2.4.2简单幂函数的图象和性质 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦“简单幂函数的图象和性质”，通过基础巩固、性质综合到拓展应用的三层设计，培养数学抽象、逻辑推理与模型意识，实现从概念理解到实际应用的递进。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|幂函数定义、定义域、定点|题1直接考查定义特征，题2-3强化定义域与定点求法，夯实概念理解| |中档层|单调性、奇偶性、解析式|题4-6结合图象分析单调性与奇偶性，题10综合单调性解不等式，提升推理能力| |提升层|实际应用、综合问题|题13以密钥密码系统为情境，题15-16涉及最值与参数求解，体现模型意识与应用能力|

4.2　简单幂函数的图象和性质 1.下列函数为幂函数的是（　　） A.y＝2x4　 B.y＝2x3－1 C.y＝　 D.y＝x2 2.若f（x）＝，则函数f（4x－3）的定义域为（　　） A.R　 B.（－∞，） C.［，＋∞）　 D.（，＋∞） 3.函数f（x）＝xa＋b，不论a为何值，f（x）的图象均过点（m，0），则实数b的值为（　　） A.－1　 B.1 C.2　 D.3 4.如图所示，曲线C1和C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是（　　） A.n＜m＜0　 B.m＜n＜0 C.n＞m＞0　 D.m＞n＞0 5.（多选）已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为（　　） A.1　 B.－1 C.3　 D.2 6.（多选）已知幂函数f（x）的图象经过点（27，），则幂函数f（x）具有的性质是（　　） A.在其定义域上为增函数 B.在（0，＋∞）上单调递减 C.奇函数 D.定义域为R 7.幂函数y＝的定义域为　　　　；其是　　　函数（填“奇”或“偶”）. 8.已知幂函数f（x）＝xα的部分对应值如表： x 1 f（x） 1 则f（x）的单调递增区间是　　　　. 9.若幂函数y＝（m2－2m－2）x－4m－2在（0，＋∞）上单调递减，则实数m的值是　　　　. 10.已知幂函数f（x）＝xm－3（m∈N＋）的图象关于y轴对称，且在（0，＋∞）上单调递减，求满足（a＋1＜（3－2a的实数a的取值范围. 11.已知当x∈[0，1]时，函数y＝（mx－1）2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（　　） A.（0，1]∪[2，＋∞） B.（0，1]∪[3，＋∞） C.（0，]∪[2，＋∞） D.（0，]∪[3，＋∞） 12.（多选）已知幂函数f（x）＝（m，n∈N＋，m，n互质），下列关于f（x）的结论正确的是（　　） A.m，n是奇数时，f（x）是奇函数 B.m是偶数，n是奇数时，f（x）是偶函数 C.m是奇数，n是偶数时，f（x）是偶函数 D.0＜＜1时，f（x）在（0，＋∞）上单调递减 13.有一种密钥密码系统可以保证信息的安全传输，其加密、解密原理为：发送方根据加密密钥把明文转为密文（加密），接收方根据加密密钥把密文转为明文（解密）.现在已知加密密钥为y＝xα（α为常数），如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是　　　　. 14.已知幂函数f（x）＝（m2－5m＋7）xm－1为偶函数. （1）求f（x）的解析式； （2）若g（x）＝f（x）－ax－3在[1，3]上不是单调函数，求实数a的取值范围. 15.已知幂函数f（x）的图象经过点（9，3），则函数f（x）＝　　　　，若f（a）f（b）＝3，则实数a＋2b的最小值是　　　　. 16.已知幂函数f（x）＝（m∈N＋）. （1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； （2）若函数f（x）的图象经过点（2，），试确定m的值，并求满足f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围. 4.2　简单幂函数的图象和性质 1.D　结合幂函数的特征可知D正确.故选D. 2.D　易知f（x）＝的定义域为（0，＋∞），则4x－3∈（0，＋∞），即x∈（，＋∞），故选D. 3.A　∵幂函数y＝xa过定点（1，1），∴f（x）＝xa＋b过定点（1，1＋b），结合已知条件可知1＋b＝0，则b＝－1. 4.A　由题中图象可知，两函数在第一象限内单调递减，故m＜0，n＜0.由幂函数图象的特点知n＜m，故n＜m＜0. 5.AC　当α＝－1时，y＝x－1＝，为奇函数，但值域为{y｜y≠0}，不满足条件.当α＝1时，y＝x为奇函数，值域为R，满足条件.当α＝2时，y＝x2为偶函数，值域为{y｜y≥0}，不满足条件.当α＝3时，y＝x3为奇函数，值域为R，满足条件.故选A、C. 6.BC　设幂函数f（x）＝xα，∵幂函数图象过点（27，），∴27α＝，∴α＝－，∴f（x）＝＝（x≠0） ，∴f（x）定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），满足f（－x）＝－f（x），是奇函数，值域为（－∞，0）∪（0，＋∞），在定义域内不单调，在（0，＋∞）上单调递减.故选B、C. 7.（－∞，＋∞）　偶　解析：因为y＝＝，所以函数的定义域为（－∞，＋∞），且为偶函数. 8.[0，＋∞）　解析：因为f（）＝，所以（）α＝，即α＝，所以f（x）＝的单调递增区间是[0，＋∞）. 9.3　解析：由题意可知m2－2m－2＝1，得m＝3或m＝－1.当m＝3时，－4m－2＝－14，幂函数y＝x－14在（0，＋∞）上单调递减，满足题意；当m＝－1时，－4m－2＝2，幂函数y＝x2在（0，＋∞）上单调递增，不满足题意，所以m＝－1舍去.故m＝3. 10.解：因为函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减， 所以m－3＜0，解得m＜3. 又m∈N＋，所以m＝1，2. 又函数f（x）的图象关于y轴对称，所以m－3为偶数，所以m＝1. 因为函数y＝在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减，且当x＞0时，＞0，当x＜0时，＜0， 所以由（a＋1＜（3－2a，得a＋1＞3－2a＞0或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a，解得a＜－1或＜a＜， 所以实数a的取值范围是（－∞，－1）∪（，）. 11.B　当0＜m≤1时，≥1，y＝（mx－1）2在[0，1]上单调递减，值域为[（m－1）2，1]；y＝＋m在[0，1]上单调递增，值域为[m，1＋m]，此时两个函数图象有且仅有一个交点.当m＞1时，0＜＜1，y＝（mx－1）2在［，1］上单调递增，所以要与y＝＋m的图象有且仅有一个交点，需（m－1）2≥1＋m，即m≥3.综上所述，0＜m≤1或m≥3.故选B. 12.AB　f（x）＝＝，当m，n是奇数时，f（x）是奇函数，故A中的结论正确；当m是偶数，n是奇数时，f（x）是偶函数，故B中的结论正确；当m是奇数，n是偶数时，f（x）在x＜0时无意义，故C中的结论错误；当0＜＜1时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增，故D中的结论错误.故选A、B. 13.9　解析：由题目可知加密密钥y＝xα（α是常数）是一个幂函数，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值.由题意得2＝4α，解得α＝，则y＝.由＝3，得x＝9. 14.解：（1）由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3， 又f（x）为偶函数，则m＝3， 所以f（x）＝x2. （2）g（x）＝x2－ax－3＝（x－）2－3－在[1，3]上不单调， 则对称轴x＝满足1＜＜3. 即2＜a＜6. 所以实数a的取值范围为（2，6）. 15.　6　解析：设幂函数f（x）＝xα，因为函数f（x）的图象过点（9，3），所以f（9）＝9α＝3，解得α＝，所以f（x）＝.又f（a）f（b）＝3，所以＝3且a＞0，b＞0，即ab＝9，所以a＋2b≥2＝6，当且仅当a＝2b，即a＝3，b＝时取等号，所以a＋2b的最小值是6. 16.解：（1）∵m∈N＋，∴m2＋m＝m（m＋1）为偶数. 令m2＋m＝2k，k∈N＋，则f（x）＝， ∴f（x）的定义域为[0，＋∞），且f（x）在[0，＋∞）上是增函数. （2）由题意可得＝＝，∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2（舍去）， ∴f（x）＝， 由（1）知f（x）在[0，＋∞）上是增函数， ∴f（2－a）＞f（a－1）等价于2－a＞a－1≥0，解得1≤a＜，故实数a的取值范围为［1，）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $