25.2.2公式法同步练习2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦公式法解一元二次方程，通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，实现从概念理解到综合运用的递进，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|判别式计算、求根公式直接应用|如单选题1-3、解答题19-20，强化运算能力| |中档|根的情况判断、简单综合应用|如单选题4-7、填空题12-15，培养推理意识| |提升|新定义运算、几何代数结合|如单选题8-10、解答题22-24，发展创新意识与应用意识|

25.2.2公式法 同步练习 一、单选题 1．下列一元二次方程没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．关于的一元二次方程中，，则该方程的根的情况是（     ） A．两实数根之和为1 B．两实数根之积为1 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 3．方程的解为（  ） A． B． C． D．以上结论都不对 4．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知关于x的方程（），当时，方程的解为（    ） A．， B．， C． D． 7．若一次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 8．定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 9．关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 10．对于一元二次方程，给出下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④存在实数，使得． 其中正确的是（     ） A．只有①③ B．只有①② C．只有①③④ D．①②③④ 二、填空题 11．一元二次方程的根是___________． 12．解一元二次方程，请你在“”中填入一个整数，使得方程有实数根，则你填入的整数是______． 13．在实数范围内因式分解：_____． 14．已知关于x的方程，其中a、b为实数． (1)若此方程有一个根为，判断a与b的大小关系__________； (2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，b的取值范围为__________． 15．方程的正根介于正整数与之间，则________． 16．若关于x的一元二次方程有实数根，则________（写出一个满足条件的值）． 17．等腰三角形边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为______． 18．定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 三、解答题 19．解方程： (1)； (2)． 20．用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 21．已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求 的值． 22．已知分别是中所对的边长，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，试判断的形状并求其面积． 23．已知关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根．求证：是非负数． 24．已知分别为满足条件的最大整数，关于的方程没有实数根，而方程有两个不相等的实数根． (1)求的值； (2)试判断关于的方程的根的情况； (3)若为完全平方式，求常数的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】对于一元二次方程，若判别式，则方程没有实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：A选项、， ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B选项、， ， ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C选项、， ，方程没有实数根，符合题意； D选项、， ，方程有两个相等的实数根，不符合题意． 2．C 【分析】先计算根的判别式，结合判断判别式的符号，即可确定方程根的情况，即可得出答案． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ∴， ， ，即， 该方程没有实数根． 3．D 【分析】先将原方程整理为标准一元二次方程，求解后判断选项，注意不要误将方程右边当成0直接求解． 【详解】解：∵原方程为， 展开左边得， 整理为标准形式得， 计算判别式得， 由求根公式得方程的解为，该解不等于或， ∴选项A，B，C都错误，故选D． 4．C 【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，据此计算即可求出的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 其中，，， ∴， 化简得， 解得． 5．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 6．D 【分析】已知，即判别式为0，方程有两个相等的实数根，通过配方即可得到方程的解． 【详解】解：∵一元二次方程，，且， ∴，方程有两个相等的实数根． 对原方程配方： 移项得， 两边同除以得， 配方得， ∵， ∴， ∴． 7．C 【分析】利用一次函数性质得出，再判断出，即可求解． 【详解】解：根据题意可知一次函数（为常数）的图象经过第二、三、四象限， ∴， ∴，， 对于一元二次方程，， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 8．A 【分析】转化为一元二次方程，根据，求解即可； 【详解】解：∵，∴化为一般式为． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 9．C 【分析】利用方程有两个相等实数根得到判别式为0，结合已知条件整理得到a，b，c的关系，进而判断选项． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，且， ， ， 将代入，得， 整理，得， ， ， 将代入，得， ， 故C正确； ， ， 故A错误； ， 故B错误； ，a的值不确定， 不一定等于， 故D错误． 10．C 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系、根的定义及代数变形逐一判断各命题． 【详解】解：①方程有两个不相等的实根， ， ， 则方程的判别式， 方程必有两个不相等的实根，故①正确； ②是方程的一个根，则， ， 若，等式仍然成立，但不一定成立，故②不正确； ③若是一元二次方程的根， 则由求根公式得或， 或， ，故③正确； ④存在实数，使得， 整理得，即， 因为，只需取即可满足， 例如取，，就有，故④正确． 11． 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；对于一元二次方程，由于无法直接因式分解，采用求根公式求解，先计算判别式，再代入公式求解即可． 【详解】解：方程中，，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 12．（答案不唯一） 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，因为方程有实数根，所以，再结合是整数，即可作答． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴， 即， ∵是整数， ∴可以是． 13． 【分析】本题主要考查了在实数范围内分解因式，利用公式法求出关于x的一元二次方程的两个实数根即可得到答案． 【详解】解：令， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为： 14． 【分析】（1）把代入方程，求出的值，进行判断即可； （2）根据方程都有实数根，得到，进而求出 b的取值范围即可. 【详解】解：（1）∵方程有一个根为， ∴， 整理，得； ∵， ∴，即； （2）由题意，， ∵对于任何实数a，此方程都有实数根， ∴对于任何实数a，都有，即， ∴对于任何实数a，都有， ∵， ∴b的取值范围是. 15．2 【分析】先求解方程得到正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：， ∴ ， ∴方程的正根为， ， ， ，则． 16． 2 【分析】因为方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，据此得到第一个关于的限制条件．因为一元二次方程有实数根，所以根的判别式，代入对应系数计算得到第二个关于的不等式．联立两个条件得到的取值范围，在范围内任选一个符合要求的值即可． 【详解】解：该方程是一元二次方程，因此， 因为方程有实数根， 所以， 解得， 因此只要取且的任意值都符合条件，比如． 17． 【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论：①腰长为，即或，②底边长为，即，分别结合一元二次方程根的性质求出的值，再利用三角形三边关系验证，舍去不符合条件的结果，得到的最终值． 【详解】解：三角形为等腰三角形 分两种情况讨论：①或，②， ①当或时， ，是一元二次方程的两个根， 是方程的一个根， 将代入方程得， 解得， 当时，方程为 因式分解得， 解得，， 此时三角形三边长为，，， ，不满足三角形三边关系中两边之和大于第三边， 不合题意，舍去； ②当时，一元二次方程有两个相等的实数根 根的判别式， 解得， 此时方程为， 解得， 此时三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意； 综上所述，． 18． ①②③ 【分析】本题考查新定义和一元二次方程，根据倒方程的定义，分别验证每个结论的正确性： ①通过代入求解； ②利用判别式即可； ③通过判别式得到，代入倒方程判别式可得； ④举反例说明不成立． 【详解】解：结论①，原方程 的倒方程为 ， 将 代入得 ， 解得 ， 故①正确； 结论②，当 时， 判别式 ， 两个方程均有两个不相等的实数根， 故②正确； 结论③， 原方程无解， ， 即 ， 倒方程判别式 ， 倒方程无解， 故③正确； 结论④， 举反例说明，当 时，原方程为， 若要其有两个不相等的实数根，则其判别式：， 即， 原方程 的倒方程为 ，，， 倒方程为，是一元一次方程， 只有一个根， 故④错误． 故答案为①②③． 19．(1) (2) 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程； （2）利用公式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：方程整理得：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ． 21．(1)证明：方程为一元二次方程，故即， 判别式， 方程总有两个实数根． (2)或 【分析】（1）证明即可； （2）根据求根公式，表示出两个根，利用整数的性质，求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：由求根公式得      计算得，， 两根均为整数，为整数， ， 解得或 ． 22．是直角三角形，面积为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理．一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根． 根据已知条件得出，将等式变形，利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，然后由勾股定理求解，再由三角形面积公式求解． 【详解】解：因为关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以其判别式． 化简可得：， 由可知，是直角三角形，且c为斜边． 又因为， ∴ 所以其面积． 23．证明：关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根， ， ， ， ， ∴是非负数． 【分析】首先根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，然后代入得，即可得出结论． 【详解】略 24．(1)， (2)方程没有实数根 (3) 【分析】本题整体利用一元二次方程根的判别式求解； （1）分别根据两个方程的根的情况列不等式，得到，，再取各自范围内的最大整数即可； （2）代入，计算判别式，根据判别式的符号判断根的情况； （3）根据完全平方式对应一元二次方程判别式为0，代入，整理求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得， ∵是满足条件的最大整数， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵是满足条件的最大整数， ∴； （2）解：将代入方程，得方程为， 其判别式 ， ∴方程没有实数根； （3）解：把代入得， ∵为完全平方式， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 计算该方程的判别式得， ∴ ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $