25.2.2 第1课时 一元二次方程根的判别式-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（人教版·新教材·江西专版）

25.2.2 第1课时一元二 色知识要点扫描 1.根的判别式 定义：一般地，式子b2一4ac叫作一元二次 方程ax2十bx十c=0的根的判别式，通常用希 腊字母“△”表示，即△=b2一4ac. 2.一元二次方程根的情况 (1)△>0台方程ax2+bx十c=0(a≠0)有 两个不相等的实数根； (2)△=0台方程a.x2十bx十c=0(a≠0)有 两个相等的实数根； (3)△<0台方程a.x2+bx十c=0(a≠0)无 实数根 已经典例题剖析 【例1】对于实数a,b,定义运算“☒”为a⑧ b=b2-ab.例如：3☒2=22-3×2=一2.关于 x的方程(k一3)☒x=k一1的根的情况，下列 说法正确的是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 【点拨】方程(k一3)☒x=k一1可化为x2 -(k-3)x-k+1=0,.△=[-(k-3)]2-4 ×1×(一k+1)=(k-1)2+4>0,.关于x的 方程(k一3)☒x=k一1有两个不相等的实 数根。 【答案】A 【例2】(2025一2026高安检测)若关于x 的一元二次方程(k一1)x2一x十2=0有两个 不相等的实数根，则k的取值范围是 【点拨】由题意，得(-1)2-4(k一1)×2> 九年级数学RJ版 公式法 次方程根的判别式 .9 0,且k-1≠0，解得k<8且k≠1. 【解】k<8且k≠1 已基础对点训练 知识点① 一元二次方程的根的判别式 1.一元二次方程x2一5x十2=0根的判别式的 值是 ( A.33 B.23 C.17 D.17 2.一元二次方程x2一2x一c=0能用公式法求 解的前提是 A.c=1 B.c≥1 C.c≥-1 D.c≤-1 知识点② 利用根的判别式判断根的情况 3.下列方程中，有两个不相等的实数根的是 ) A.x2+1=0 B.x2-2x+1=0 C.x2+x+1=0 D.x2+x-1=0 4.下列方程中，无实数根的是 ( A.x2-x-2=0 B.3x2-2x+1=0 C.(x-2)2=0 D.(x-2)2=10 5.(教材变式)关于x的一元二次方程x2十(2k 十1)x十k一1=0的根的情况是 () A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 6.已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x +m+1=0. (1)若x=1是方程的一个根，求实数m 的值. (2)求证：方程总有两个不相等的实数根. 知识点③ 利用根的判别式确定方程中字 母的值或取值范围 7.若关于x的一元二次方程x2一2x十m=0 有两个相等的实数根，则m的值是( A.-1 B.0 C.1 D.2 8.若关于x的方程mx2十2x一1=0有两个不 相等的实数根，则的取值范围是() A.m-1 B.m>一1且m≠0 C.m>-1 D.m≥一1且m≠0 9.已知关于x的方程2x2一2x十2k一1=0有 实数根，则k的取值范围是 ) 1 A.k≤4 B.k<4 Ci D.>3 4 变式题1改变待定系数位置 (2025一2026南昌东湖区检测)若关于x 的一元二次方程(k一1)x2+4x+1=0有 两个不相等的实数根，则k的取值范围是 A.k<5 B.k<5且k≠1 C.k≤5且k≠1 D.k>5 变式题2有实数根→无实数根 已知关于x的一元二次方程2x2十x一m =0没有实数根，m的取值范围是 变式题3不明确解的个数，需分类讨论 若关于x的方程mx2-2x十2=0有实数根， 则实数m的取值范围是 10.已知关于x的一元二次方程kx2一4x+4 =0. (1)若k是最小的正整数，求此方程的解. (2)若该方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围. 11.已知关于x的一元二次方程2x2-m.x+n =0. (1)当m一n=4时，请判断此方程的根的 情况。 (2)若方程有两个相等的实数根，当n=2 时，求此时方程的根. 上册第二十五章 △详解详析 第二十五章一元二次方程 4.x1=1+2i,x2=1-2i【解析】由x2-2.x十5=0配 方，得(x-1)=-4,∴.x-1=土2i,解得x1=1+2i, 25.1一元二次方程的概念 x2=1-2i. 1.A2.A3.-14.-3变式题D 5.解：(1)三等式右边没有同时加4 5.2025【解析】由a(x十1)2+b(x十1)=-5，得a(x+ (2)正确的解答过程如下： 1)2+b(x+1)+5=0.设t=x+1,则at2+bt+5=0. 移项，得2x2-8x=18. ,关于x的一元二次方程a.x2+bx十5=0(a≠0)有一 两边同时除以2，得x2一4x=9. 配方，得x2-4x十4=9+4， 根为2026，即at+bt+5=0有一根为2026，∴.x+1 即(x-2)=13, =2026,解得x=2025,.一元二次方程a(x+1)2+ b(x十1)=-5必有一根为2025. .x-2=士√/13 6.(8-2x)(10-2.x)=307.-3 故x1=2+/13,x2=2-√13】 25.2.2公式法 25.2降次一解一元二次方程 第1课时一元二次方程根的判别式 25.2.1配方法 1.C2.C3.D4.B5.A 第1课时直接开平方法 6.解：(1)根据题意，得12+(m十3)·1十m十1=0， 1.B变式题x1=1,x2=-1 解得m=一 5 2.D3.B4.B (2)证明：：△=(m+3)2-4(m+1)=m2+2m+5= 5.1(答案不唯一) (m+1)2+4≥4>0， 6.解：(1)直接开平方，得x-3=士2， 方程总有两个不相等的实数根 解得x1=5,x2=1. 7.C8.B (2)方程可化为(2x-1)2=9. 9.C 直接开平方，得2x-1=±3， 解得x1=2,x2=-1. 变式题1B变式题2m<一 7.解：(1)一开平方时，忽略互为相反数的情况 (2)直接开平方，得y+2=3y-1或y+2=一(3y 变式题3m≤2 【解析】分两种情况讨论：①当m=0 1D部得=名=一子 时，原方程为一2x+2=0,解得x=1,符合题意.②当 m≠0时，原方程为一元二次方程.：关于x的方程 第2课时配方法 mx2-2.x十2=0有实数根，.△=(-2)2-4m·2=4 1.B -8m≥0，解得m≤名·则m≤号且u≠0.综上所述， 2.B【解析】方程x2-10x十n=0移项，得x2-10x= -n.配方，得x2-10x十25=25-n,即(x-5)2=25- -1 m的取值范围是m≤2 n.根据题意，得m=5,25一n=15,.m=5,n=10,代 10.解：(1)由题意可知，k=1, 入x2-10x十m=n,得x2-10x十5=10.配方，得(x .方程为x2-4.x十4=0， -5)2=30. 解得x1=x2=2. 3.D【解析】设印刷不清楚的数是a,则x2-4x十1=a, (2):方程有两个不相等的实数根， 移项，得x2-4x=a-1,配方，得(x-2)2=a+3,则a .△=(-4)2-16k>0,且k≠0， 十3=5，解得a=2. ,.k的取值范围为k<1且k≠0. ◆一题多解法《 11.解：△=(-m)2-4×2n=m2-8n. (x-m)2=5变形，得x2-2mx十m°=5.由题 (1),m-n=4,∴.n=m-4,∴.△=m2-8(m-4)= 意，得-2m=-4,解得m=2,x2-4x十22= m2-8m+32=(m-4)2+16. 5,x2-4x十1=2，.印刷不清楚的数是2. (m-4)2≥0，.(m-4)2+16>0,即△>0， 此方程有两个不相等的实数根。 上册详解详析 (2)根据题意，得△=m2一8n=0. ,n=2,.m2-16=0,解得m1=4,m2=-4. 2 当m=4时，方程为2x2一4x+2=0,解得x1=x2= 6.解：(1)△ABC是等腰三角形. 1;当m=-4时，方程为2x2+4x十2=0，解得x1= 理由：x=一1是方程的根， x2=一1.综上所述，此时方程的根为1或一1. .(a+c)×(-1)2-2b+a-c=0, .a+c-2b+a-c=0, 第2课时用公式法解一元二次方程 .a-b=0, 1.A2.D3.B .a=b, 4.解：(1)原方程可化为x2-7x十12=0. .△ABC是等腰三角形， .'a=1,b=-7,c=12, (2)△ABC是直角三角形 .∴.△=b2-4ac=(-7)2-4×1×12=1, 理由：方程有两个相等的实数根， x=7± 2×1,解得，=4，x,=3. ∴.(2b)2-4(a十c)(a-c)=0, .4b2-4a2+4c2=0, (2):a=1,b=-(2+1),c=√2， .a2=b2+c2, ∴.△=(-√2-1)2-4×1×2=3-22=（√2-1）2， .△ABC是直角三角形. x=E+1D±2-1_2+1D±(-1D (3),△ABC是等边三角形， 2×1 2×1 ..a=b=c, 解得x1=√2，x2=1. ∴.(a十c)x2+2b.x十a一c=0可整理为2a.x2十2ax 5.解：（答案不唯一，可以选择条件②或条件③解答）》 =0. 选择条件②，则一元二次方程为x2十3x十1=0. a≠0， a=1,b=3,c=1, x2+x=0, .∴.△=b2-4ac=32-4×1×1=5>0, 解得x1=0,x2=一1. x=3±5 25.2.3因式分解法 2 1.A2.C3.D x,=3+5 x,=二3-6 4.(答案不唯一)x2-2x-8=0 2 5.解：(1)因式分解，得(x-3)(5x-3)=0, x-3=0或5x-3=0, 解题技巧专练巧用根的判别式解题 3 1.A2.D 解得x1=3,x,=5 3.C【解析】，一元二次方程m.x2一2x一1=0无实数 (2)移项，得2(x十4)一(x十4)2=0. 根，∴.m≠0，且△=(-2)2-4m·(-1)<0,解得m< 因式分解，得(x+4)(-x-2)=0, 一1，∴一次函数y=m.x十2的图象经过第一、第二、第 ∴x十4=0或-x-2=0, 四象限，∴.一次函数y=m.x十2的图象不经过第三 解得x1=-4,x2=一2. 象限 6.D 4.解：(1)：关于x的方程x2-4x十3a-1=0有两个实 7.(1)①(2)④⑤(3)③(4)② 数根， 8.解：(1)直接开平方，得x十1=士4， 解得x1=3,x2=-5. 4=(-4)2-43a-1)≥0，解得a≤号 (2)原方程可化为5.x2一4x-1=0, 5 ·a的取值范围为a≤3： .5x2-5x+x-1=0, .5x(x-1)+(x-1)=0, (2)a<号且a为正整数a=l .(5x+1)(x-1)=0, ∴.方程x2-4x十3a-1=0可化为x2-4x十2=0， 解得=行=1 ∴此方程的根为x1=2+√2，x2=2-√2 9.C【解析】A2=20, 5.解：(1)关于x的方程x2-2x十4-m=0有两个不 ∴.x(x-1)=20, 等的实数根， .x2-x-20=0,即(x-5)(x+4)=0, ..△=(-2)2一4×1×(4m)>0,解得m>3. ∴.x-5=0或x十4=0， (2)m>3, 解得x1=5,x2=-4. 10.3 .1二m÷m-1m-3-十1Dm1D 2 2m+1 m-3 m1· 11.解：(1)x2-2k.x十k-1=0, 九年级数学RJ版