新疆乌鲁木齐市实验学校2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试卷

**基本信息** 2025-2026学年高一年级期末数学检测，覆盖复数、向量、立体几何、统计概率等核心知识，通过解答题分层设计（如立体几何三问、统计案例分析），考查空间观念、数据意识及推理能力，适配高一综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、向量垂直、立体几何位置关系|基础概念辨析，如数据变换极差方差（题5）| |多选题|3/18|复数性质、解三角形判定|多角度思维，如半正多面体线面角（题11）| |填空题|3/15|斜二测画法、百分位数、向量旋转|空间直观与运算结合，如向量旋转坐标（题14）| |解答题|5/77|立体几何证明与计算、统计概率应用|分层设计，如正方体线面垂直证明（题16）、商店促销概率模型（题19）|

2025-2026学年第二学期高一年级期末质量检测数学学科问卷 时长：120分钟 总分: 150分 一、单选题 (每小题5分，共40分) 1. 已知z=1+i, 则 =（ ） A.-i B.i C. -1 D.1 2. 已知向量, ,若 则λ=（ ） A. C. -1 D.3 3.若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是( ) A、若m∥,n⊂, 则m∥n B. 若m⊥,m⊥, 则⊥ C. 若m∥,m⊥, 则⊥ D. 若m⊂,⊥, 则m⊥ 4.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 ，则圆锥的体积为( ) A. 2 C. 6 D. 9 5. 已知数据x₁,x₂,…, x₂₀的极差为4,方差为2,则数据3x₁+5, 3x₂+5,…, 3x₂₀+5的极差和方差分别是( ) A. 4, 2 B. 4, 18 C 12, 2 D. 12, 18 6.为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者. 下列说法中，错误的是 ( ) A.服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低 B.未服药组的指标y的均值和方差比服药组的都高 C.以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标X低于100的概率约为0.94 D.这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5 7.在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，A₁表示事件“第1 次取出的卡片上的数字为2”，A2表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，A3表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7`，则（ ） A. A₂ 和A₁为对立事件 B. A₁与A₂为相互独立事件 C A₁与A₃为相互独立事件 D. A₁与A₂为互斥事件 8. 已知正三棱台ABC-A₁B₁C₁的体积为AB=6, 则A1A与平面ABC所成角的正切值为( ) A. B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题 (每小题6分，共18分) 9.设复数z的共轭复数为z，i为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. 复数z=3-4i的共轭复数的模|z|=5 B.若复数 是纯虚数,则得m=1或m=-4 C.若复数z=3-4i对应的向量为，1+i对应的向量为，则向量对应的复数为-2+5i D.若复数z=3-4i是关于x的方程 的一个根，则p+q=19 10.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c, 则下列说法正确的是 ( ) A. 若A>B, 则sinA>sinB B. 若a:b:c=4:5:6 则△ABC是钝角三角形 C. 若sin2A=sin2B, 则△ABC为等腰三角形 D. 若A=30°, b=4、a=3, 则△ABC有两解 11.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美，二十四等边体就是一种半正多而体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示)，若它的所有棱长都为 ,则( ) A. AB与PF所成角为 B.该二十四等边体的体积为 C.该二十四等边体外接球的表面积为8π D. PN与平面 EBFN所成角的正弦值为 三、填空题 (每小题5分，共15分) 12.如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，则原图形周长是 . 13. 样本数据7, 8, 10, 11, 23, 24, 30, 35 的第40百分位数为 . 14.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知点A(1，2)，点把点B绕点A沿顺时针方向旋转 角得到点P，则点P的坐标为 ，向量在向量上的投影向量为 . 四、解答题(第15题13分, 第16题15分, 第17题15分, 第18题17分, 第19题17分, 共77分) 15. 记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a, b, c, 已知 (1)求 B; (2)若△ABC的面积为 求c. 16.如图，在正方体. 中, AB=1. (1)作出过B₁C与A₁B平行的平面，并证明； (2)证明: BC₁⊥平面A₁DCB₁ ; (3)求直线A₁B和平面A₁DCB₁所成的角. 17. (1)已知A(2,3), B(4,-3),点P在线段AB的延长线上,且 求点 P的坐标； (2)若是夹角为60°的两个单位向量，求： 的值；(2)函数 的最小值； (3)请在以下三个结论中任选一个用向量方法证明. ①余弦定理： ②平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和： ③三角形的三条中线交于一点。 注：如果选择多个结论分别解答，按第一个解答计分。 18.学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试，已知参加此次测试的学生的分数xi(i=1,2,……,50)全部介于45分到95分之间(满分100分),学校将所有测试分数分成5组:[45,55),[55,65),…….[85，95]，整理得到如图所示的频率分布直方图(同组数据以这组数据的中间值作为代表)。 (1)求m的值. (2)估计此次数学测试分数的平均数x与中位数；(保留一位小数) (3)若采用分层随机抽样的方法，从分数在[65，85)内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况、再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在[75，85)内的概率. 19.某商店开业促销，推出“掷骰子赢礼金券”活动，规则为：将两枚质地均匀的骰子同时投掷一次，根据点数情形赢得一等奖、二等奖、三等奖.记事件A为“两枚骰子点数相同”，事件B为“两枚骰子点数相连”，事件C为“两枚骰子点数不同但都是奇数或都是偶数”. (1)以事件A、B、C发生的概率大小为依据(概率最小为一等奖，最大为三等奖)，求二等奖所对应的事件； (2)若除上述三个事件之外的点数情形均没有奖，每位参与活动的顾客有两次投掷机会，求该活动中每位顾客中奖的概率。 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 一、 单选题（每小题5分，共40分） 1.A 2.D 3.C 4.B 5.D 6.A 7.B 8.C 二、多选题（每小题6分，共18分） 9.A,C,D 10.A,D 11.B,C 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.18 13.10.5 142-9 四、解答题（共77分） 15.(13分) 解：(1)由余弦定理， a2+b2-c2=2 ab cos C。 又已知a2+b2-c2=V2ab, 所以2 abcosC=2ab,即cosC=2 2 因为C∈(0，m,所以C= Γ4 又已知sinC=2cosB,所以sin开=2cosB, 解得osB=克因为B∈(0，m,所以B=于 2=92cosB, 即2 (②)(1)知B=子C=平， 41 所以A=π-B-C=π-亚.严=5π 3412 △ABC的面S积=0 csin B=3+3。 由正弦定理AC,得a=A _=C sinC 所以s=号2csnB=B-3+, 2sinC 其中nA=sn受=sn5) V6+V2 4 sin B=93 2， sinC=- 2 2 c2.6+2.3 4 代入得： ,2 2=3+3 2 2 d8+6=3+5392+86-3+3c23+85-3+5解得c 16V2 16V2 16 16.(15分) 解：(I)作图与证明：连接AD和BD。平面ABD即为所求平面c。 证明：在正方体中，AD‖B,C。 因为B,CC平面B,CD,AD￠平面B,CD, 所以ADI平面BCD。同理，A1B|DC。 因为D,CC平面B,CD,A,B￠平面B,CD,所以A1B平面B,CD, 又AD0AB=A,所以平面A,BD‖平面B,CD。 16'所以c=4 因为BCC平面BCD,所以BC‖平面ABD。 因为ABC平面ABD,所以A1B‖平面A,BD。 因此，过B,C与AB平行的平面即为平面A1BD。 (2)证明： 在正方体中，侧面BCC1B是正方形，所以BC1⊥B,C。 又因为AB1⊥平面BCC1B1,且BC1C平面BCC1B1, 所以AB1⊥BC1。 因为BCnA1B1=B1,且B1C,A1B1C平面A1DCB, 所以BC1⊥平面ADCB1。 (3)由(2)知，BC1⊥平面A1DCB1。 设BC1与BC交于点0，则O为BC1的中点。连接A1O。 因为A1BC平面ADCB,所以∠BA1O即为直线A1B与平面A,DCB所成的角。 在△A0中，AB=T下-2，B0吉C-要. 所以sin∠BA,0=B0_2/2_1 A1B22 所以∠BA1O=30。即直线A1B和平面A1DCB所成的角为30°。 17.(15分) 解： (①)设P(x,y。因为点P在线段AB的延长线上，且|API=|PB|, 所以AP=号PB。AP=x-2,y-3,PB=4-X,3-y 所以x-2y-3=24x,3-y x-2=21 3 x=4 8 -3 31 33 所以点P的坐标为号，1。 X= 22少 2y=2 y=1 (2)已知|à|=1,1b|=1,(a,b)=60°， 所以a6=11os60克 01a262=(a6j=-ā-6+262=1-号+2 2449 所以1a61= 2。 ()f(x)=|a-xb|=(à-xb2=Va-2xa·b+x26=V1-x+x2。 当x=为方，fxk得最小信.加--得-男 -1-1 (3)选择结论①：余弦定理 在△ABC中，设AB=C,AC=b,BC=a。 则a=AC-AB=b-c。 |a|2=(i-c2=b2-2b·c+2a2=b2+c2-2 bccos A。 即a2=b2+c2-2 bc cos A,余弦定理得证。 18.(17分) 解： (1)由频率分布直方图可知，所有矩形面积之和为1。 0.006+0.014+m+0.036+0.020）×10=1m=0.024 (2)平均数 x=50×0.006+60×0.014+70×0.024+80×0.036+90×0.020）×10=0.3+0.84+1.68+2.88+1.8)×10= 中位数： 前三组频率和为 (0.006+0.014+0.024)×10=0.44<0.5。 前四组频率和为0.006+0.014+0.024+0.036)×10=0.8>0.5。 所以中位数在[75,85)组内。 设中位数为x,则0.44+(x-75)×0.036=0.5。x≈76.7。 所以平均数约为75.0，中位数约为76.7。 (3)分数在[65,85)内的频率为(0.024+0.036)×10=0.6. 其中[65,75)的频率为0.24，[75,85)的频率为0.36。 采用分层抽样抽取5人，则从[65,75)中抽取 5×024=2人，记为a,b。 0.6 从[75,85)中抽取5×036=3人，记为c,de. 0.6 从这5人中任选2人，总共有10种选法。 “至少有一人分数在[75,85)内”的对立事件是“2人分数都在[65,75)内”。 2人都在[65,75)内的选法有1种。 所以所求概率P=1- 19 1010° 19.(17分) 解：(1)投掷两枚骰子，总共有6×6=36种结果。 事件A（点数相同)：(1,1)，(2,2)，3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，共6种。 P(A)=6=1 366 事件B（点数相连)：(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，.(4,3)，(4,5)，5,4).(5,6，(6,5)，共10种。 P(B)0-5 3618° 事件C(点数不同但同奇偶)： 同奇：(1,3)，(3,1)，(1,5)，(5,1)，3,5)，(5,3)，共6种。 同偶：(2,4)，(4,2)，(2,6)，(6,2)，(4,6)，(6,4)，共6种。 共12种。 P(C=2=1 363 因为P(A)<P(B)<P(C),所以A为一等奖，B为二等奖，C为三等奖。 二等奖所对应的事件是B。 (2)中奖的事件为AUBUC。 因为ABC互际，所以P中奖-PA+PE+PC)-+号品器 不中奖的概率为17=2 99° 顾客有两次投掷机会，只要有一次中奖就算中奖。 所以顾客中奖的凝率为1-P两次都不中奖=1-子=1·。4 81819