1.4 正方形的性质与判定（暑假预科讲义）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 1.4正方形的性质与判定 知识归纳与题型总结 考点01 正方形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边均相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分 ， 每条对角线平分一组对角 考向01 正方形性质理解 【例1】矩形、菱形、正方形都具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角 【答案】A 【分析】根据矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分这一性质做题即可． 【详解】解：矩形的对角线互相平分且相等，不垂直，不平分一组对角；菱形的对角线互相平分且垂直，平分一组对角，对角线不相等；正方形的对角线同时具备矩形和菱形对角线的所有性质， 矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分． 考向02 根据正方形的性质求角度 【例2】如图，将一副直角三角尺按如图所示的方式放入正方形内，那么______________°． 【答案】 【分析】如图，过点F作，过点H作，然后，根据题意得到，，，再由四边形是正方形，得到，进而得到，可得，，再由求得的度数，最后，根据，可求得的度数． 【详解】解：如图，过点F作，过点H作， ∵将一副直角三角尺按如图所示的方式放入正方形内， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 考向03 根据正方形的性质求线段长 【例3】如图，以正方形的对角线为一边，作矩形，其边经过的中点，连结，，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，交于点，根据正方形的性质设，结合勾股定理求出的值，再根据矩形的性质推出、为等腰直角三角形，结合是的中点，运用勾股定理求出、、、，最后运用勾股定理求解、的值即可 【详解】解：如图，过点作，交于点， ∵正方形，对角线为， ∴，，， 设， ∵在中，，， ∴根据勾股定理，， ∵， ∴， ∵矩形， ∴，， 又∵ ∴， ∴、均为等腰直角三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵在中，，， ∴根据勾股定理，，，解得， ∴， ∵在中，， ∴根据勾股定理，，解得， ∴， ∴， ∵在中，， ∴根据勾股定理，， ∵在中，， ∴根据勾股定理，， ∴． 考向04 根据正方形的性质求面积 【例4】如图，大、小两个正方形连在一起，大正方形的面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】连接，根据正方形的性质推出，进而推出，即得出阴影部分的面积等于的面积，即大正方形面积的一半． 【详解】解：如图，连接， 四边形和右侧四边形均为正方形， 、分别为正方形的对角线， ， ， ， 大正方形的面积为， ，即阴影部分的面积为． 考向05 根据正方形的性质证明 【例5】如图，已知正方形的边长为6，是边上一点（不与点重合），以为边在正方形的右侧作正方形，连接、、，与相交于点． (1)当时，求的长．小明同学提出：可通过建立坐标系，利用代数方法解决几何问题．他的解题思路是：在题图中建立适当的平面直角坐标系，求出直线的解析式，确定点的坐标，进而求得线段的长．请你按照小明的思路，写出完整的求解过程； (2)当是边上任意一点（不与点重合）时，猜想与之间的关系，并证明你的猜想（证明方法不限）． 【答案】(1)； (2)证明：连接． 四边形和四边形均为正方形； ， ， ． 【分析】（1）建立直角坐标系，求得直线的解析式为，直线的解析式为，据此计算即可求解； （2）证明，求得，据此计算即可证明结论成立． 【详解】（1）解：以点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图， ∵正方形的边长为6，正方形的边长为4， ∴，， ∴点F的坐标为， 设直线的解析式为， 把点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴； （2）略 考向06 正方形折叠问题 【例6】如图，将正方形沿折叠，点落在对角线上的点处，已知，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质及折叠的性质可知：，，设，则，可求出，列方程即可求出的长． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 由折叠的性质可知：，，， ，， 设，则， ， ， ， ， ． 考向07 求正方形重叠部分面积 【例7】将边长为2的正方形和短边长为1的矩形按如图所示的方式摆放，则重合部分的面积是_______． 【答案】 【分析】连接正方形对角线，由边长为2得，点到对角线的距离．根据矩形的性质和判定得，则．再进行计算即可得，最后即可计算重合的面积． 【详解】解：如图，连接，交于点G，交于点H， 四边形是正方形， ，，， ∴， ∴， ∴ 解得， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，且， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【对点1】如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据正方形性质得出，，根据等边三角形性质得出，，推出，，根据等腰三角形性质得出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 【对点2】如图，已知，，是正十二边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正十二边形的外部作正方形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形的内角和和正方形的性质计算． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 正十二边形的每个内角为，即， ∴． 【对点3】如图，在正方形中，点在边上，点是的中点，过点作分别交，于点，，连接．若，，则的长度为________． 【答案】 【分析】连接，根据正方形的性质及勾股定理求出，设，根据利用勾股定理列方程求出，然后求出，再结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形 ∴，， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴在中，， ∴， 设，则， ∵， ∴ 即：， 解得：， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， 【对点4】如图，正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质及轴对称的性质，根据图形的对称性可得阴影部分的面积等于正方形面积的一半，据此求解即可． 【详解】解：由图可知，阴影部分与空白部分关于对角线对称， 所以 因为正方形的边长为2， 所以， 所以． 【对点5】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． (1)求黄金矩形的长； (2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)矩形是黄金矩形， 证明：由（1）可知，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴矩形是黄金矩形． 【分析】（1）根据黄金矩形的定义进行计算即可； （2）先计算出矩形的长与宽，再计算出比例，根据定义进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴； （2）略 【对点6】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为，与轴相交于，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，与轴相交于， 正方形的边在轴上， 四边形是矩形， ，，， 折叠， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 在中，， ， 解得， ，， 在中，， ， 解得， ， 点的坐标为． 【对点7】如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，正方形环的面积计算是解题的关键．连接，根据题意，得阴影部分的面积是，解答即可． 【详解】解：连接， 由正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3， 根据题意，得阴影部分的面积是， 故选：A． 考点02 正方形的判定 1．根据定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形． 2．根据邻边：有一组邻边相等的矩形是正方形． 3．根据角：有一个角是直角的菱形是正方形． 4．根据对角线： ①对角线相等的菱形是正方形． ②对角线互相垂直的矩形是正方形． ③对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形． ④对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形． 考向01 正方形的判定定理理解 【例1】下列说法中，错误的是（     ） A．正方形的对角线互相平分 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．菱形的对角线互相垂直 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】D 【分析】本题考查特殊四边形的性质与判定定理，逐一判断各选项的说法正误，即可找出错误选项． 【详解】解：A、正方形属于特殊的平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，故此选项说法正确； B、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是平行四边形的判定定理，故此选项说法正确； C、菱形的性质之一就是对角线互相垂直平分，故此选项说法正确； D、对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故此选项说法错误． 考向02 添一个条件使四边形是正方形 【例2】如图，四边形的对角线，相交于点O，，，，则添加下列一个条件能判定四边形是正方形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对角线互相平分判定四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直判定四边形是菱形，最后根据正方形的判定定理分析各选项即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 选项A、，这是菱形的性质，不能判定是正方形，故本选项不符合题意； 选项B、∵，∴，又四边形是菱形， ∴四边形是正方形，故本选项符合题意； 选项C、，这是菱形的性质，不能判定是正方形，故本选项不符合题意； 选项D、，这是平行四边形的性质，不能判定是正方形，故本选项不符合题意． 考向03 证明四边形是正方形 【例3】下列说法： （1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （2）四条边都相等的四边形是菱形． （3）对角线互相垂直的平行四边形是正方形． （4）四个角都相等的四边形是矩形． 其中正确的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查特殊四边形的判定，根据平行四边形、菱形、正方形、矩形的判定定理，逐个判断说法正误，统计正确个数即可得解． 【详解】解：（1）由平行四边形判定定理可知，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故（1）正确； （2）由菱形判定定理可知，四条边都相等的四边形是菱形，故（2）正确； （3）对角线互相垂直且相等的平行四边形才是正方形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故（3）错误； （4）∵四边形内角和为，四个角都相等，∴每个角的度数为，四个角都是直角的四边形是矩形，故（4）正确． 综上，正确的说法共有3个，因此选C． 考向04 根据正方形的性质与判定求角度 【例4】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的每一个顶点都在格点上． (1)求的度数； (2)仅用无刻度的直尺作出（不写作法），并求格点四边形的面积． 【答案】(1) (2)图见解析， 【分析】本题主要考查网格与勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形、正方形的性质等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）如图：连接，由勾股定理逆定理得到是直角三角形，即可求解； （2）根据平行四边形的性质，正方形的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图：连接， 根据勾股定理得，，， ∴，， ∴， 是直角三角形， ． （2）解：如图所示，取格点四边形或四边形， 或 四边形：根据格点可得四边形是平行四边形， ∴对角线相互平分，交点为点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴即为所求； 四边形，连接， ∵， ∴， ∴即为所求； 根据格点图示，可得点到的高为， ∴ ． 考向05 根据正方形的性质与判定求线段长 【例5】如图，四边形是一个矩形纸片，，．E是边上一点．将沿着翻折，A点的对应点为．在翻折的过程中，当是直角三角形时，的长为________． 【答案】或 【分析】分三种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求的长． 【详解】解：①如图，若， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵将沿着翻折， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； ②如图，若， ∵将沿着翻折， ∴，，， ∵， ∴点，点，点三点共线， ∵， ∴． ③若， ∵， ∴点不可能落在直线上， ∴不存在， 综上所述：或． 考向06 根据正方形的性质与判定求面积 【例6】如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，连接交于点O，如图所示： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形面积， ∴， 那么两个正方形重叠的部分的面积等于， 故答案为：． 考向07 根据正方形的性质与判定证明 【例7】四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以、为邻边作矩形，连接． (1)如图1，求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】(1)证明：如图1，过点作于点，作于点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴（角平分线的性质定理）， 又∵，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． (2) (3)或 【分析】（1）过点作于点，作于点，证出，则，再根据正方形的判定即可得证； （2）先求出，再得出点与点重合，则，然后得出即可； （3）分两种情况：①当线段与正方形的边的夹角是时，即，②当线段与正方形的边的夹角是时，即，利用正方形和矩形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵四边形为正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由（1）已证：， ∴， 又∵过点作，交射线于点， ∴如图2，此时点与点重合，则， 由（1）已证：四边形是正方形， ∴， ∴． （3）解：①如图3，当线段与正方形的边的夹角是时，即， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在四边形中，； ②如图4，当线段与正方形的边的夹角是时，即， 设与交于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 即； 综上，的度数为或． 考向08 中点四边形 【例8】如图，在四边形中，对角线，垂足为，点，，，分别为边，，，的中点．若，求四边形的面积． 【答案】12 【分析】根据中位线定理得到，，，，可知四边形是平行四边形，根据证明四边形是矩形，即可求出四边形的面积． 【详解】解：∵分别为边的中点． ，， ∴． 同理，，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积为． 考向09 （特殊）平行四边形的动点问题 【例9】已知，如图，在矩形中，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，其中为定点，、为动点，连接．当点从点移动到点的过程中，的面积（     ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．先增大，再减小 【答案】B 【分析】过点作交的延长线于点，通过证明得出为定值，再根据三角形面积公式结合的变化情况即可求解． 【详解】解：如图，过点 作 交 的延长线于点，连接， 四边形 是矩形， ， ， 四边形 是菱形， ，， ， ， ， 在 和 中， ， ， 为定点， 为定值，即 的高 不变， ， 当点 从 点移动到 点的过程中， 逐渐减小， 的面积逐渐减小． 考向10 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 【例10】如图，菱形的对角线，长分别为3和8，是对角线上的任一点（点不与点，重合），且交于，交于点，则阴影部分的面积是________． 【答案】6 【分析】设与相交于点．先证明四边形是平行四边形．利用平行四边形的性质可得，即，然后结合菱形的面积为对角线积的一半求解即可． 【详解】解：设与相交于点． ∵四边形为菱形， ，． ，， ，． 四边形是平行四边形． ． ． 考向11 四边形中的线段最值问题 【例11】如图，在中，，点为边上异于的一点，以，为邻边作与交于点，则的长为___________，线段的最小值是___________． 【答案】 1 【分析】由平行四边形的性质可得，，过作时，进而得到为等腰直角三角形，故，求出，然后可得线段的最小值． 【详解】解：四边形为平行四边形， 互相平分，则，， 所以，当取最小值时，即取最小， 过作时， 又， 所以，， 为等腰直角三角形， ，解得， ， 则线段的最小值是． 考向12 四边形其他综合问题 【例12】如图，在四边形中，如果，，这样特殊的四边形称为“筝形”． (1)类似于平行四边形、矩形等特殊的四边形的定义，请你给“筝形”下一个定义； (2)根据你给出的定义，在我们所学过的特殊四边形中，有没有“筝形”？如果有，说明四边形的形状；如果没有，请说明理由； (3)类似于平行四边形、矩形等特殊的四边形的性质的探究过程，探究“筝形”性质，给出三条“筝形”的性质，并证明； (4)类似于特殊的四边形判定探究过程，给出除定义之外的一种“筝形”的判定方法，并证明这一判定． 【答案】(1)解：筝形定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．即：四边形中，若，，则四边形为筝形． (2)解：特殊四边形中有筝形，菱形是特殊的筝形．理由如下：菱形的四条边都相等，因此必然满足 “两组邻边分别相等”，所以菱形属于筝形． (3)解：性质 1：筝形的一组对角相等； 证明：如图：连接， 在和中： ， ∴ ∴； 性质 2：筝形的对角线互相垂直，且其中一条对角线平分另一条对角线 证明：如图：连接相交于点O， 由， ∴． ∵， ∴， ∴，且平分． 性质 3：筝形是轴对称图形，对称轴为较长的对角线（所在直线） 证明：由性质 2 知，垂直平分，因此将四边形沿折叠，点B与点 D重合，两边完全重合，故筝形是轴对称图形，对称轴为对角线 所在直线． (4)解：判定方法：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形．证明如下： 设四边形中，对角线垂直平分，且交点为O． ∵ 垂直平分， ∴，， ∴四边形满足筝形的定义，故为筝形． 【分析】（1）根据题干归纳筝形的定义即可； （2）从特殊的四边形中寻找满足筝形定义的四边形，并证明即可； （3）从角、对角线、对称性三个方面归纳性质，并证明即可； （4）从（3）的性质中寻找筝形的判定方法，并证明即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． （3）解：略． （4）解：略． 【对点1】下列命题中，是真命题的是（     ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题考查特殊四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法即可解题，根据判定定理逐一判断各选项即可. 【详解】解：∵对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，仅对角线相等的四边形不一定是矩形， ∴A是假命题，不符合题意. ∵对角线互相垂直且互相平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形. ∴B是假命题，不符合题意. ∵根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴C是真命题，符合题意. ∵对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形， ∴D是假命题，不符合题意. 故选：C. 【对点2】在四边形中，，．添加下列条件，能使四边形为正方形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件判定四边形是等腰梯形，再结合正方形的判定定理分析各选项，用到等腰梯形的性质、矩形和正方形的判定定理． 【详解】解：∵，， ∴四边形是等腰梯形， ∴，， ∵， ∴， 由四边形内角和定理可得， A、若，则， ∴四边形是矩形， ∵， ∴邻边相等的矩形是正方形，符合要求； B、是等腰梯形本身的性质，无法推出四边形是正方形； C、若，结合可得四边形是平行四边形，又，仅能推出是菱形，无法推出是正方形； D、是等腰梯形本身的性质，无法推出四边形是正方形． 【对点3】小金在复习平行四边形章节时，整理出如下所示的思维导图，其中（1）、（2）、（3）、（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（     ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】B 【分析】根据特殊平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．（1）处若填，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知四边形是矩形，故A选项添加正确，不符合题意； B．（2）处若填，因为矩形的对边本身就相等，该条件无法判定矩形是正方形，应填等邻边相等的条件，故B选项添加错误，符合题意； C．（3）处若填，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可知四边形是菱形，故C选项添加正确，不符合题意； D．（4）处若填，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可知四边形是正方形，故D选项添加正确，不符合题意． 【对点4】如图1，将三个边长均为2的正方形卡片并排放在同一条直线上，现两侧卡片保持不动，把中间一张卡片抽出后，并按图2重新摆放．已知．    (1)__________°． (2)中间正方形卡片的中心到直线的距离是__________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据正方形的性质，得到，依次计算可得． （2）连接，过点作于点B，根据正方形的性质，得，继而得到，结合， 得到，结合，得到四边形正方形，得到，，过点作于点F，交于点E， 则，计算即可． 本题考查了正方形的性质，特殊角的三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键． 【详解】（1）连接，根据正方形的性质，得到， ∵， ∴， 故答案为：．      （2）连接，过点作于点B， 根据正方形的性质，得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形正方形， ∴，， 过点作于点F，交于点E， ∴， ∴． 故答案为：． 【对点5】动手操作是学习数学的一种好方法．如图，小华同学在一次折纸活动中，将一张纸（长宽比为）沿折叠，使点落在边上的点处，再沿折叠，使点落在边上的点处，则矩形的长与宽的比值为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质及折叠的性质证明四边形是正方形，四边形是正方形，设，则，根据正方形的性质得到，，进而得到，计算的值即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， 同理可证四边形是正方形， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴矩形的长与宽的比值为 ． 【对点6】如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到． 判定四边形是正方形，四边形是矩形，设，，得到，可得． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， 四边形是正方形，四边形是矩形， 设，，则， ，， ， ， ， ． 故选：A． 【对点7】如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．若正方形的面积是4，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形的面积，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，如图所示： ∵四边形和是正方形，且正方形的面积是4， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形的面积， ∵， ∴两个正方形重叠部分的面积等于． 【对点8】如图，E、F、G、H分别是四边形四条边的中点，若，则四边形是_________（填特殊形状）． 【答案】矩形 【分析】由三角形中位线定理可得，，，，，从而得出，，进而可得四边形是平行四边形，结合题意得出，即可得证． 【详解】解：∵E、F、G、H分别是四边形四条边的中点， ∴为的中位线，为的中位线，为的中位线， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【对点9】如图，在矩形纸片中，，，点，分别在边，上．将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上，记为点，点落在点处，连接交于点，连接．下列选项错误的是（    ） A．四边形是菱形 B．点与点重合时， C．面积的最小值是 D． 【答案】D 【分析】证明，，可判断A；点M与点D重合时，设，则，在中，根据勾股定理可得，再根据勾股定理以及菱形的性质可得的长，可判断B；根据题意可得当经过点时，最短，此时四边形的面积最小，四边形为正方形，可判断C；无法判断和全等，故无法判断与相等，可判断D． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故A正确； 点M与点D重合时，如图： 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵，四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，故B正确； 如图，当经过点时，最短，此时四边形的面积最小，四边形为正方形， 此时，故C正确； 在和中，， 根据题意找不到其他的条件相等，则无法判断和全等，故无法判断与相等，故D错误． 【对点10】如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积的计算，作出三角形的高，并表示出三角形与长方形的面积是解题的关键．过点作，垂足为，由图形可知，既是的高，也是的高，设，，根据三角形的面积公式可得，，接着可得，即可得出阴影部分占长方形面积的比例． 【详解】如图所示，过点作，垂足为， 设，， 则， ， ，， ， ， ， ，即阴影部分面积是长方形面积的． 故选：C． 【对点11】如图，在矩形中，，，，，，分别是，，，上的动点，且，，连接，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设、交于点，连接，，，由题意可知四边形，都是矩形，则，，得到，当点，，共线时，有最小值，为，即可求解． 【详解】如图，设、交于点，连接，，， 由题意可知四边形，都是矩形， ，， ， 当点，，共线时，有最小值，为， 即的最小值为． 【对点12】已知正方形边长为1，对角线相交于点O，过点O作射线，分别交于点E，F，且． (1)如图1，当时，求证：四边形是正方形； (2)如图2，将射线绕着点O进行旋转． ①在旋转过程中，判断线段与的数量关系，并给出证明； ②四边形的面积为 ； (3)如图3，在四边形中，，连接．若，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①，证明见解析；② (3) 【分析】（1）根据正方形的性质证明四边形是矩形，再得，即可解决问题； （2）①证明，可得即可； ②先根据正方形的性质得，则，，所以，由得，则，即可证明，于是得，根据四边形的面积的面积正方形的面积，即可解决问题； （3）延长至点G，使，连接，证明，可得，，所以为等腰直角三角形，所以四边形的面积等腰直角三角形的面积，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：①， 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积； （3）解：如图，延长至点G，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴四边形的面积等腰直角三角形的面积． 一、选择题 1．课外活动时，黄老师让同学们做一个对角线互相垂直的矩形形状的风筝（如图），其面积为，则两条对角线所用的竹条长度为（不计损耗）（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明矩形是正方形，再利用面积公式列式计算即可求解． 【详解】解：∵矩形对角线互相垂直， ∴矩形是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴两条对角线所用的竹条长度为． 2．如图所示，正方形的对角线和交于点，是边的中点，连接．若，则正方形的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质可知点为的中点，结合点是的中点，利用三角形中位线定理求出正方形的边长，进而求得周长． 【详解】解：四边形是正方形， 是的中点，， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， 正方形的周长． 3．如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，下列说法不正确的是（     ） A．四边形是平行四边形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若且，则四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，根据相关判定定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形；故A正确，不合题意； ，则平行四边形是菱形，故B正确，不合题意； ，则平行四边形是矩形；故C正确，不合题意； 当且，则：平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故D错误，符合题意． 4．如图，正方形的对角线，交于点，点又是正方形的一个顶点．若，则阴影部分的面积是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】设与交于点，与交于点，证明，阴影部分面积转化为面积即可． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 四边形是正方形， ，，， ． 又， ． )， ， ， ，即正方形边长为， 正方形面积为， ， ，即阴影部分面积为． 5．在复习特殊四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．①填 B．②填 C．③填 D．④填 【答案】D 【详解】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故①填正确，不符合题意； B、有一个角是直角的菱形是正方形，故②填正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故③填正确，不符合题意； D、一组邻边相等的矩形是正方形，而是矩形的对边相等，无法判定为正方形，故填错误，符合题意． 6．顺次连接四边形各边中点形成的四边形叫做中点四边形，有关中点四边形的描述如下： ①任意四边形的中点四边形一定是平行四边形； ②矩形的中点四边形一定是矩形； ③正方形的中点四边形一定是正方形； ④非正方形的中点四边形一定不是正方形． 其中所有正确推断的序号是（     ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题利用三角形中位线定理，根据原四边形对角线的关系判断中点四边形的形状，核心性质为：中点四边形的边分别平行于原四边形的对角线，且长度为原对角线长度的一半，逐一判定各描述即可得到结果. 【详解】解：根据三角形中位线定理可知，任意四边形中点四边形的对边分别平行于原四边形的对角线，且长度等于原对角线长度的一半，对边平行且相等， ①任意四边形的中点四边形对边平行且相等，因此一定是平行四边形，故①正确； ②矩形的对角线相等，因此矩形中点四边形的四条边长度相等，是菱形，不是矩形，故②错误； ③正方形的对角线相等且互相垂直，因此中点四边形四条边相等，邻边互相垂直，一定是正方形，故③正确； ④只要原四边形的对角线相等且互相垂直，无论原四边形是不是正方形，中点四边形都是正方形，因此非正方形也可以得到正方形的中点四边形，故④错误． 7．如图，正方形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点在直线上．将正方形沿轴正方向向右平移个单位长度后，点恰好落在直线上，则的值为（     ） A．5 B． C． D．2 【答案】C 【分析】过作于，过作于，根据“”定理证得，，根据全等三角形的性质求出点的坐标为，由待定系数法求出直线的解析式为，设平移后点的坐标为，代入解析式即可求出． 【详解】解：过作于，过作于，如下图， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， ∵点在直线：上， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设正方形沿轴向右平移个单位长度后点的坐标为， ∵点在直线上， ∴， 解得． 8．定义：将顺次连接四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形．如果中点四边形是正方形，那么原四边形的两条对角线一定满足（     ） A．两条对角线互相平分且相等 B．两条对角线互相垂直且相等 C．两条对角线互相平分且垂直 D．两条对角线互相垂直且不等 【答案】B 【分析】根据题意画图，利用中位线定理得，，，，然后根据正方形的性质得四个角是直角，四条边相等，然后，根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：根据题意画出图形如下： ∵E、F、G、H分别是四边形 各边、 、、的中点， ∴，， ∴，， ∵四边形是正方形， ，， ∴，，即两条对角线互相垂直且相等． 9．中，，以的每条边为边按如图方向作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且点恰好是的中点．若图中阴影部分面积为3，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设交于G，交于H，可证明，得到；再证明三点共线，则可证明，得到，根据，得到，则，由勾股定理可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设交于G，交于H， 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵点恰好是的中点， ∴； 由正方形的性质可得， ∴， ∴三点共线， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．已知和按如图方式摆放，其中边，分别与边，交于点，，，．若，，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以线段，，，所在直线构建一个新的四边形，作于点O，作于点R，证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，，，根据，求出结果即可． 【详解】解：如图，以线段，，，所在直线构建一个新的四边形，作于点O，作于点R， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∵和中，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， 根据题意可得：，，，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ， ∵四边形为平行四边形， ∴， 同理：，，，， ∴ ． 二、填空题 11．如图，在正方形中，点在的延长线上，连接，，且，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得出，利用等边对等角及三角形外角的性质求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴ ∵是的外角 ∴ ∴ 在中，． 12．如图，点是边长为的正方形对角线上的一点，于点，于点，则四边形的周长为________． 【答案】16 【分析】先判定四边形是矩形，再利用正方形对角线平分直角，得到为等腰直角三角形，推出，矩形周长可转化为，而等于正方形边长，代入即可求出周长． 【详解】解：四边形是边长为8的正方形， ，，， ，， ， 四边形是矩形． ∴， 中，，， 是等腰直角三角形，， 将代入周长式子： ， ， ． 13．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形，，，的面积分别为，，，，则最大的正方形的面积为______． 【答案】 【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意，利用勾股定理可得，继而得到：正方形的面积是正方形、的面积和，正方形的面积是正方形、的面积和，正方形的面积是正方形、的面积和，由此可得结论． 【详解】解： 如图，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， ∵所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，且正方形，，，的面积分别为，，，， ∴，， ∴， ∴正方形的面积为，即正方形的面积是正方形、的面积和， 按同样的方法可得：正方形的面积是正方形、的面积和，即正方形的面积为：， ∴正方形的面积是正方形、的面积和， 即正方形的面积为：． 14．如图，为正方形对角线上的一点，于点，于点，若正方形的周长为10，则四边形的周长为________． 【答案】5 【分析】由为正方形，根据正方形的性质可知四条边相等，且，进而得到和都是等腰直角三角形，即，，据此求解即可． 【详解】解：∵为正方形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴和都为等腰直角三角形， ∴，， 则四边形的周长 ． 15．如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形和正方形，连接并延长交于点，若，给出下面四个结论：①是的中点；②平分；③，④若，，则正方形的面积为．上述结论中，所有正确结论的序号是__________． 【答案】①②③ 【分析】利用全等三角形的性质、外角的性质、等角对等边、等角的余角相等、正方形的性质、勾股定理，以及正方形的面积公式，进行解答即可． 【详解】解：， ． ， ． ， ， ． ， ， ， ， ， 是的中点，故①正确； ， ． ， ． ，，， ， ， ， 平分，故②正确； 四边形为正方形， ． ， ， 在中， ，故③正确； ，， ． 四边形为正方形， ， ， 在中，， 即正方形的面积为，不等于，故④错误． 综上，所有正确结论的序号是①②③． 三、解答题 16．如图，正方形中，点，分别在，上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：在正方形中，，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 【分析】根据正方形的性质可得，，结合，推出，即可得证． 【详解】略 17．如图，的四个内角的平分线分别相交于点，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)下列三个条件：①；②；③对角线相等．从中选择一个条件_________，使四边形为正方形．（填写条件序号、不需要证明） 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ， ． 又，分别平分，， ． ， 同理， ． ∴四边形是矩形． (2)①或③（填一个即可） 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，根据角平分线的定义以及三角形内角和定理可得，同理得出，，即可证明四边形是矩形； （2）根据邻边相等的矩形是正方形，证明四边形是菱形，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：选择① ∵四边形是平行四边形， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵矩形的各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H， ∴， ， ， ， ∴， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形为正方形； 选择③对角线相等 ∵四边形是平行四边形，且对角线相等， ∴四边形是矩形，同上可得四边形是菱形， ∵， ∴四边形为正方形． 故答案为：①或③． 18．如图，已知，的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件____________，使四边形为正方形．（不需要说明理由） 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ， ， 是的垂直平分线， ，， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）由平行四边形性质得到，，根据垂直平分线的性质可得，，再由三角形全等的判定定理即可得证； （2）由（1）中全等三角形性质，结合平行四边形的判定与性质得到四边形为平行四边形，再由正方形的判定即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：添加条件为：；理由如下： 连接，如图所示： 由（1）得，， ， 又， 四边形是平行四边形， 是的垂直平分线， ， 平行四边形是菱形， 又， 菱形是正方形． 19．【提出概念】对凸四边形我们不妨约定： 若四边形对角线垂直，该四边形叫做“垂对”四边形； 若四边形对角线相等，该四边形叫做“等对”四边形． 【概念理解】 (1)下列凸四边形中，一定是“垂对”四边形的是_________（写序号）：一定是“等对”四边形的是_________（写序号）． ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 【性质应用】 (2)如图①，在“垂对”四边形中，，，，“垂对”四边形的面积为15，点、、、分别为、、、各边的中点，求四边形的周长． 【拓展探究】 (3)如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形既是“垂对”四边形，又是“等对”四边形． 【答案】(1)③④；②④ (2) (3)证明：如图所示，连接，连接分别交于点O，点T， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，，， ∴四边形既是“垂对”四边形，又是“等对”四边形． 【分析】（1）根据所给定义，结合平行四边形，矩形，菱形和正方形的性质逐一判断即可； （2）由勾股定理求出的长，根据定义得到，根据求出的长，再由三角形中位线定理求出四边形的四边长即可得到答案； （3）证明，得到，再证明，得到，据此可证明结论． 【详解】（1）解：平行四边形的对角线不一定相等，也不一定互相垂直，故平行四边形不一定是“垂对”四边形，也不一定是“等对”四边形； 矩形的对角线相等，但不一定互相垂直，故矩形不一定是“垂对”四边形，一定是“等对”四边形； 菱形的对角线不一定相等，但互相垂直，故菱形一定是“垂对”四边形，不一定是“等对”四边形； 正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形一定是“垂对”四边形，也一定是“等对”四边形； 综上所述，一定是“垂对”四边形的是③④，一定是“等对”四边形的是②④； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是“垂对”四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ∵点、、、分别为、、、各边的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴四边形的周长； （3）略 20．如图，点为正方形边上一动点，点为等边的边上一动点，且，． （1）当点与点重合时，的度数为____________； （2）当点在边上运动时，的最小值为____________． 【答案】 【分析】（1）因为F与C重合，，所以可确定G点的位置，再结合边的相等关系判定三角形的形状，利用三角形内角和或等腰、等边三角形的角的性质计算角度； （2）以为原点建立平面直角坐标系，设，通过表示出点的坐标，再用两点间距离公式表示出，进而得到的最小值． 【详解】【小题1】∵正方形边长， 且是等边三角形， ∴， 当与重合时，， ∵ ∴， 即与重合， ∵正方形中， ∴． 【小题2】以为原点建立平面直角坐标系：则，，，，过点作，交、于点、， 等边在正方形内部，得 设，则， ∵在上， 且，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 配方得：， ∴当时，取得最小值， ∴， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 1.4正方形的性质与判定 知识归纳与题型总结 考点01 正方形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边均相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分 ， 每条对角线平分一组对角 考向01 正方形性质理解 【例1】矩形、菱形、正方形都具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角 考向02 根据正方形的性质求角度 【例2】如图，将一副直角三角尺按如图所示的方式放入正方形内，那么______________°． 考向03 根据正方形的性质求线段长 【例3】如图，以正方形的对角线为一边，作矩形，其边经过的中点，连结，，则的值为（     ）． A． B． C． D． 考向04 根据正方形的性质求面积 【例4】如图，大、小两个正方形连在一起，大正方形的面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积为________． 考向05 根据正方形的性质证明 【例5】如图，已知正方形的边长为6，是边上一点（不与点重合），以为边在正方形的右侧作正方形，连接、、，与相交于点． (1)当时，求的长．小明同学提出：可通过建立坐标系，利用代数方法解决几何问题．他的解题思路是：在题图中建立适当的平面直角坐标系，求出直线的解析式，确定点的坐标，进而求得线段的长．请你按照小明的思路，写出完整的求解过程； (2)当是边上任意一点（不与点重合）时，猜想与之间的关系，并证明你的猜想（证明方法不限）． 考向06 正方形折叠问题 【例6】如图，将正方形沿折叠，点落在对角线上的点处，已知，则的长为（     ） A． B． C． D． 考向07 求正方形重叠部分面积 【例7】将边长为2的正方形和短边长为1的矩形按如图所示的方式摆放，则重合部分的面积是_______． 【对点1】如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为______． 【对点2】如图，已知，，是正十二边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正十二边形的外部作正方形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【对点3】如图，在正方形中，点在边上，点是的中点，过点作分别交，于点，，连接．若，，则的长度为________． 【对点4】如图，正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【对点5】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． (1)求黄金矩形的长； (2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 【对点6】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【对点7】如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 考点02 正方形的判定 1．根据定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形． 2．根据邻边：有一组邻边相等的矩形是正方形． 3．根据角：有一个角是直角的菱形是正方形． 4．根据对角线： ①对角线相等的菱形是正方形． ②对角线互相垂直的矩形是正方形． ③对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形． ④对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形． 考向01 正方形的判定定理理解 【例1】下列说法中，错误的是（     ） A．正方形的对角线互相平分 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．菱形的对角线互相垂直 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 考向02 添一个条件使四边形是正方形 【例2】如图，四边形的对角线，相交于点O，，，，则添加下列一个条件能判定四边形是正方形的是（     ） A． B． C． D． 考向03 证明四边形是正方形 【例3】下列说法： （1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （2）四条边都相等的四边形是菱形． （3）对角线互相垂直的平行四边形是正方形． （4）四个角都相等的四边形是矩形． 其中正确的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 考向04 根据正方形的性质与判定求角度 【例4】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的每一个顶点都在格点上． (1)求的度数； (2)仅用无刻度的直尺作出（不写作法），并求格点四边形的面积． 考向05 根据正方形的性质与判定求线段长 【例5】如图，四边形是一个矩形纸片，，．E是边上一点．将沿着翻折，A点的对应点为．在翻折的过程中，当是直角三角形时，的长为________． 考向06 根据正方形的性质与判定求面积 【例6】如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 考向07 根据正方形的性质与判定证明 【例7】四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以、为邻边作矩形，连接． (1)如图1，求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 考向08 中点四边形 【例8】如图，在四边形中，对角线，垂足为，点，，，分别为边，，，的中点．若，求四边形的面积． 考向09 （特殊）平行四边形的动点问题 【例9】已知，如图，在矩形中，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，其中为定点，、为动点，连接．当点从点移动到点的过程中，的面积（     ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．先增大，再减小 考向10 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 【例10】如图，菱形的对角线，长分别为3和8，是对角线上的任一点（点不与点，重合），且交于，交于点，则阴影部分的面积是________． 考向11 四边形中的线段最值问题 【例11】如图，在中，，点为边上异于的一点，以，为邻边作与交于点，则的长为___________，线段的最小值是___________． 考向12 四边形其他综合问题 【例12】如图，在四边形中，如果，，这样特殊的四边形称为“筝形”． (1)类似于平行四边形、矩形等特殊的四边形的定义，请你给“筝形”下一个定义； (2)根据你给出的定义，在我们所学过的特殊四边形中，有没有“筝形”？如果有，说明四边形的形状；如果没有，请说明理由； (3)类似于平行四边形、矩形等特殊的四边形的性质的探究过程，探究“筝形”性质，给出三条“筝形”的性质，并证明； (4)类似于特殊的四边形判定探究过程，给出除定义之外的一种“筝形”的判定方法，并证明这一判定． 【对点1】下列命题中，是真命题的是（     ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【对点2】在四边形中，，．添加下列条件，能使四边形为正方形的是（     ） A． B． C． D． 【对点3】小金在复习平行四边形章节时，整理出如下所示的思维导图，其中（1）、（2）、（3）、（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（     ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【对点4】如图1，将三个边长均为2的正方形卡片并排放在同一条直线上，现两侧卡片保持不动，把中间一张卡片抽出后，并按图2重新摆放．已知．    (1)__________°． (2)中间正方形卡片的中心到直线的距离是__________． 【对点5】动手操作是学习数学的一种好方法．如图，小华同学在一次折纸活动中，将一张纸（长宽比为）沿折叠，使点落在边上的点处，再沿折叠，使点落在边上的点处，则矩形的长与宽的比值为（     ） A． B．2 C． D． 【对点6】如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 【对点7】如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．若正方形的面积是4，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【对点8】如图，E、F、G、H分别是四边形四条边的中点，若，则四边形是_________（填特殊形状）． 【对点9】如图，在矩形纸片中，，，点，分别在边，上．将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上，记为点，点落在点处，连接交于点，连接．下列选项错误的是（    ） A．四边形是菱形 B．点与点重合时， C．面积的最小值是 D． 【对点10】如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【对点11】如图，在矩形中，，，，，，分别是，，，上的动点，且，，连接，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【对点12】已知正方形边长为1，对角线相交于点O，过点O作射线，分别交于点E，F，且． (1)如图1，当时，求证：四边形是正方形； (2)如图2，将射线绕着点O进行旋转． ①在旋转过程中，判断线段与的数量关系，并给出证明； ②四边形的面积为 ； (3)如图3，在四边形中，，连接．若，请直接写出四边形的面积． 一、选择题 1．课外活动时，黄老师让同学们做一个对角线互相垂直的矩形形状的风筝（如图），其面积为，则两条对角线所用的竹条长度为（不计损耗）（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，正方形的对角线和交于点，是边的中点，连接．若，则正方形的周长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，下列说法不正确的是（     ） A．四边形是平行四边形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若且，则四边形是正方形 4．如图，正方形的对角线，交于点，点又是正方形的一个顶点．若，则阴影部分的面积是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．在复习特殊四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．①填 B．②填 C．③填 D．④填 6．顺次连接四边形各边中点形成的四边形叫做中点四边形，有关中点四边形的描述如下： ①任意四边形的中点四边形一定是平行四边形； ②矩形的中点四边形一定是矩形； ③正方形的中点四边形一定是正方形； ④非正方形的中点四边形一定不是正方形． 其中所有正确推断的序号是（     ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 7．如图，正方形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点在直线上．将正方形沿轴正方向向右平移个单位长度后，点恰好落在直线上，则的值为（     ） A．5 B． C． D．2 8．定义：将顺次连接四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形．如果中点四边形是正方形，那么原四边形的两条对角线一定满足（     ） A．两条对角线互相平分且相等 B．两条对角线互相垂直且相等 C．两条对角线互相平分且垂直 D．两条对角线互相垂直且不等 9．中，，以的每条边为边按如图方向作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且点恰好是的中点．若图中阴影部分面积为3，则的长是（     ） A． B． C． D． 10．已知和按如图方式摆放，其中边，分别与边，交于点，，，．若，，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在正方形中，点在的延长线上，连接，，且，则的度数为__________． 12．如图，点是边长为的正方形对角线上的一点，于点，于点，则四边形的周长为________． 13．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形，，，的面积分别为，，，，则最大的正方形的面积为______． 14．如图，为正方形对角线上的一点，于点，于点，若正方形的周长为10，则四边形的周长为________． 15．如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形和正方形，连接并延长交于点，若，给出下面四个结论：①是的中点；②平分；③，④若，，则正方形的面积为．上述结论中，所有正确结论的序号是__________． 三、解答题 16．如图，正方形中，点，分别在，上，且．求证：四边形是平行四边形． 17．如图，的四个内角的平分线分别相交于点，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)下列三个条件：①；②；③对角线相等．从中选择一个条件_________，使四边形为正方形．（填写条件序号、不需要证明） 18．如图，已知，的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件____________，使四边形为正方形．（不需要说明理由） 19．【提出概念】对凸四边形我们不妨约定： 若四边形对角线垂直，该四边形叫做“垂对”四边形； 若四边形对角线相等，该四边形叫做“等对”四边形． 【概念理解】 (1)下列凸四边形中，一定是“垂对”四边形的是_________（写序号）：一定是“等对”四边形的是_________（写序号）． ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 【性质应用】 (2)如图①，在“垂对”四边形中，，，，“垂对”四边形的面积为15，点、、、分别为、、、各边的中点，求四边形的周长． 【拓展探究】 (3)如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形既是“垂对”四边形，又是“等对”四边形． 20．如图，点为正方形边上一动点，点为等边的边上一动点，且，． （1）当点与点重合时，的度数为____________； （2）当点在边上运动时，的最小值为____________． 设，则， 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $