第03讲 集合的基本运算讲义--2026年暑假预习新高一数学人教A版必修第一册

第03讲 集合的基本运算 目录 一、交并补集的概念及表示 1 1．并集 1 2．交集 1 3．补集 1 二、并集、交集的运算性质 2 题型1 并集的运算 3 题型2 交集的运算 3 题型3 由集合的并集、交集求参数 4 题型4 补集的运算 6 题型5 交、并、补集的混合运算 7 题型6 集合混合运算中的求参或集合 9 题型7 Venn图的应用 11 一、交并补集的概念及表示 1．并集 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作(读作“A并B") 2．交集 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集,记作 (读作“A交B") 注意：（1）两个集合的并集、交集还是一个集合． （2）对于，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． （3）是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．补集 （1）全集的定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 符号表示：全集通常记作. （2）补集的定义及性质 定义 文字语言 对于一个集合A,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对全集的补集﹐简称为集合的补集﹐记作 符号语言 图形语言 性质 （1）； （2）， 注意：（1）表示一个集合； （2）是的子集，即； （3）是中不属于的所有元素组成的集合． 二、并集、交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 题型1 并集的运算 1. 设A={1，2，4，8}，B={1，4，9}，求A∪B. 解　A∪B={1，2，4，8}∪{1，4，9}={1，2，4，8，9}. 2. 设集合A={x|0≤x<4}，集合B={x|1≤x<5}，求A∪B. 解　A∪B={x|0≤x<4}∪{x|1≤x<5}={x|0≤x<5}. 3. 已知集合A={-1，0，1}，则满足A∪B={-1，0，1，2，3}的集合B可能是(　　) A.{-1，2} B.{-1，0，1，3} C.{-1，0，1} D.{0，2，3} 答案　D 解析　{-1，0，1}∪{0，2，3}={-1，0，1，2，3}，故D符合题意. 4. 集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，解得，即， ，. 故选：C. 题型2 交集的运算 5. 设A={1，2，4，8}，B={1，4，9}，求A∩B. 解　A∩B={1，2，4，8}∩{1，4，9}={1，4}. 6. 设集合A={x|0≤x<4}，集合B={x|1≤x<5}，求A∩B 解　A∩B={x|0≤x<4}∩{x|1≤x<5}={x|1≤x<4}. 7. 设集合A={x|0≤x<4}，集合B={-1，0，1，2}，求A∩B. 解　A={x|0≤x<4}，B={-1，0，1，2}，则A∩B={0，1，2}. 8. 已知集合，，则 ． 【答案】 【详解】因为，， 所以.故答案为： 9. （多选）集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】CD 【详解】由图可知阴影部分表示出两集合的交集， 因为和，所以. 故选：CD 题型3 由集合的并集、交集求参数 10. 已知集合．若，则 ． 【答案】 【详解】当时，，此时不满足集合中元素的互异性，所以（舍）； 当时，可得（舍）， 此时，，满足条件，所以． 故答案为： 11. （多选）设集合，，若，则实数的取值可能为（    ） A．－3 B．0 C． D． 【答案】ABC 【详解】易知，∵，∴. 若，则； 若，则，即； 若，则，即. 故选：ABC. 12. 已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，，且， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 13. 已知集合A={x|x≤-1或x≥3}，B={x|a<x<4}，若A∪B=R，则实数a的取值范围是(　　) A.3≤a<4 B.-1<a<4 C.a≤-1 D.a<-1 答案　C 解析　利用数轴，若A∪B=R，则a≤-1. 14. 已知集合A={x|x≤-1或x≥3}，B={x|a<x<4}，若A∪B=A，求实数a的取值范围. 解　由A∪B=A，得B⊆A， 当B=∅时，有a≥4，满足题意； 当B≠∅时，有即3≤a<4， 综上，实数a的取值范围为{a|a≥3}. 15. 已知集合A={x|x≤-1或x≥3}，B={x|a<x≤4-a}，若A∩B=∅，求实数a的取值范围. 解　①当B=∅时，有a≥4-a，即a≥2，满足题意； ②当B≠∅时，有即1<a<2， 综上，实数a的取值范围为{a|a>1}. 16. 设集合，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， ， 所以.故选：C 17. 设全集，集合，． (1)求； (2)若集合，满足，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，, 所以. （2）解不等式得，则, 因为，则, 可知，解得, 故实数a的取值范围为. 题型4 补集的运算 18. 设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求∁UA，∁UB. 解　根据题意可知，U={1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁UA={4，5，6，7，8}，∁UB={1，2，7，8}. 19. 已知A=R，B={x|0<x≤5}，求∁AB. 解　由题意可知∁AB={x|x≤0或x>5}. 20. 已知A={x|0≤x<9}，B={x|0<x≤5}，求∁AB. 解　由题意可知∁AB={x|x=0或5<x<9}. 21. 若集合A={x|-1≤x<1}，当U={x|x≤2}时，∁UA=　　　　，当U={x|-4≤x≤1}时，∁UA=　　　　. 答案　{x|x<-1或1≤x≤2}　{x|-4≤x<-1或x=1} 解析　当U={x|x≤2}时，把集合U和A表示在数轴上，如图所示. 由图知∁UA={x|x<-1或1≤x≤2}. 当U={x|-4≤x≤1}时，把集合U和A表示在数轴上，如图所示. 由图知∁UA={x|-4≤x<-1或x=1}. 22. 已知全集，集合或，则 . 【答案】或 【详解】在数轴上表示出全集,集合, 根据补集的概念可知或. 故答案为：或. 题型5 交、并、补集的混合运算 23. 已知A=R，B={x|0<x≤5}，C={x|-1≤x<3}”，求： (1)(∁AB)∩(∁AC)； (2)∁A(B∪C)； (3)∁A(B∩C)； (4)(∁AB)∪(∁AC). 解　由数轴(图略)可得 ∁AB={x|x≤0或x>5}，∁AC={x|x<-1或x≥3}， B∪C={x|-1≤x≤5}，B∩C={x|0<x<3}. (1)(∁AB)∩(∁AC)={x|x<-1或x>5}. (2)∁A(B∪C)={x|x<-1或x>5}. (3)∁A(B∩C)={x|x≤0或x≥3}. (4)(∁AB)∪(∁AC)={x|x≤0或x≥3}. 24. （多选）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】，，选项错误； ，选项B错误； ，选项正确； ，选项D正确. 故选：CD 25. (2023·全国乙卷)设集合U=R，集合M={x|x<1}，N={x|-1<x<2}，则{x|x≥2}等于(　　) A.∁U(M∪N) B.N∪∁UM C.∁U(M∩N) D.M∪∁UN 答案　A 解析　由题意可得M∪N={x|x<2}，则∁U(M∪N)={x|x≥2}，故A正确； ∁UM={x|x≥1}，则N∪∁UM={x|x>-1}，故B错误； M∩N={x|-1<x<1}，则∁U(M∩N)={x|x≤-1或x≥1}，故C错误； ∁UN={x|x≤-1或x≥2}，则M∪∁UN={x|x<1或x≥2}，故D错误. 26. 已知集合，则 . 【答案】 【详解】由题意，或， 因此. 故答案为：. 题型6 集合混合运算中的求参或集合 27. 已知集合，，若．则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】1∈B1是的根m＝3， ， ∴{0，1，2，3}， 故选：D﹒ 28. 已知全集U=R，集合A={x|x≤-2或x≥3}，B={x|2m+1<x<m+7}，若(∁UA)∩B=B，求实数m的取值范围. 解　因为A={x|x≤-2或x≥3}，所以∁UA={x|-2<x<3}， 因为(∁UA)∩B=B，所以B⊆(∁UA). ①当B=∅时，即2m+1≥m+7， 所以m≥6，满足(∁UA)∩B=B. ②当B≠∅时，则无解. 故实数m的取值范围是{m|m≥6}. 29. 已知全集U=R，集合A={x|x≤-2或x≥3}，B={x|2m+1<x<m+7}，若(∁UA)∪B=B，则实数m的取值范围为　　　　　　　　. 答案　 解析　因为(∁UA)∪B=B，所以(∁UA)⊆B， 所以解得-4≤m≤- 故实数m的取值范围为. 30. 已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】由，得到 分两种情况考虑： ①当，即时，，符合题意； ②当，即时，需， 解得：，综上得：，则实数的取值范围为. 故选：A 31. 已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）时，知： 当时，得； 当时，或， 解得； 综上，∴的取值范围为； （2）因为，所以，所以， 当时，得； 当时，解得； 综上可得，即m的取值范围是； 32. 已知集合，集合，. (1)当时，求：①；②； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）当时，集合，且，， 所以或， 则，. （2）因为，又， ， 当集合时，有：，解得：； 当集合时，有：或， 解得：或， 综上所述：实数的取值范围为：. 题型7 Venn图的应用 33. 设全集U是实数集R，M={x|x<-2或x>2}，N={x|1≤x≤3}，如图，则阴影部分所表示的集合为(　　) A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x<3} C.{x|x≤2或x>3} D.{x|-2≤x≤2} 答案　A 解析　由题图可知，阴影部分表示的集合为∁U(M∪N)， ∵M∪N={x|x<-2或x≥1}，∴∁U(M∪N)={x|-2≤x<1}. 34. 已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】观察韦恩图知，阴影部分在集合A中，不在集合B中，所以所求集合为. 故选：A 35. 已知全集U=R，集合A={x|x<-1或x>4}，B={x|-2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为(　　) A.{x|-2≤x<4} B.{x|x≤3或x≥4} C.{x|-2≤x≤-1} D.{x|-1≤x≤3} 答案　D 解析　由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁UA)∩B={x|-1≤x≤4}∩{x|-2≤x≤3}={x|-1≤x≤3}. 36. 某校高一年级有1200人，现有两种课外实践活动供学生选择，要求每个同学至少选择一种参加.统计调查得知，选择其中一项活动的人数占总数的60%到65%，选择另一项活动的人数占50%到55%，则下列说法正确的是（    ） A．同时选择两项参加的人数可能有100人 B．同时选择两项参加的人数可能有180人 C．同时选择两项参加的人数可能有260人 D．同时选择两项参加的人数可能有320人 【答案】B 【详解】根据题意，，， 则同时选A，B的人数在到之间，换算成人数为，即120到240之间，因此符合题意的选项只有B． 故选：B. 37. （多选）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】ABD 【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}， {是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人， 只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人. 故选：ABD 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 集合的基本运算 目录 一、交并补集的概念及表示 1 1．并集 1 2．交集 1 3．补集 1 二、并集、交集的运算性质 2 题型1 并集的运算 3 题型2 交集的运算 3 题型3 由集合的并集、交集求参数 4 题型4 补集的运算 6 题型5 交、并、补集的混合运算 7 题型6 集合混合运算中的求参或集合 9 题型7 Venn图的应用 11 一、交并补集的概念及表示 1．并集 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作(读作“A并B") 2．交集 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集,记作 (读作“A交B") 注意：（1）两个集合的并集、交集还是一个集合． （2）对于，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． （3）是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．补集 （1）全集的定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 符号表示：全集通常记作. （2）补集的定义及性质 定义 文字语言 对于一个集合A,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对全集的补集﹐简称为集合的补集﹐记作 符号语言 图形语言 性质 （1）； （2）， 注意：（1）表示一个集合； （2）是的子集，即； （3）是中不属于的所有元素组成的集合． 二、并集、交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 题型1 并集的运算 1. 设A={1，2，4，8}，B={1，4，9}，求A∪B. 2. 设集合A={x|0≤x<4}，集合B={x|1≤x<5}，求A∪B. 3. 已知集合A={-1，0，1}，则满足A∪B={-1，0，1，2，3}的集合B可能是(　　) A.{-1，2} B.{-1，0，1，3} C.{-1，0，1} D.{0，2，3} 4. 集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 题型2 交集的运算 5. 设A={1，2，4，8}，B={1，4，9}，求A∩B. 6. 设集合A={x|0≤x<4}，集合B={x|1≤x<5}，求A∩B 7. 设集合A={x|0≤x<4}，集合B={-1，0，1，2}，求A∩B. 8. 已知集合，，则 ． 9. （多选）集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有（    ） A． B．0 C．1 D．3 题型3 由集合的并集、交集求参数 10. 已知集合．若，则 ． 11. （多选）设集合，，若，则实数的取值可能为（    ） A．－3 B．0 C． D． 12. 已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 13. 已知集合A={x|x≤-1或x≥3}，B={x|a<x<4}，若A∪B=R，则实数a的取值范围是(　　) A.3≤a<4 B.-1<a<4 C.a≤-1 D.a<-1 14. 已知集合A={x|x≤-1或x≥3}，B={x|a<x<4}，若A∪B=A，求实数a的取值范围. 15. 已知集合A={x|x≤-1或x≥3}，B={x|a<x≤4-a}，若A∩B=∅，求实数a的取值范围. 16. 设集合，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17. 设全集，集合，． (1)求； (2)若集合，满足，求实数的取值范围． 题型4 补集的运算 18. 设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求∁UA，∁UB. 19. 已知A=R，B={x|0<x≤5}，求∁AB. 20. 已知A={x|0≤x<9}，B={x|0<x≤5}，求∁AB. 21. 若集合A={x|-1≤x<1}，当U={x|x≤2}时，∁UA=　　　　，当U={x|-4≤x≤1}时，∁UA=　　　　. 22. 已知全集，集合或，则 . 题型5 交、并、补集的混合运算 23. 已知A=R，B={x|0<x≤5}，C={x|-1≤x<3}”，求： (1)(∁AB)∩(∁AC)； (2)∁A(B∪C)； (3)∁A(B∩C)； (4)(∁AB)∪(∁AC). 24. （多选）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 25. (2023·全国乙卷)设集合U=R，集合M={x|x<1}，N={x|-1<x<2}，则{x|x≥2}等于(　　) A.∁U(M∪N) B.N∪∁UM C.∁U(M∩N) D.M∪∁UN 26. 已知集合，则 . 题型6 集合混合运算中的求参或集合 27. 已知集合，，若．则(    ) A． B． C． D． 28. 已知全集U=R，集合A={x|x≤-2或x≥3}，B={x|2m+1<x<m+7}，若(∁UA)∩B=B，求实数m的取值范围. 29. 已知全集U=R，集合A={x|x≤-2或x≥3}，B={x|2m+1<x<m+7}，若(∁UA)∪B=B，则实数m的取值范围为　　　　　　　　. 30. 已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 31. 已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 32. 已知集合，集合，. (1)当时，求：①；②； (2)若，求实数的取值范围. 题型7 Venn图的应用 33. 设全集U是实数集R，M={x|x<-2或x>2}，N={x|1≤x≤3}，如图，则阴影部分所表示的集合为(　　) A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x<3} C.{x|x≤2或x>3} D.{x|-2≤x≤2} 34. 已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 35. 已知全集U=R，集合A={x|x<-1或x>4}，B={x|-2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为(　　) A.{x|-2≤x<4} B.{x|x≤3或x≥4} C.{x|-2≤x≤-1} D.{x|-1≤x≤3} 36. 某校高一年级有1200人，现有两种课外实践活动供学生选择，要求每个同学至少选择一种参加.统计调查得知，选择其中一项活动的人数占总数的60%到65%，选择另一项活动的人数占50%到55%，则下列说法正确的是（    ） A．同时选择两项参加的人数可能有100人 B．同时选择两项参加的人数可能有180人 C．同时选择两项参加的人数可能有260人 D．同时选择两项参加的人数可能有320人 37. （多选）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 2 学科网（北京）股份有限公司 $