第03讲 集合的基本运算（十一大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

第03讲 集合的基本运算（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 并集、交集与补集 我们知道，实数有加、减、乘、除等运算.集合是否也有类似的运算呢? 【知识点1 并集】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 【知识点2 交集】 1．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 2．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 【知识点3 补集与全集】 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 3．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【题型1 并集的概念及运算】 【例1】（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·云南楚雄·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·湖南岳阳·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知集合，集合，则的元素个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【题型2 根据并集结果求集合或参数】 【例2】（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知集合，，若，则的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·陕西渭南·期中）设集合，则满足的集合的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-2】（24-25高一上·重庆万州·期中）已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知集合或，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 交集的概念及运算】 【例3】（24-25高一上·广东广州·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·宁夏固原·阶段检测）已知集合，，则的元素个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-2】（25-26高一上·广西贺州·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型4 根据交集结果求集合或参数】 【例4】（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·浙江丽水·一模）已知集合，且的元素个数是一个，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·河北秦皇岛·期中）设集合 若，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·山东济南·开学考试）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型5 补集的概念及运算】 【例5】（25-26高一上·山东济南·期中）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·山东济南·期中）若全集，集合，则＝（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知全集，集合，则中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【题型6 根据补集运算确定集合或参数】 【例6】（25-26高一上·湖北黄石·阶段检测）全集，，，则a的值为（    ） A．2 B．8 C．3或5 D．2或8 【变式6-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】（24-25高三上·辽宁·阶段检测）设全集，集合，则的值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．9 【变式6-3】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，若，则（    ） A．2 B． C． D．1 【题型7 交、并、补集的混合运算】 【例7】（25-26高一上·天津武清·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·天津武清·阶段检测）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·福建福州·期中）已知全集，集合. (1)求； (2)求. 【变式7-3】（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 【题型8 集合混合运算中的求参问题】 【例8】（24-25高一上·广东佛山·阶段检测）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一上·北京·阶段检测）已知，且，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 【变式8-2】（25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合或． (1)当时，求 (2)若，求的取值范围． 【变式8-3】（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 模块三 Venn图表达集合的关系和运算 【知识点4 Venn图表达集合的关系和运算】 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 【题型9 Venn图表达集合的关系和运算】 【例9】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高一上·湖北武汉·期中）若全集，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26高一上·江苏苏州·期中）如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 【题型10 容斥原理的应用】 【例10】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【变式10-1】（25-26高一上·江苏宿迁·期中）高一（1）班45名同学中有10人参加了物理兴趣小组，14人参加了化学兴趣小组.已知都未参加的有25人，则同时参加的人数为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【变式10-2】（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【变式10-3】（25-26高一上·甘肃白银·期中）某班50名学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社，其中参加机器人社的有30人，参加编程社的有20人，参加航模社的有30人，同时机器人社和编程社的有10人，同时参加机器人社和航模社的有15人，同时参加编程社和航模社的有13人，则三个科创社团都参加的学生人数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【题型11 集合运算中的新定义问题】 【例11】（24-25高一上·河南平顶山·阶段检测）定义集合运算：.若集合， ，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）设、是非空集合，定义且，若，，则等于（   ） A．，或 B．，或 C． D． 【变式11-2】（24-25高一上·江西上饶·阶段检测）已知集合，，定义运算，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则符合要求的集合M有6个 D．中所有元素之和为15. 【变式11-3】（24-25高一上·安徽铜陵·期末）对于非空集合U，记．若集合，且满足如下两个条件：①对任意的，有；②对任意的，有．则称集合A为集合U的一个“完美子集类”． (1)若集合，试写出集合U的所有“完美子集类”； (2)已知A是集合U的一个“完美子集类”，证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）对任意的，有． 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·四川成都·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖北·期末）已知集合，若，则集合（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河南郑州·期中）已知集合，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 4．（25-26高一上·云南昭通·期末）如图，全集，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26高三上·安徽六安·期末）已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏·期末）已知集合，，则集合的真子集个数为（   ） A．16 B．15 C．8 D．7 7．（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知集合 ，.若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 8．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）“量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、多选题 9．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）已知集合，，，则下面结论正确的有（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·江苏徐州·期中）对于集合A，B，我们把集合且记作；把集合记作.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知全集，集合，则_________． 13．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，，则_________. 14．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 四、解答题 15．（25-26高一上·山东济南·期中）已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 16．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 17．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 18．（25-26高一上·重庆永川·阶段检测）已知，.    (1)求和； (2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出. 19．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）设，或，若 (1)，求的取值范围； (2)，求的取值范围； (3)，求的取值范围. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 集合的基本运算（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 并集、交集与补集 我们知道，实数有加、减、乘、除等运算.集合是否也有类似的运算呢? 【知识点1 并集】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 【知识点2 交集】 1．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 2．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 【知识点3 补集与全集】 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 3．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【题型1 并集的概念及运算】 【例1】（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题，再求集合并集运算即可. 【解答过程】因为，， 所以 故选：D. 【变式1-1】（25-26高一上·云南楚雄·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由集合的并集运算进行求解． 【解答过程】因为， 所以 ， 故选：D. 【变式1-2】（25-26高一上·湖南岳阳·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】直接根据集合的并集运算求解即可． 【解答过程】由题意可知，又， 所以． 故选：D． 【变式1-3】（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知集合，集合，则的元素个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解题思路】由题可求得，再根据并集的定义求解即可. 【解答过程】由题可知，，故，共有6个元素， 故选：C. 【题型2 根据并集结果求集合或参数】 【例2】（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知集合，，若，则的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由题设得到，接着分和求出B，结合分析求解即可. 【解答过程】因为，所以， 当时，，满足； 当时，，则或，解得或， 综上所述，a的所有取值构成的集合为. 故选：D. 【变式2-1】（25-26高一上·陕西渭南·期中）设集合，则满足的集合的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解题思路】根据并集的概念求得满足条件的集合即可． 【解答过程】集合，， 满足条件的集合有：，共4个． 故选：A． 【变式2-2】（24-25高一上·重庆万州·期中）已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由并集的定义可知得到，讨论集合是否为空集，得到对应的参数的范围，再求并集得到结果. 【解答过程】因为，所以. 若，则，即； 若，则解得. 综上所述，的取值范围是. 故选：B. 【变式2-3】（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知集合或，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据并集运算结果转化为包含关系，列出不等式求解. 【解答过程】因为， 所以，又， 所以，解得， 故选：C. 【题型3 交集的概念及运算】 【例3】（24-25高一上·广东广州·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意结合交集运算求解即可． 【解答过程】因为集合， 所以 故选：A． 【变式3-1】（25-26高一上·宁夏固原·阶段检测）已知集合，，则的元素个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】利用交集的运算求解. 【解答过程】，，， 的元素个数是. 故选：B. 【变式3-2】（25-26高一上·广西贺州·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据交集的定义求解即可. 【解答过程】因为集合，， 所以. 故选：C. 【变式3-3】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据题意，求得，结合子集个数的计算方法，即可求解. 【解答过程】由集合，可得， 所以集合的子集的个数为. 故选：B. 【题型4 根据交集结果求集合或参数】 【例4】（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，得到，得出，即可求得实数的取值范围. 【解答过程】由集合， 因为，可得，则满足，解得， 即实数的取值范围. 故选：B. 【变式4-1】（2025·浙江丽水·一模）已知集合，且的元素个数是一个，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用元素与集合的关系求解即可. 【解答过程】由的元素个数是一个，且，得，则， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高一上·河北秦皇岛·期中）设集合 若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】代入，解出或，再分类讨论. 【解答过程】因为，则，解得或， 当时，，此时，满足题意； 当时，，此时，不合题意，舍去. 故. 故选：A. 【变式4-3】（25-26高一上·山东济南·开学考试）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】依题意可知，再对集合是否为空集进行分类讨论，解不等式可得结果. 【解答过程】由可知， 当时，可得，即，满足题意； 当时，可得，解得; 综上可知，实数的取值范围是. 故选：C. 【题型5 补集的概念及运算】 【例5】（25-26高一上·山东济南·期中）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据补集的定义即可得解. 【解答过程】已知全集，集合，则， 故选：B. 【变式5-1】（25-26高一上·山东济南·期中）若全集，集合，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用补集的意义可求解. 【解答过程】因为全集，集合，所以. 故选：A. 【变式5-2】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知全集，集合，则中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据补集的运算和整数集的概念求解出结果． 【解答过程】因为，则，所以中的元素个数为个． 故选：C． 【变式5-3】（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意结合集合的补集运算求解即可. 【解答过程】因为全集， 所以. 故选：D. 【题型6 根据补集运算确定集合或参数】 【例6】（25-26高一上·湖北黄石·阶段检测）全集，，，则a的值为（    ） A．2 B．8 C．3或5 D．2或8 【答案】D 【解题思路】由补集的概念即可得出. 【解答过程】∵全集，，， ∴，得或． 故选：D． 【变式6-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据补集的定义，由求解. 【解答过程】解：因为集合，且， 所以，即，解得或， 当时，，符合题意； 当时，与互异性矛盾， 所以2， 故选：B. 【变式6-2】（24-25高三上·辽宁·阶段检测）设全集，集合，则的值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【解题思路】根据补集运算以及集合相等解方程可得结果. 【解答过程】由以及可得； 即，所以，解得. 故选：A. 【变式6-3】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，若，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】由，可得，，故，从而求出的值即可. 【解答过程】由可得，，故， ，解得， 故选：C. 【题型7 交、并、补集的混合运算】 【例7】（25-26高一上·天津武清·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据集合的运算即可求解. 【解答过程】因为，所以， 所以. 故选：B. 【变式7-1】（25-26高一上·天津武清·阶段检测）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据集合的补集、交集的定义进行运算即可. 【解答过程】因为全集，集合， 所以. 又，则. 故选：A. 【变式7-2】（25-26高一上·福建福州·期中）已知全集，集合. (1)求； (2)求. 【答案】(1)或 (2)或 【解题思路】（1）根据题意，求得集合或，结合集合交集的定义即可求出. （2）由（1）求得，根据集合并集的运算，即可求解. 【解答过程】（1）由不等式，可得，解得或， 所以集合或， 又由集合，所以或. （2）由（1）可得集合或， ， 所以或. 【变式7-3】（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】根据集合的交并补的定义分别计算各小题即可. 【解答过程】（1）因为，， 所以. （2）因为，，所以或， 所以或. （3）因为，，所以或， 所以. 【题型8 集合混合运算中的求参问题】 【例8】（24-25高一上·广东佛山·阶段检测）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，求得或，结合，即可求解. 【解答过程】由集合，，可得或， 因为，则满足. 故选：A. 【变式8-1】（24-25高一上·北京·阶段检测）已知，且，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【解题思路】利用条件，得到，从而求出，进而求出集合，得到，即可求出结果. 【解答过程】因为，，所以，得到， 当时，由，解得或，所以， 故，得到，所以， 故选：C. 【变式8-2】（25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合或． (1)当时，求 (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据交集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【解答过程】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即a的取值范围为． 【变式8-3】（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）计算集合，根据集合交集并集定义计算即可； （2）由可得，分和两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）当时，， 所以，； （2）由题意，得或， 因为，所以， ①当时，，满足； ②当时，， 所以， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 模块三 Venn图表达集合的关系和运算 【知识点4 Venn图表达集合的关系和运算】 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 【题型9 Venn图表达集合的关系和运算】 【例9】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求得全集，利用补集与交集的意义求得即可. 【解答过程】，，， 由图可知阴影部分所表示的集合为. 故选：B. 【变式9-1】（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，求得和，结合补集的运算，即可求得阴影部分表示的集合. 【解答过程】由全集，集合， 可得，所以阴影部分表示的集合为. 故选：C. 【变式9-2】（25-26高一上·湖北武汉·期中）若全集，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由图阴影部分表示在中，且在集合的补集中,即可求解. 【解答过程】由图阴影部分表示在中，且在集合的补集中， 即， 故选：C. 【变式9-3】（25-26高一上·江苏苏州·期中）如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意可得阴影部分为，再进行求解即可. 【解答过程】由图可得阴影部分可表示为. 故选：D. 【题型10 容斥原理的应用】 【例10】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【答案】A 【解题思路】根据选择三类项目的人数，得出选择两类项目和一类项目的人数，求和可得答案. 【解答过程】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择和两个项目的同学有4人， 只选择和两个项目的同学有2人，只选择和两个项目的同学有1人， 只选择一个项目的同学有17人，只选择一个项目的同学有13人，只选择一个项目的同学有13人，如图， 所以班级人数为：. 故选：A. 【变式10-1】（25-26高一上·江苏宿迁·期中）高一（1）班45名同学中有10人参加了物理兴趣小组，14人参加了化学兴趣小组.已知都未参加的有25人，则同时参加的人数为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】B 【解题思路】根据容斥原理求解. 【解答过程】设同时参加的人数有人， 则由容斥原理可得：， 解得， 故选：B. 【变式10-2】（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解. 【解答过程】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，    在相应的位置填上数字，则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人. 故选：C. 【变式10-3】（25-26高一上·甘肃白银·期中）某班50名学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社，其中参加机器人社的有30人，参加编程社的有20人，参加航模社的有30人，同时机器人社和编程社的有10人，同时参加机器人社和航模社的有15人，同时参加编程社和航模社的有13人，则三个科创社团都参加的学生人数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【解题思路】根据容斥原理进行求解即可. 【解答过程】设参加机器人社、编程社、航模社的学生集合分别为，三个社团都参加的人数为， 则根据容斥原理可得 ， 所以，解得. 故选：A. 【题型11 集合运算中的新定义问题】 【例11】（24-25高一上·河南平顶山·阶段检测）定义集合运算：.若集合， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出后可求得，故可得正确的选项 【解答过程】由题设可得，， 因为，，，， 故， 故选：D. 【变式11-1】（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）设、是非空集合，定义且，若，，则等于（   ） A．，或 B．，或 C． D． 【答案】A 【解题思路】解出集合，利用交集和并集的定义得出集合和，然后利用题中的定义可得出集合. 【解答过程】解不等式，即，解得，则集合. 所以，根据集合的定义可得或. 故选：A. 【变式11-2】（24-25高一上·江西上饶·阶段检测）已知集合，，定义运算，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则符合要求的集合M有6个 D．中所有元素之和为15. 【答案】C 【解题思路】根据题意可得，进而可判断AD；根据补集和并集运算判断B；对于C：分析可知，进而列举求解. 【解答过程】由已知条件可得. 对于选项A：显然，故A错误； 对于选项B：因为，则， 所以，故B错误； 对于选项C：若，即， 则满足条件的集合M有：、、、、、，共6个，故C正确； 对于选项D：中所有元素之和为，故D错误. 故选：C. 【变式11-3】（24-25高一上·安徽铜陵·期末）对于非空集合U，记．若集合，且满足如下两个条件：①对任意的，有；②对任意的，有．则称集合A为集合U的一个“完美子集类”． (1)若集合，试写出集合U的所有“完美子集类”； (2)已知A是集合U的一个“完美子集类”，证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）对任意的，有． 【答案】(1)答案见解析 (2)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析 【解题思路】（1）根据“完美子集类”的定义，写出集合U的所有“完美子集类”即可； （2）（i）由A是U的“完美子集类”，可知对于任意的，从而，即可证得；（ii）由A是U的“完美子集类”及“完美子集类”得定义可得，则，通过证明，即可得证. 【解答过程】（1）集合U的“完美子集类”有: ,, ,,. （2）（i）因为A是U的“完美子集类”，所以对于任意的， 从而， 所以. （ii）因为A是U的“完美子集类”，所以对于任意的，， 从而，                      下证：， 一方面，且或， 即； 另一方面，， 或且，即， 故. 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·四川成都·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】解得集合，再求交集即可． 【解答过程】因为，， 所以． 故选：D． 2．（25-26高一上·湖北·期末）已知集合，若，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出，再根据补集定义计算求解. 【解答过程】集合，又， 则集合. 故选：A. 3．（25-26高三上·河南郑州·期中）已知集合，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解题思路】根据题意得到，讨论和，解方程并验证得到答案． 【解答过程】若，则，故或. 当时，，此时，集合A不满足元素的互异性，舍去； 当时，或， 时，，集合A不满足元素的互异性，舍去； 时，，满足条件． 综上所述：． 故选：C． 4．（25-26高一上·云南昭通·期末）如图，全集，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】图中阴影部分表示，再根据交集和补集的定义计算即可得出答案. 【解答过程】全集， 可得，又图中阴影部分表示， 故选：C． 5．（25-26高三上·安徽六安·期末）已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据集合的基本运算进行求解. 【解答过程】因为， 所以或， 所以 ， 故选：B. 6．（25-26高一上·江苏·期末）已知集合，，则集合的真子集个数为（   ） A．16 B．15 C．8 D．7 【答案】D 【解题思路】根据交集的运算求出，再根据真子集的概念即可求解. 【解答过程】因为，， 所以， 所以集合的真子集个数为. 故选：D. 7．（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知集合 ，.若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解题思路】首先确定集合的补集，然后根据求出的范围. 【解答过程】因为集合， 所以. 因为集合，， 当不为空集时， 所以，解得. 当为空集时，，解得. 综上，的取值范围为. 故选：A. 8．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）“量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解题思路】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器” 的同学构成集合，关注了“紫东太初3.0” 的同学构成集合，利用韦恩图求解. 【解答过程】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器” 的同学构成集合， 关注了“紫东太初3.0” 的同学构成集合， 由题可得，，，，，， 如图，可得 ， ，即得， 所以只关注了“紫东太初3.0”的人数为. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解题思路】根据集合的子集，补集，交集，并集的意义逐项判断即可. 【解答过程】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，则，故B错误； 对于C，若，则，则，故C正确； 对于D，若，又，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 10．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）已知集合，，，则下面结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】根据交集，并集，补集的定义即可求解. 【解答过程】由题意，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：BD. 11．（25-26高一上·江苏徐州·期中）对于集合A，B，我们把集合且记作；把集合记作.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】根据和的定义，逐项判断. 【解答过程】因为集合且记作， 且集合，， 所以，A正确； 又，则，B错误； 因为， 又，所以，C正确； 因为，， 所以，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知全集，集合，则_________． 【答案】 【解题思路】根据补集的运算即可得出答案. 【解答过程】全集，集合，则， 故答案为：. 13．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，，则_________. 【答案】 【解题思路】先计算集合，结合交集的定义得到结果； 【解答过程】因为，， 则 ， 故答案为：. 14．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【解题思路】根据题意，先求或，再结合题意，分和讨论求解即可． 【解答过程】或， 又， 所以①当，，解得； ②当，，解得； 综上，时，实数m的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题 15．（25-26高一上·山东济南·期中）已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由交集的定义即可得解； （2）由补集的定义即可得解； （3）由补集与并集的定义即可得解. 【解答过程】（1），，. （2），. （3），. 又因为，所以. 16．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据条件，利用集合的运算得，即可求解； （2）分和两种情况，结合条件，利用集合的运算，即可求解. 【解答过程】（1）因，或， 又，则，解得， 所以的取值范围为. （2）因为， 当，即时，，满足， 当时，由，得到，解得，所以， 综上所述，的取值范围为. 17．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据并集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【解答过程】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 18．（25-26高一上·重庆永川·阶段检测）已知，.    (1)求和； (2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出. 【答案】(1)， (2)阴影涂黑见解析过程， 【解题思路】（1）根据集合交集、补集、并集的定义进行求解即可； （2）根据集合的描述性质，结合集合交集和补集的定义进行求解即可. 【解答过程】（1）因为，， 所以，或，， 因此， . （2）因为且， 所以“集合”的部分用阴影涂黑如下图所示：    . 19．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）设，或，若 (1)，求的取值范围； (2)，求的取值范围； (3)，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）根据交集的结果可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围； （2）由题意可得，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （3）求出集合，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，即可得出实数的取值范围. 【解答过程】（1）因为，或，且， 所以，解得， 因此实数的取值范围是. （2）因为，则，所以或，解得或， 因此实数的取值范围是或. （3）由题意可得， 因为，则，所以，解得， 因此实数的取值范围是. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $