1-3】如图，，，直线、、相交于点，且，若的周长为15，则的周长为_____．    【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的周长为x， ∵， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴的周长为． 故答案为：． 【题型2 与相似三角形有关的简单几何综合】 【例2】如图，在矩形中，，E，F分别为上的点，若，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质证明，根据相似比求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在矩形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 故选：D． 【变式2-1】如图，点在平行四边形的边上，，与的延长线交于点，若，则平行四边形的周长为（     ） A．21 B．34 C．28 D．42 【答案】B 【分析】先由平行四边形得到，然后得到，然后利用，得到，，从而得到的长，最后得到平行四边形的周长． 【详解】四边形是平行四边形， ∴， ，， ， ， ，， ，， ， 的周长． 故选：B． 【变式2-2】如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 【答案】 【分析】先利用矩形性质得到平行线与直角，推出一组等角，结合垂直得到另一组直角相等，证出与相似；再在直角三角形中用勾股定理算出斜边，最后根据相似三角形对应边成比例列等式，代入已知边长求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-3】如图，在正方形中，，点M在边上，且，连接，点E是的中点，过点E作的平行线，交于点F，则的长为（     ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】延长交于点G，首先求出，然后证明出，得到，求出，证明出四边形是矩形，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 故选：C． 【题型3 动点问题】 【例3】如图，在中，，，是的中点，动点从点出发，在边上以的速度向点运动，运动到点停止．若以，，为顶点的三角形与相似，则点的运动时间为______秒． 【答案】或 【分析】此题考查了相似三角形的性质，分两种情况利用相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：设点的运动时间为秒， 由题意可得，， ∵是的中点， ∴， 当时， , ∴，解得， 当时， , ∴，解得， 综上可知，点的运动时间为或， 故答案为：或 【变式3-1】如图，在中，，，动点从点出发沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；．如果，两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么经过_______秒时，以点，，为顶点的三角形与相似． 【答案】2或0.8 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可． 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，，， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似． 故答案为：2或． 【变式3-2】如图，在中，，，，点P从A点出发沿向C点运动，速度为每秒，同时点Q从C点出发沿向B点运动，速度为每秒，当点P到达顶点C时，P、Q同时停止运动，设P点运动时间为t秒，当t为_________时，与相似． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，利用勾股定理求出的长，用含t的式子表示出的长，根据题意只存在和这两种情况，据此利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴当与相似时，只存在和这两种情况， 当时，则，即， 解得， 当时，则，即， 解得， ∵， ∴， ∴和都符合题意， 故答案为：或． 【变式3-3】中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（    ）． A．0 B．1 C．0或1 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 根据题意分类讨论：当时；当时；当时，设，则，可证，解得，；由此即可求解． 【详解】解：当时，， ∴； 当时，点重合，，此时与矛盾，不符合题意，舍去； 当时，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，的值为或， 故选：D ． 【题型4 相似三角形的应用】 【例4】《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】将实际问题转化为几何模型，过C作，分别交标杆、树于点、，证明，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：设树高为尺， 如图，过C作，分别交标杆、树于点、， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知（尺），步，（步），尺， ∴， 解得， 故树高为尺． 故选：D ． 【变式4-1】如图，为标杆在路灯下的影子，已知标杆高为2.4米，影长为3米，标杆与路灯的水平距离为6米，则路灯的高度为（  ） A．6.48米 B．7.2米 C．8.1米 D．9.6米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，找出图中的相似三角形是解题的关键． 通过证明，得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵ ∴， ∴，即， 解得米， 故选：B． 【变式4-2】如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 【答案】 【分析】证明，得出对应边成比例，求出相关线段即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式4-3】如图，小明为测得学校操场上小树的高，他站在教室里的A点，从教室的窗口望出去，恰好能看见小树的整个树冠经测量，窗口高，树干高，A点距墙根G的距离为，C点距墙根G的距离为，且A，G，C三点在同一直线上．则小树的高为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行线分线段成比例，解题的关键是证明出． 首先得到，然后证明出，得到，然后代入求出，进而求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴小树的高为． 故答案为：． 模块三 课后作业 1．如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为（）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意，可知分两种情况，然后根据题目中的条件，利用三角形相似，可以求得的长，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， ∴， 解得； 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， 解得； 由上可得，的长为或， 故选：C． 2．在求解图形面积时，经常用到“同底等高”“等底等高”等方法．如图，为的对角线，分别在上，且，若，则___________． 【答案】7 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、等积变换，利用相似得到线段和高的比例关系是解题的关键． 先证明，再利用三角形相似的判定和性质，平行四边形的性质，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 3．如图，在中，，，动点以秒的速度从点向终点运动，动点以秒的速度从点向终点运动．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是__________秒． 【答案】2或/2或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质时解题的关键． 设运动时间为，由题意可得，，，分与这两种情况，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式即可． 【详解】解：当动点、同时运动时间为时，则有，，， 是公共角， ①当时，， 有，即， 解得：； ②当时，， 有，即， 解得：； 故答案为：2或． 4．如图所示，旗杆顶部Q，标杆顶部D，观测者的眼睛B在同一直线上，测得观测者的脚到旗杆底部的距离，观测者的脚到标杆底部的距离，若，标杆的高为，那么旗杆有多高． 【分析】如图，作于H，交于E，则四边形和四边形为矩形，易得，易证，利用相似三角形的性质可得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图，作于H，交于E，则四边形和四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴． 答：旗杆的高度为． 5．如图，在中，，，的面积为． （1）证明 （2）求四边形的面积． 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由直接判定即可； （2）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴； （2）解∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，菱形的顶点在等边的边上，点在的延长线上，连接，过点作的平行线交于点．若，，求的长度． 【分析】设与相交于点，根据平行线分线段成比例，先求得，的长度．再运用等边三角形的性质，求得的长．最后根据，得，求得结果． 【详解】解：如图，设与相交于点， 菱形，点在的延长线上， ，， ， ， ，， ． ， ，． 等边，， ， ， ． ， ， ， ，，， ． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 相似三角形的性质（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+1个知识归纳+4个题型+课后作业】 模块二 相似三角形的性质 如图，小王依据图纸上的△ABC，以1:2的比例建造了模型房的房梁△A'B'C'，CD和C'D'分别是它们的立柱。 （1）△ACD与△A'C'D'相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。 （2）如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？ 【知识点1 相似三角形的性质】 1. 定理1：相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比． 2. 定理2：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 【题型1 利用相似三角形的性质求解】 【例1】如图，在中，，，，则为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，，，，CD平分，平分．若，则的值为______． 【变式1-2】如图在中，、分别是边，上的点，且，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，，，直线、、相交于点，且，若的周长为15，则的周长为_____．    【题型2 与相似三角形有关的简单几何综合】 【例2】如图，在矩形中，，E，F分别为上的点，若，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，点在平行四边形的边上，，与的延长线交于点，若，则平行四边形的周长为（     ） A．21 B．34 C．28 D．42 【变式2-2】如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 【变式2-3】如图，在正方形中，，点M在边上，且，连接，点E是的中点，过点E作的平行线，交于点F，则的长为（     ） A． B．2 C． D．5 【题型3 动点问题】 【例3】如图，在中，，，是的中点，动点从点出发，在边上以的速度向点运动，运动到点停止．若以，，为顶点的三角形与相似，则点的运动时间为______秒． 【变式3-1】如图，在中，，，动点从点出发沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；．如果，两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么经过_______秒时，以点，，为顶点的三角形与相似． 【变式3-2】如图，在中，，，，点P从A点出发沿向C点运动，速度为每秒，同时点Q从C点出发沿向B点运动，速度为每秒，当点P到达顶点C时，P、Q同时停止运动，设P点运动时间为t秒，当t为_________时，与相似． 【变式3-3】中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（    ）． A．0 B．1 C．0或1 D．1或 【题型4 相似三角形的应用】 【例4】《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【变式4-1】如图，为标杆在路灯下的影子，已知标杆高为2.4米，影长为3米，标杆与路灯的水平距离为6米，则路灯的高度为（  ） A．6.48米 B．7.2米 C．8.1米 D．9.6米 【变式4-2】如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 【变式4-3】如图，小明为测得学校操场上小树的高，他站在教室里的A点，从教室的窗口望出去，恰好能看见小树的整个树冠经测量，窗口高，树干高，A点距墙根G的距离为，C点距墙根G的距离为，且A，G，C三点在同一直线上．则小树的高为______． 模块三 课后作业 1．如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为（）    A． B． C．或 D．或 2．在求解图形面积时，经常用到“同底等高”“等底等高”等方法．如图，为的对角线，分别在上，且，若，则___________． 3．如图，在中，，，动点以秒的速度从点向终点运动，动点以秒的速度从点向终点运动．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是__________秒． 4．如图所示，旗杆顶部Q，标杆顶部D，观测者的眼睛B在同一直线上，测得观测者的脚到旗杆底部的距离，观测者的脚到标杆底部的距离，若，标杆的高为，那么旗杆有多高． 5．如图，在中，，，的面积为． （1）证明 （2）求四边形的面积． 6．如图，菱形的顶点在等边的边上，点在的延长线上，连接，过点作的平行线交于点．若，，求的长度． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $