25.2.2 公式法 课程同步练习题 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以核心知识点梳理为基础，通过选择、填空、解答题分层设计，实现从概念理解到综合应用的知识巩固，适配新授课教学需求，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一知识点（判别式定义、求根公式概念、系数确定）|选择题1-3直接判断根的个数、识别求根公式，填空题9-10计算判别式与方程根，强化概念记忆| |提升层|综合应用（参数范围、定义与判别式综合、根的符号判断）|选择题4-8由不等实根求参数、判断无实根方程，填空题11-12等根求参数、恒成立问题，培养分类讨论能力| |综合层|复杂问题解决（含化简的解方程、判别式证明）|解答题13完整呈现公式法步骤（化一般式至求根），14证明判别式恒正并求根，发展逻辑推理与规范表达|

25.2.2 公式法 课程同步练习题 【第一部分 核心知识点梳理】 模块 1 一元二次方程根的判别式 1．定义：对于一元二次方程 ，式子 叫做一元二次方程根的判别式。 2．根的情况与判别式的对应关系： （1） ⇔ 方程有 的实数根。 （2） ⇔ 方程有 的实数根。 （3） ⇔ 方程 实数根。 模块 2 一元二次方程的求根公式 当 时，一元二次方程 的实数根为： ，该式称为一元二次方程的求根公式，利用求根公式直接解一元二次方程的方法叫做 。 模块 3 公式法解方程的标准步骤 1．化一般式：将方程整理为一元二次方程的一般形式 。 2．定系数：准确确定 的值（需包含各项的 ）。 3．算判别式：代入计算 的值。 4．判根情况：根据 的符号判断方程 。 5．代公式求根：若 ，代入求根公式计算方程的根；若 ，直接判定方程无实数根。 模块 4 高频易错警示 1．确定系数前必须先将方程化为 ，注意 、 的符号。 2．求根公式仅在 时适用， 时方程无实数根，无需继续代入计算。 3． 时，方程有两个相等的实数根，需写成 的形式，不能只写单个根。 4．求根公式分子首项为 ，切勿遗漏 。 【第二部分 课程同步练习题】 一、选择题（共 8 小题） 1．【考点：根的判别式・直接判断根的个数】一元二次方程 的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．【考点：求根公式的概念识别】对于一元二次方程 ，下列求根公式书写正确的是（ ） A． B． C． D． 3．【考点：一元二次方程一般形式・系数确定】将方程 化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项依次为（ ） A． B． C． D． 4．【考点：根的判别式・由不等实根求参数范围】若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．【考点：公式法解一元二次方程（整数根）】用公式法解方程 ，得到的根为（ ） A． B． C． D． 6．【考点：一元二次方程定义 + 根的判别式综合】已知关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（ ） A． B． 且 C． 且 D． 7．【考点：根的判别式・判断无实数根的方程】下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A． B． C． D． 8．【考点：根的判别式・根的符号判断】一元二次方程 的根的情况是（ ） A．有两个相等的正实数根 B．有两个不相等的负实数根 C．有一正一负两个不相等的实数根 D．没有实数根 二、填空题（共 4 小题） 9．【考点：根的判别式的基础计算】一元二次方程 的判别式 。 10．【考点：公式法解一元二次方程】方程 的两个根为 。 11．【考点：根的判别式・等根求参数值】若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 。 12．【考点：根的判别式・恒成立问题】无论 取任意实数，关于 的方程 总有 个实数根。 三、解答题（共 2 小题） 13．【考点：公式法解一元二次方程（含一般形式化简）】用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）。 14．【考点：根的判别式的证明 + 公式法求根】已知关于 的一元二次方程 。 （1）求证：无论 取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）当 时，用公式法求该方程的根。 【第一部分 核心知识点梳理 参考答案】 模块 1 一元二次方程根的判别式 1． 2．（1）两个不相等 （2）两个相等 （3）没有 模块 2 一元二次方程的求根公式 公式法 模块 3 公式法解方程的标准步骤 1． 2．符号 3． 4．是否有实数根 5．； 模块 4 高频易错警示 1．一般形式；一次项、常数项 2．； 3．； 4．负号 【第二部分 课程同步练习题 参考答案】 一、选择题 1．答案：B 解析：由方程得 ，代入判别式： ，因此方程有两个不相等的实数根。 2．答案：B 解析：根据一元二次方程求根公式的标准形式，分子为 ，分母为 ，且仅当 时公式成立。 3．答案：B 解析：移项整理为一般形式：，因此二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 。 4．答案：A 解析：方程有两个不相等的实数根，则判别式 。 代入得 ，解得 。 5．答案：C 解析：由方程得 ， ， 代入求根公式：， 解得 。 6．答案：C 解析：方程为一元二次方程，因此二次项系数 ，即 ； 方程有实数根，则 ，代入得： ，解得 。 综上， 的取值范围是 且 。 7．答案：C 解析：分别计算各方程的判别式： A：，有两个不相等的实数根 B：，有两个不相等的实数根 C：，没有实数根 D：整理为 ，，有两个不相等的实数根 8．答案：C 解析：由方程得 ， 判别式 ，因此方程有两个不相等的实数根。 代入求根公式得 ，解得 ，即方程有一正一负两个不相等的实数根。 二、填空题 9．答案：0 解析：由方程得 ， 。 10．答案： 解析：由方程得 ， ， 代入求根公式得 ，即 。 11．答案：16 解析：方程有两个相等的实数根，则 ， 代入得 ，解得 。 12．答案：两 解析：计算判别式： 无论 取何实数， 恒成立，因此方程总有两个实数根。 三、解答题 13．解：（1） 代入求根公式： 解得： （2） 代入求根公式： 解得： （3）整理为一般形式： 代入求根公式： 解得： （4） 代入求根公式： 解得： 14．解析： （1）证明：由方程得 代入判别式： 代入判别式： Δ=[−(2k+3)]2−4×1×(k2+3k+2)=4k2+12k+9−4k2−12k−8=1 ∵ 无论 取何实数，总有 ∴ 无论 取何实数，方程总有两个不相等的实数根。 （2）当 时，方程为 代入求根公式： 解得： 学科网（北京）股份有限公司 $