精品解析：新疆喀什地区巴楚县第二中学2025-2026学年第二学期高一年级期末考试数学试题

2025-2026学年第二学期期末测试卷 高一年级数学 考生须知： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．本卷由试题卷和答題卡两部分组成，其中试题卷共4页，答题卡共4页.要求在答题卡上答题，在试题卷上答题无效. 3．答题前，请先在答题卡上认真填写姓名、准考证号和座位号.要求字体工整、笔迹清楚. 4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效：在草稿纸、试题卷上答題无效. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 数据的80%分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 6.4 D. 7 3. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 4. 某校有高中生2000人，其中高一年级600人，高二年级700人，高三年级700人．为了解学生的视力情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，则应抽取高一年级的人数为（ ） A. 20 B. 30 C. 35 D. 40 5. 小李在花盆中种下2粒花卉种子，若每粒种子发芽的概率均为0.8，则这两粒种子至少有1粒发芽的概率为（ ） A. 0.16 B. 0.32 C. 0.64 D. 0.96 6. 设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ）． A. 6 B. C. 12 D. 7. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 8. 为了普及党史知识，某校举行了党史知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.则甲、乙两人共答对至少3道题的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据为，且这组数据的众数为8，那么下列选项正确的是（ ） A. 中位数是8 B. 平均数是6 C. D. 10. 已知m、n是空间中两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 11. 若向量，满足，，则（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 在上的投影向量为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若事件与事件互斥，且，，则______. 13. 已知复数是关于的方程的根，则_________________. 14. 如图，已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，则灯亮的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学名（记为），女同学名（记为），现从中随机选出名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序）. （1）写出这个随机试验的样本空间； （2）设事件为“参赛的名同学都是女同学”，写出事件所对应的子集，并求出事件发生的概率； （3）求事件“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”发生的概率. 16. 已知向量，且与的夹角为． （1）求的值； （2）求的值； （3）若与垂直，求的值． 17. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的周长. 18. 如图，边长为3的正方形ABCD中，点E是线段AB上的动点，点F是线段BC上的动点，均不含端点，且满足，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P. （1）求证：； （2）当时，求三棱锥的体积. 19. 为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）估计这种植物果实重量的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末测试卷 高一年级数学 考生须知： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．本卷由试题卷和答題卡两部分组成，其中试题卷共4页，答题卡共4页.要求在答题卡上答题，在试题卷上答题无效. 3．答题前，请先在答题卡上认真填写姓名、准考证号和座位号.要求字体工整、笔迹清楚. 4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效：在草稿纸、试题卷上答題无效. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，化简，可得答案. 【详解】, 故复数的虚部为2， 故选：C 2. 数据的80%分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 6.4 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由百分位数的计算公式即可求解. 【详解】共8个数， 由， 故第7个数9为80%分位数. 3. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为平面向量，，且， 所以 . 4. 某校有高中生2000人，其中高一年级600人，高二年级700人，高三年级700人．为了解学生的视力情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，则应抽取高一年级的人数为（ ） A. 20 B. 30 C. 35 D. 40 【答案】B 【解析】 【详解】由分层抽样的等比例性质，应抽取高一年级的人数为人. 5. 小李在花盆中种下2粒花卉种子，若每粒种子发芽的概率均为0.8，则这两粒种子至少有1粒发芽的概率为（ ） A. 0.16 B. 0.32 C. 0.64 D. 0.96 【答案】D 【解析】 【分析】结合对立事件及独立事件的乘法公式计算即可. 【详解】这两粒种子至少有1粒发芽的概率为． 6. 设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ）． A. 6 B. C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出角的正弦值，然后利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】由已知可得，且 所以，. 所以，. 7. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】设圆台较小底面半径为，较大底面半径为，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍， 所以，得到. 因为圆台的母线长为3，侧面积为，所以， 将代入得，解得. 所以圆台较小底面的半径为3. 8. 为了普及党史知识，某校举行了党史知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.则甲、乙两人共答对至少3道题的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用相互独立事件、互斥事件概率公式求出，再利用利用相互独立事件、互斥事件求解作答. 【详解】依题意，，而，解得，， 设“甲同学答对了i题”，“乙同学答对了i题”，（）， 则，，，， 甲、乙两人共答对至少3道题的事件， 因此， 所以甲、乙两人共答对至少3道题的概率是． 故选：C 【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据为，且这组数据的众数为8，那么下列选项正确的是（ ） A. 中位数是8 B. 平均数是6 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助众数定义可得，再利用中位数与平均数定义计算即可得. 【详解】由这组数据的众数为8，故，则这组数据为， 则这组数据中位数是8，平均数为， 故A、B、D正确，C错误. 10. 已知m、n是空间中两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】AB 【解析】 【详解】A选项，由于，，由面面平行的性质，可得，故A正确； B选项，若，，由面面平行的判定定理可得，故B正确； C选项，若，，则，可能平行、相交或异面，故C错误； D选项：若，，，则或异面，故D错误. 11. 若向量，满足，，则（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】由已知可得可判断B；利用向量的夹角公式求解可判断A；求得可判断C；利用投影向量的定义求解可判断D. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以，故B正确； 所以，又，所以，故A错误； ，所以与不垂直，故C错误； 因为， 所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若事件与事件互斥，且，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式，求得，再由对立事件的概率公式，即可求解. 【详解】因为事件与事件互斥，则， 又因为，所以. 故答案为：. 13. 已知复数是关于的方程的根，则_________________. 【答案】26 【解析】 【分析】法一，由也是方程的根，然后利用韦达定理可知；法二，将代入方程，利用复数相等概念建立方程求解求可得. 【详解】法一：因复数是关于的方程的根， 则其共轭复数也是方程的根， 所以由韦达定理得. 法二：因为复数是关于的方程的根， 所以， 解得. 14. 如图，已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，则灯亮的概率为______． 【答案】##0.8125 【解析】 【分析】先计算出灯不亮的概率，进而利用对立事件求概率公式进行计算. 【详解】记开关闭合为事件A，B，C，D， 因为开关断开且开关至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮， 所以灯不亮的概率为, 所以灯亮的概率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学名（记为），女同学名（记为），现从中随机选出名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序）. （1）写出这个随机试验的样本空间； （2）设事件为“参赛的名同学都是女同学”，写出事件所对应的子集，并求出事件发生的概率； （3）求事件“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”发生的概率. 【答案】（1） （2），； （3） 【解析】 【分析】（1）列举法写出样本空间； （2）由题意写出，根据古典概型求概率； （3）根据题意写出，根据古典概型求概率. 【小问1详解】 从名同学中选取名同学参赛，这个随机试验的样本空间为 . 【小问2详解】 由事件为“参赛的2名同学都是女同学”知，共1个样本点， 由（1）知样本点个数为，所以. 【小问3详解】 设 “参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”， 则，共个样本点. 所以. 16. 已知向量，且与的夹角为． （1）求的值； （2）求的值； （3）若与垂直，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量，且与的夹角为，利用数量积的定义求解； （2）由求解； （3）根据与垂直，由求解. 【小问1详解】 因为向量，且与的夹角为， 所以； 【小问2详解】 因为向量，且， 所以， ； 【小问3详解】 因为与垂直， 所以， ， 解得. 17. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 根据正弦定理及，得 ， ，即，， 在中，，，又. 【小问2详解】 ，. 由余弦定理得，. ，. 故的周长 18. 如图，边长为3的正方形ABCD中，点E是线段AB上的动点，点F是线段BC上的动点，均不含端点，且满足，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P. （1）求证：； （2）当时，求三棱锥的体积. 【答案】（1） A，C重合于P，∵，∴，∵，∴， 又平面，平面，，∴平面， ∵平面PEF，∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由线线垂直证平面，再证； （2）由等体积法求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知得，，， 则在中，边上的高. 则， ∴. 19. 为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）估计这种植物果实重量的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率． 【答案】（1） （2） 平均数为 ，中位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）由频率之和为1即可求出； （2）由频率分布直方图结合平均数和中位数求法即可求出； （3）列出任取2个的所有基本事件，即可求出概率. 【小问1详解】 由图知，组距，由，得． 【小问2详解】 各组中点值和相应的频率依次为： 中点值 30 35 40 45 50 频率 0.1 0.2 0.375 0.25 0.075 所以， 果实重量在的频率为， 果实重量在的频率为， 果实重量在的频率为， 所以中位数满足关系， 由，解得． 【小问3详解】 由已知，果实重量在和内的分别有4个和3个， 分别记为和， 从中任取2个的取法有： ， ， ，共21种取法， 其中都是优质果实的取法有，共3种取法， 所以抽到的都是优质果实的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $