1.4.2 充要条件（知识点+5题型+过关检测）讲义-2025-2026学年新高一暑假数学自学课

1.4.2 充要条件 模块一 筑·知能要点 一、充要条件 1.如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作 p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件. 2.条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且q⇏p 充分不必要条件 q⇒p，且p⇏q 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 p⇏q，且q⇏p 既不充分也不必要条件 注意点： (1)充要条件的判断步骤：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件. (2)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价. 3.判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法. (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 二、充要条件的证明 充要条件证明的思路 证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性. 模块二 破·题型攻坚 一、题型一 充分不必要条件的判断 1．已知实数a，b，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由且，根据不等式性质可得， 反之，取满足，此时和不成立， 故“且”是“”的充分不必要条件. 2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据分式不等式解法解得不等式解集，再根据充分必要条件的定义判断即可. 【详解】因， 即，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式，根据集合的包含关系和充分性、必要性的概念求解即可. 【详解】由可得，解得， 由解得或， 因为集合是集合的真子集， 即由可推出或，由或，推不出， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选：A 4．已知均为实数，则“”是“或”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【分析】结合不等式的性质，分别判断充分性与必要性即可. 【详解】时，假设“或”不成立，即有且， 当且时，，这与已知条件矛盾， 所以假设不成立，即由“” 可以推出“或”，充分性成立； 当时，满足或（这里成立）， 但，不满足， 所以由“或”不能推出“”，必要性不成立. 则“”是“或”的充分不必要条件. 故选：A 5．已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及集合的包含关系即可求解. 【详解】当时，，满足，充分性成立； 当时，或，必要性不成立，即“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 二、题型二 必要不充分条件的判断 6．设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由解出，的两种关系，再用充分、必要条件的定义进行判断. 【详解】由，，，可得，或，.则可知“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7．已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】举例说明由不能推出，再证明由可推出，结合充分条件和必要条件的定义确定结论. 【详解】取，，可得，但，故由不能推出． 由于，所以和均不为0，所以可以推断． 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：C 8．“成立”是“成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】首先求解绝对值不等式与分式不等式，然后再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，解得：；由，解得：. 由于“”推不出“” 但“”可以推出“” 因此可得：“成立”是“成立”的必要不充分条件. 故选：B 9．设、是两个非空集合，则“”是“”的_____条件（“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”）. 【答案】必要非充分 【分析】由可得，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由可得， 故由推不出，即充分性不成立； 由推得，即必要性成立； 所以“”是“”的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分 10．下列各题中，是的什么条件？是的什么条件？ (1)，：抛物线过原点； (2)且，且； (3)，. 【答案】(1)是的充要条件，是的充要条件. (2)是的充分不必要条件，是的必要不充分条件. (3)是的充分不必要条件，是的必要不充分条件. 【分析】（1）根据题意，结合抛物线的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解； （2）根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解； （3）根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】（1）解：当时，抛物线过原点，所以充分性成立； 反之：若抛物线过原点，可得，所以必要性成立， 所以是的充要条件，是的充要条件. （2）解：且，可得且，所以充分性成立； 反之：若且，则且不一定成立，所以必要性不成立； 所以是的充分不必要条件，是的必要不充分条件. （3）解：若，可得，所以充分性成立； 反之：若，可得，则 不一定成立，所以必要性不成立， 所以是的充分不必要条件，是的必要不充分条件. 三、题型三 充要条件的判断 11．下列命题中是的充要条件的是（    ） A．，：方程有实根 B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由充要条件的概念逐项判断即可. 【详解】若方程有实根，则，即或，因此不是的充要条件，A错误； 不一定可以得到，所以不是的充要条件，B错误； 若，则，若，则，故充分性不成立，C错误； 根据集合间的关系可得，D正确． 故选：D 12．若，则成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合充要条件的概念列出不等式即可. 【详解】充分性：因为当时，，所以成立的充分条件为，充分性成立； 必要性：若，当时，成立，必要性成立． 故若，则成立的充要条件是． 故选：B 13．（多选）如图所示的电路中，“开关闭合”是“灯泡亮”的充要条件的电路图是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据充要条件的定义判断. 【详解】对于A，开关与另一个开关是并联电路，灯泡亮，不一定闭合，判断A错误； 对于B，开关与灯泡是串联电路，当灯泡亮，一定闭合，当开关闭合，灯泡亮，故B正确； 对于C，开关与灯泡以及另一个开关三者串联，当开关闭合时，灯泡不一定亮，故C错误； 对于D，开关与灯泡是串联，当开关闭合时，灯泡亮，当灯泡亮时，开关闭合，故D正确. 故选：BD. 14．一元二次方程有两个异号实根的充要条件是______. 【答案】 【分析】首先写成充要条件，再证明即可. 【详解】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为： 15．设都是非零实数，不等式和同时成立的充要条件是_________ 【答案】 【分析】利用作差法，结合充分、必要条件分析说明即可. 【详解】因为， 若和，则，， 可得，即； 若，则且； 所以不等式和同时成立的充要条件是. 故答案为：. 四、题型四 根据充分性和必要性求参数 16．已知：，那么的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分不必要条件的定义，分析即可得答案. 【详解】要求命题的一个充分不必要条件， 只需要的真子集即可， 分析选项，只有C符合题意. 故选：C 17．命题“是的必要不充分条件”是假命题，则的取值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合必要不充分条件的定义求出，即得的取值可能是1. 【详解】由是的必要不充分条件，得， 则由命题“是的必要不充分条件”是假命题，得， 所以的取值可能是1． 故选：A. 18．设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由逻辑用语可得集合的包含关系，再分情况建立方程，根据集合元素的特征验根，可得答案. 【详解】由题意可得，令，解得，则，不符合题意； 令，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，. 综上可得：. 故选：D. 19．命题，.若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据充分不必要条件的性质，进行计算即可. 【详解】设，， 因为的一个充分不必要条件是，则是的充分不必要条件， 则是的真子集，所以. 故答案为：. 20．已知集合，，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据充分不必要条件的性质，得到集合是集合的真子集，从而得到关于实数的不等式组，求解不等式组，即可得到实数的取值范围. （2）根据集合是否为空集进行分类讨论，结合，分别求出实数的取值范围，最后取并集即可. 【详解】（1）已知“”是“”的充分不必要条件，根据充分不必要条件的定义可知集合是集合的真子集. 已知，，则，解得. 故实数的取值范围为. （2）当时，因为，所以，解得，此时成立； 当时，，解得. 因为，，则或，解得或，故此时. 综上，若，则实数的取值范围为. 21．已知集合，． (1)若且，求实数的取值范围； (2)设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合集合间关系列式求解即可； （2）由题意可知集合为集合的真子集，结合包含关系列式求解即可. 【详解】（1）因为集合，且， 则，解得， 所以实数的取值范围为. （2）因为是的必要不充分条件，可知集合为集合的真子集， 且集合，， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 五、题型五 充要条件的证明 22．已知，求证：的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】先分清命题条件是，结论是，再根据充要条件的定义证明即可. 【详解】①必要性：因为.所以. 所以. ②充分性：因为， 所以，又， 所以且. 因为. 所以，即. 综上可得，当时，的充要条件是. 23．设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 【答案】，证明见解析 【分析】为锐角三角形的充要条件为.作出图形，根据勾股定理计算化简分别证明充分性和必要性即可. 【详解】为锐角三角形的充要条件为. 证明：充分性：若，则不是直角三角形. 若为钝角三角形，因为，则. 过点B作的延长线的垂线，垂足为D（如图（1））， 由勾股定理知 ，矛盾， 故为锐角三角形，充分性成立. 必要性：过点A作边的垂线，垂足为D(如图(2))， 由勾股定理知， ， 故必要性成立. 故为锐角三角形的充要条件为.    24．求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】由题意得，代入方程，因式分解可得方程有一个根为1，可证充分性；把代入方程，可得，可证必要性. 【详解】证明：充分性：因为，所以， 代入方程，得， 即． 所以方程有一个根为1． 必要性：因为方程有一个根为1， 所以满足方程， 所以，即． 故关于的方程有一个根为1的充要条件是． 25．（1）已知集合，．证明：的充要条件是； （2）模仿上述命题，写出一个不同于（1）的命题，判断命题的真假并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 ；（2）答案不唯一，具体见解析 ． 【分析】（1）根据两个集合相等、充要条件等知识证得结论成立. （2）模仿（1）写出一个命题，并判断出真假性. 【详解】（1）， 即大前提包括都不为零. 所以， 即的充要条件是. （2）已知均为非零实数，，.命题：的充要条件是. 这是假命题，理由如下： 当时，取， 则，， 所以不是的充要条件. 26．当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，． (1)计算； (2)证明，“或”是“”的充要条件． 【答案】(1)1； (2)证明见解析 【分析】（1）先理解的运算，然后求解即可； （2）先证充分性，再证必要性即可． 【详解】（1）. （2）先证充分性：当或时，则， 即或是的充分条件； 再证必要性：当时， 显然当时，，当时，， 即与均不合题意， 当时，由，则， 当时，由，则， 即“或”是“”的必要条件， 综上，命题得证． 模块三 巩·过关检测 一、单选题 1．已知函数的定义域为，命题，命题是增函数，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据函数的单调性及命题充分必要性的概念直接判断. 【详解】充分性：函数的定义域为，若，不能就此判断是增函数， 例如函数，此时，满足， 但该函数在定义域不是增函数，所以则是的不充分条件. 必要性：若是增函数，根据增函数定义，一定有，则是的必要条件. 综上，是的必要不充分条件. 故选：B. 2．已知均为第二象限角，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合三角函数的单调性、平方关系，并根据充分、必要条件的知识判断即可. 【详解】由题意，因为均为第二象限角，若，所以， 所以，即，所以， 且均为第二象限角，所以，所以，即充分性成立. 若，因为均为第二象限角，所以，即， 所以，即， 因为均为第二象限角，所以，所以，故必要性成立， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 3．已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】C 【分析】集合角的范围和诱导公式计算出角的取值，再根据充分性和必要的用定义法进行判断. 【详解】充分性： 根据诱导公式，因为，所以或， 当时，；当时，； 所以由不能必然推出，充分性不成立； 必要性： 因为，所以，此时， 所以由可以推出，必要性成立； 综上，是的必要非充分条件； 故选：C. 4．设是两个集合，则“且”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即得. 【详解】因“且”“” “”， 故“且”是“”的充要条件. 故选：A 5．“”的一个必要不充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接判断集合包含关系判断即可得． 【详解】由题意可知：是选项中对应集合的真子集， 结合选项可知：，所以是的必要不充分条件，故选项A正确； ，所以是的充分不必要条件，B错误； ，所以是的充分不必要条件，所以C错误； ，且，所以是的既不充分也不必要条件，以D错误. 故选：A． 6．已知p是q成立的必要条件，q是r成立的充要条件，r是s成立的充分条件，s不是q成立的充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．p是r成立的充要条件 B．s是r成立的必要不充分条件 C．p是s成立的充分不必要条件 D．q是s成立的必要不充分条件 【答案】B 【分析】根据题给条件得出，据此对各选项进行逐一判断. 【详解】依题意得. 由得，但p不一定能推出r，充分性不一定满足，故A错. 由得，又，所以s是r成立的必要不充分条件，故B对. 由得，又，无法建立p与s的确切关联，即p不一定能推出s，s不一定能推出p，故C错； 因为，所以，又，所以q是s成立的充分不必要条件，故D错. 故选：B. 7．如果对于任意实数表示不超过x的最大整数，例如，那么“”是“”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据取整函数的定义，结合特例法以及必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】取，满足“”，但即，充分性不成立； 如果，那么和的整数部分是相同的，所以，所以必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8．已知集合，，若：，：，是的必要不充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的定义，结合集合的包含关系可得． 【详解】是的必要不充分条件，则是的真子集， 当，即时，符合题意； 当，即时，，则且两个等号不能同时取得，解得，所以， 综上，， 故选：C． 二、多选题 9．（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“都是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件 【答案】ABD 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合选项即可逐一求解. 【详解】当时，，充分性成立；当时，或，必要性不成立，A正确； 当，时，，此时，充分性不成立；当时，，必要性成立，B正确； 当时，，充分性成立；当时，则或，必要性不成立，C错误； 当时，，不是无理数，充分性不成立；当，时，是无理数，但0不是无理数，必要性不成立，D正确． 故选：ABD 10．在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．且 D．，， 【答案】ABC 【详解】若二次方程的两根为正数，则，，，故满足其中一个或两个不能推出二次方程的两根为正数，所以选项A，B，C能成为使二次方程的两根为正数的必要不充分条件. 11．用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面结论正确的是（   ） A．， B．， C．“”是“”的充分不必要条件 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据集合新定义，结合一元二次方程，逐项分析判断即可. 【详解】对于A，当时，，此时，A正确； 对于B，当时，，此时，B错误； 对于C，当时，，则，而，，因此； 当时，而，则或，若，满足，解得； 若，则方程的两个根都不是方程的根， 且，解得，因此“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D，由，而，得或，由C知：或， 因此，，D错误. 故选：AC 三、填空题 12．（1）若，，则是的____________条件； （2）若四边形ABCD是正方形，四边形ABCD的两条对角线互相垂直平分，则是的____________条件. 【答案】 必要不充分 充分不必要 【分析】利用充分必要条件的判断方法即可得解. 【详解】（1）当时，或，即充分性不成立； 当时，必有，即必要性成立； 所以是的必要不充分条件. （2）当四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD的两条对角线互相垂直平分，即充分性成立； 当四边形ABCD的两条对角线互相垂直平分，四边形ABCD不一定是正方形，也有可能是菱形，即必要性不成立； 所以是的充分不必要条件. 故答案为：（1）必要不充分；（2）充分不必要. 13．已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【详解】．因为，所以集合不是空集，即，解得．由题意知集合A是集合的真子集，即或，解得或．综上所述，实数a的取值范围为． 14．已知，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用必要不充分条件的定义求出范围. 【详解】由题知，， 又因为“”是“”的必要不充分条件，可得， 故答案为：. 四、解答题 15．已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或．； (2)． 【分析】（1）利用交集运算即可求解； （2）利用充分不必要条件转化为，从而可得参数满足的不等式，即可求解. 【详解】（1）当时，集合，又或． ∴或或．； （2）∵若，且是的充分不必要条件，，， ∴，则， 解得:，故的取值范围是． 16．已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)必要不充分条件（必要条件也正确） (2) 【分析】（1）根据集合关系判断是的必要不充分条件； （2）根据是的必要不充分条件，得是的真子集， 然后根据集合关系列不等式组求解即可. 【详解】（1）当时，， 显然是的真子集， 所以是的必要不充分条件（注：必要条件也正确）． （2）若是的必要不充分条件， 则是的真子集， 则有或解得， 故实数的取值范围为． 17．已知集合. (1)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若“”是“”的必要条件等价于是的子集，即可求出实数的取值范围. （2）根据交集的运算性质运算即可得出答案； 【详解】（1）因为“”是“”的必要条件，所以是的子集， 因为， 所以 解得，即的取值范围是. （2）因为，所以. 若，则，可得； 若，要使，则该不等式组无解. 综上，的取值范围是. 18．已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为． 19．设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)k为偶数；证明见解析 【详解】证明：（1）设集合中的元素，所以．因为，所以，所以，则成立，故“”是“”的充分条件． 若，则，可取，设．因为，所以与有相同的奇偶性．因为2为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而2不是4的倍数，所以假设不成立，所以，故“，”是“”的不必要条件． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． （2）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数． 充分性：因为k为偶数，所以设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于M． 必要性：因为偶数属于M，所以．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2 充要条件 模块一 筑·知能要点 一、充要条件 1.如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作 p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件. 2.条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且q⇏p 充分不必要条件 q⇒p，且p⇏q 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 p⇏q，且q⇏p 既不充分也不必要条件 注意点： (1)充要条件的判断步骤：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件. (2)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价. 3.判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法. (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 二、充要条件的证明 充要条件证明的思路 证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性. 模块二 破·题型攻坚 一、题型一 充分不必要条件的判断 1．已知实数a，b，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知均为实数，则“”是“或”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 5．已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、题型二 必要不充分条件的判断 6．设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．“成立”是“成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 9．设、是两个非空集合，则“”是“”的_____条件（“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”）. 10．下列各题中，是的什么条件？是的什么条件？ (1)，：抛物线过原点； (2)且，且； (3)，. 三、题型三 充要条件的判断 11．下列命题中是的充要条件的是（    ） A．，：方程有实根 B．， C．， D．， 12．若，则成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 13．（多选）如图所示的电路中，“开关闭合”是“灯泡亮”的充要条件的电路图是（ ） A． B． C． D． 14．一元二次方程有两个异号实根的充要条件是______. 15．设都是非零实数，不等式和同时成立的充要条件是_________ 四、题型四 根据充分性和必要性求参数 16．已知：，那么的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 17．命题“是的必要不充分条件”是假命题，则的取值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 19．命题，.若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 20．已知集合，，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 21．已知集合，． (1)若且，求实数的取值范围； (2)设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 五、题型五 充要条件的证明 22．已知，求证：的充要条件是. 23．设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 24．求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 25．（1）已知集合，．证明：的充要条件是； （2）模仿上述命题，写出一个不同于（1）的命题，判断命题的真假并说明理由． 26．当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，． (1)计算； (2)证明，“或”是“”的充要条件． 模块三 巩·过关检测 一、单选题 1．已知函数的定义域为，命题，命题是增函数，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知均为第二象限角，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 4．设是两个集合，则“且”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．“”的一个必要不充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 6．已知p是q成立的必要条件，q是r成立的充要条件，r是s成立的充分条件，s不是q成立的充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．p是r成立的充要条件 B．s是r成立的必要不充分条件 C．p是s成立的充分不必要条件 D．q是s成立的必要不充分条件 7．如果对于任意实数表示不超过x的最大整数，例如，那么“”是“”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知集合，，若：，：，是的必要不充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“都是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件 10．在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．且 D．，， 11．用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面结论正确的是（   ） A．， B．， C．“”是“”的充分不必要条件 D．若，则 三、填空题 12．（1）若，，则是的____________条件； （2）若四边形ABCD是正方形，四边形ABCD的两条对角线互相垂直平分，则是的____________条件. 13．已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________． 14．已知，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为________． 四、解答题 15．已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 16．已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17．已知集合. (1)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 18．已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 19．设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $