精品解析：新疆昌吉回族自治州第二中学2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试卷

高一第二学期期末考试数学试卷 一、单选题 1. 已知复数，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 2. 某社区有老年人240人，中年人360人，青年人400人．为了解居民的健康意识，计划采用按比例分层抽样的方法从全体居民中抽取一个容量为50的样本，则应从中年人中抽取的人数为（ ） A. 10 B. 12 C. 18 D. 20 3. 已知向量，设的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 4. 某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有5张抽奖券，其中2张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李不能获得奖品的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 某气象爱好者为了解本地冬季的气温变化规律，特记录了本地过去10天的最低气温的数据（单位：℃），结果如下：7，7，5，2，3，6，6，7，4，3，则这10天的最低气温的（ ） A. 极差为4 B. 中位数为6 C. 平均数为5 D. 方差为3 6. 如图，在中，为边上靠近的三等分点，若为的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的高为（ ） A. B. C. D. 8. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且边BC上的中线长等于，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 二、多选题 9. 某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力（每项能力的指标值满分均为5分，分值高者为优），绘制如图所示的六维能力雷达图，图中点表示甲的创造能力指标值为4，点表示乙的空间能力指标值为3，则下列叙述正确的是（ ） A. 乙的记忆能力优于甲 B. 乙的观察能力优于创造能力 C. 甲的六大能力整体水平优于乙 D. 乙的六大能力比甲较均衡 10. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（ ） A. A与B独立 B. B与C对立 C. D. 11. 如图，正方体棱长为，、、分别为棱，，的中点，是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与直线所成的角为 B. 平面与平面夹角的余弦值为 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 过、、三点的平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题 12. 某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为6，9，，，，，，，则这8个数据的上四分位数是____________． 13. 一颗质地均匀的骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…、6点的标记，若掷两次骰子，则向上的一面出现的点数至少有一次是6点的概率是___________． 14. 已知点P为边长为2的等边外接圆⊙O上的一个动点，则的取值范围是______ 四、解答题 15. 如图，在直三棱柱中，，，，．点，分别为棱，的中点． （1）证明：直线平面； （2）求直三棱柱的表面积及体积． 16. 据网络平台最新数据，截止到2025年6月5日15时，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图． （1）估计观看此电影的观众的年龄的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）已知落在的平均年龄是27岁，方差是7，落在的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数和方差； 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记两组数据总的样本平均数为，则总的样本方差． 17. 甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响． （1）求恰好比赛3局后甲获胜的概率； （2）求甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，ΔABC的面积为，若，且有. （1）求； （2）若的面积为=，求，； （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 19. 《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在四面体中，底面，平面平面． （1）求证：四面体为鳖臑； （2）若，，M是的中点． （ⅰ）求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）已知D，E分别在线段，上移动，若平面，求线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一第二学期期末考试数学试卷 一、单选题 1. 已知复数，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模的计算公式计算即可. 【详解】因为， 所以. 2. 某社区有老年人240人，中年人360人，青年人400人．为了解居民的健康意识，计划采用按比例分层抽样的方法从全体居民中抽取一个容量为50的样本，则应从中年人中抽取的人数为（ ） A. 10 B. 12 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【详解】设应从中年人中抽取的人数为. 3. 已知向量，设的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意知，，则， ，则不成立，A错误； ，，则与不平行，B错误； ，，则不成立，C错误； ，则， 则， 又，，D正确． 4. 某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有5张抽奖券，其中2张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李不能获得奖品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先写出5张抽奖券中，抽取2张的所有可能情况，再选出满足题意的可能情况，根据古典概型公式，即可得答案. 【详解】2张有奖品的抽奖券记为A、B，3张没有奖品的抽奖券记为a，b，c， 则5张抽奖券中，抽取2张有：，共10种可能， 小李不能获得奖品的情况：，共有3种可能， 所以小李不能获得奖品的概率. 故选：B 5. 某气象爱好者为了解本地冬季的气温变化规律，特记录了本地过去10天的最低气温的数据（单位：℃），结果如下：7，7，5，2，3，6，6，7，4，3，则这10天的最低气温的（ ） A. 极差为4 B. 中位数为6 C. 平均数为5 D. 方差为3 【答案】C 【解析】 【分析】根据样本数据的极差、中位数、平均数、方差的定义分别求出结果，即可判断出答案. 【详解】选项A：最低气温的数据（单位：℃）的最大值为7，最小值为2，故极差为，故A错误； 选项B：把最低气温的数据（单位：℃）从小到大排序为：2，3，3，4，5，6，6，7，7，7， 这10个数据的中位数为第五个数和第六个数的平均数，即为，故B错误； 选项C：最低气温的平均数为，故C正确； 选项D：最低气温的方差为，故D错误. 故选：C. 6. 如图，在中，为边上靠近的三等分点，若为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量运算法则计算即可. 【详解】因为为边上靠近的三等分点， 所以， 所以 , 因为为的中点， 所以， 所以. 7. 已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据球的体积公式求出外接球半径，再利用三角形中的勾股定理列出方程即可求解. 【详解】设正四面体的外接球半径为，则由可得， 设正四面体的高为，棱长为， 由于正四面体的底面为正三角形，因此底面外接圆的半径， 又外接球球心到底面的距离为， 故由勾股定理可得，， 代入，解得正四面体的高. 8. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且边BC上的中线长等于，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义将原等式变形为，利用正弦定理和三角恒等变换的应用求得.根据和数量积的定义与运算律，建立关于的方程，解之即可. 【详解】如图，为的中点， ， 由， 得， 即， 由正弦定理，得， 即， 得， 由，得，又， 所以. 由，得， 又，， 所以，整理得， 由，解得. 故选：A 二、多选题 9. 某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力（每项能力的指标值满分均为5分，分值高者为优），绘制如图所示的六维能力雷达图，图中点表示甲的创造能力指标值为4，点表示乙的空间能力指标值为3，则下列叙述正确的是（ ） A. 乙的记忆能力优于甲 B. 乙的观察能力优于创造能力 C. 甲的六大能力整体水平优于乙 D. 乙的六大能力比甲较均衡 【答案】BC 【解析】 【分析】根据六维能力雷达图读取甲、乙两名选手的各项能力指标值，通过比较具体数值判断A、B选项；通过计算总分判断整体水平判断C选项；通过计算方差判断均衡性判断D选项. 【详解】由雷达图可知，甲、乙两名选手的六项能力指标值如下： 甲：推理3，计算4，观察4，记忆5，空间5，创造4； 乙：推理5，计算5，观察4，记忆4，空间3，创造3. 对于A：甲的记忆能力指标值为5，乙的记忆能力指标值为4， 因为，所以甲的记忆能力优于乙，故A错误； 选项B：乙的观察能力指标值为4，乙的创造能力指标值为3， 因为，所以乙的观察能力优于创造能力，故B正确； 选项C：甲的六大能力指标值之和为， 乙的六大能力指标值之和为， 因为，所以甲的六大能力整体水平优于乙，故C正确； 选项D：，， 甲的方差， 乙的方差，， 所以甲的六大能力比乙较均衡，故D错误. 10. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（ ） A. A与B独立 B. B与C对立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A，，，且, 因为，所以与独立. 选项B，因为， ，所以与不对立. 选项C，. 选项D，. 11. 如图，正方体棱长为，、、分别为棱，，的中点，是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与直线所成的角为 B. 平面与平面夹角的余弦值为 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 过、、三点的平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，取的中点，连接，由异面直线所成角的定义得为所求角，即可求解；对B，利用定义求出二面角的平面角，再由几何关系，即可求解；对C，结合题设条件，利用球的定义，即可求解；对D，根据条件求出过、、三点截面，再由正六边形的性质，即可求解. 【详解】对于A，如图1，取的中点，连接，则， 又，所以， 所以为异面直线与直线所成的角或其补角， 易知，所以，故A正确； 对于B，如图1，过作垂直的延长线于， 因为平面，平面，则， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，所以为二面角的平面角， 在中，，，， 所以， 则平面与平面夹角的余弦值为，故B正确； 对于C，由知点轨迹为以为球心，为半径的球与正方体表面的交线，如图1， 由正方体棱长为得，交线为三段半径为的四分之一圆，长度为，所以C错误； 对于D，如图2，设点是棱中点，连接并延长，分别交的延长线于， 连接交于，结合正方体的结构特征及平面的性质有均为中点， 根据平面的基本性质知，过三点的平面截正方体所得截面为正六边形， 又边长，则正六边形的面积为，所以D正确. 三、填空题 12. 某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为6，9，，，，，，，则这8个数据的上四分位数是____________． 【答案】## 【解析】 【详解】数据升序排列为：6，9，，，，，，， 上四分位数的位置为， 位置为整数，取第项的平均值． 13. 一颗质地均匀的骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…、6点的标记，若掷两次骰子，则向上的一面出现的点数至少有一次是6点的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出掷两次骰子的试验含有的基本事件总数，再求出所求概率的事件含有的基本事件数，进而求出概率. 【详解】掷两次骰子的试验有个基本事件， 向上的一面出现的点数至少有一次是6点的事件含有的基本事件为： ，共11个， 所以向上的一面出现的点数至少有一次是6点的概率. 故答案为： 14. 已知点P为边长为2的等边外接圆⊙O上的一个动点，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】利用恒等式，将与建立联系，再通过的范围求的取值范围. 【详解】连接并延长交于，同时交圆于，由等边的性质知是的中点，且， ， ， 当点P在圆上运动时，P位于C处时，有最大值为； 当P位于Q处时，有最小值为； 所以， 所以. 四、解答题 15. 如图，在直三棱柱中，，，，．点，分别为棱，的中点． （1）证明：直线平面； （2）求直三棱柱的表面积及体积． 【答案】（1）如图，连接， 因为点，分别为棱，的中点，则， 又平面，平面， 所以直线平面. （2）表面积为，体积为 【解析】 【分析】（1）连接，根据条件得，利用线面平行的判定定理，即可证明； （2）根据条件，利用直棱柱的性质，直接求出各个面的面积，即可求出表面积，再由棱柱的体积公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，， 则，所以， 所以， 又三棱柱是直三棱柱，所以侧棱垂直底面， 又， 则三棱柱的侧面积为， 所以直三棱柱的表面积， 直三棱柱的体积为. 16. 据网络平台最新数据，截止到2025年6月5日15时，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图． （1）估计观看此电影的观众的年龄的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）已知落在的平均年龄是27岁，方差是7，落在的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数和方差； 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记两组数据总的样本平均数为，则总的样本方差． 【答案】（1）众数为，平均数为，中位数为； （2）平均数，方差. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中众数、平均数和中位数的定义及计算公式直接求解； （2）根据直方图求出两组数据的频率之比即为样本量之比，利用分层抽样合并后的平均数和方差公式进行计算. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，最高矩形对应的区间为， 所以众数为该区间的中点值，即. 平均数为： . 因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为，所以中位数位于区间内. 设中位数为，则， 解得. 故估计观看此电影的观众的年龄的众数为，平均数为，中位数为. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，落在的频率为，落在的频率为. 设落在的样本量为，落在的样本量为，则，即，则. 由题意知，，；，. 则合并后的平均数. 合并后的方差   . 故两组年龄合并后的平均数为，方差为. 17. 甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响． （1）求恰好比赛3局后甲获胜的概率； （2）求甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）记“甲在第局获胜”为事件，“恰好比赛3局后甲获胜”为事件，由并应用独立事件乘法公式求概率； （2）记“甲在4局以内（包含4局）赢得比赛”为事件，则，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率. 【小问1详解】 记“甲在第局获胜”为事件，“恰好比赛3局后甲获胜”为事件， 所以，则， 所以恰好比赛3局后甲获胜的概率为. 【小问2详解】 记“甲在4局以内（包含4局）赢得比赛”为事件，则， 因为， 且， 所以， 即甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率为. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，ΔABC的面积为，若，且有. （1）求； （2）若的面积为=，求，； （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）使用正弦定理角化边，再使用余弦定理求解即可； （2）利用三角形的面积公式和余弦定理求解即可； （3）利用三角形的内角和及得到，使用二倍角公式与两角差的余弦公式得到，利用锐角三角形的条件得到角的范围，转化为三角函数的范围求解. 【小问1详解】 已知，由正弦定理得， 即，由余弦定理得， 因为，所以. 【小问2详解】 由三角形面积公式，得①， 由余弦定理知，即，得②， 由①②解得，. 【小问3详解】 因为，，所以，则，即， ， 又 ，所以， 因为为锐角三角形，， 所以，解得，则， 所以，所以， 即的取值范围是. 19. 《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在四面体中，底面，平面平面． （1）求证：四面体为鳖臑； （2）若，，M是的中点． （ⅰ）求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）已知D，E分别在线段，上移动，若平面，求线段长度的最小值． 【答案】（1）证明：如图，在平面内过点作于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为底面，平面， 所以，所以为直角三角形， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为直角三角形， 所以四面体为鳖臑； （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）在平面内过点作于点，根据面面垂直得到平面，再利用线面垂直证明即可； （2）（ⅰ）取的中点，证明平面即可求解；（ⅱ）过点作，利用线面平行证明面面平行，再利用面面平行的性质定理得，设，利用相似三角形分别用表示，再利用勾股定理转化为二次函数求最值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）如图，取的中点，连接， 因为底面，底面，所以， 因为，所以， 又，平面，所以平面， 所以即为与平面所成的角， 因为，，M是的中点， 所以，，所以， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为； （ⅱ）如图，过点作，垂足为，连接， 由（1）知，，平面，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，，平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 设，则，， 易知，所以，即，得， 所以， 则当时有最小值 所以线段长度的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $