辽宁沈阳市回民中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

沈阳市回民中学2024级高二下学期期末考试 数学 试卷满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（每小题5分） 1．已知全集，，，则（ ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 4．定义在上的偶函数在上单调递增，定义在上的奇函数满足当时，．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 5．已知数列满足，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知，都是锐角，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 8．已知是定义在上的函数，其导函数是，且当时总有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题5分） 9．下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 10．已知数列满足，且，数列满足，则下列说法正确的是（ ） A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C．数列的通项公式为 D．数列的前项和 11．已知，，则下列结论正确的是（ ） A．若在处取得极值，则 B．当时，函数的最小值为 C．当时，函数有个零点 D．若对任意，有恒成立，则的取值范围是 三、填空题（每小题6分） 12．已知正数、满足，则的最小值为__________． 13．已知是奇函数，则不等式的解集是__________． 14．在等比数列中是函数的极值点，则__________． 四、解答题 15．（13分） 设为实数，已知函数的最小值为． （1）求的值； （2）若，，，均为锐角，求． 16．（15分） 已知数列的前项和为，，数列是等差数列，且，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17．（15分） 已知函数，其中，且曲线在点处的切线与直线垂直， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数的单调区间． 18．（17分） 在中，． （1）求角； （2）若等差数列的首项的值等于角的值，且，求的通项公式； （3）在（2）条件下，设数列，求的前27项的和． 19．（17分）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，，求实数的取值范围； （3）若，且存在，，使得，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $《沈阳市回民中学2024级高二下学期7月份月考》参考答案 题号 3 5 6 > 8 10 答案 D A B D D A A B AD BD 题号 11 答案 AB 12525+1ao+j 14.2 15.(1)m=2 (2) a+B-3π 4 f(x)=2sinx- +m-2 【分析】(1)由三角恒等变换得 6 ,根据三角函数的性质求解即可： ,π)7V2 7√2 √2 f a+- sina cosa= (2)由 65, 可得 10,由同角的平方关系可得 10,进而求得 tana =7, 由两角的正切公式可得tan(a+B)=一1，结合+B的范围，即可得答案. f()=3 11 v3 2 Sinx+ cOSx+-COSx+ 3sinr-4×1+cosx+m 【详解】(1) 2 =3sinx-cosx +m-2 26 1 sinx-cosx +m-2 Γ2 2 =2sin x- +m-2 6 π sin x- 因为x∈R,所以(6)的最小值为-1， 故函数f(x)的最小值为m-4. 又因为于(x)的最小值为-2， 所以m-4=-2 解得m=2. (2)因为 f a+" 72 =2sina 72 所以（6 5,从而 ina= 10 又因为为锐角， cosa=Vi-sin2a=1- 8√2 所 0010 72 tana sina=10=7 cosa 2 故 10 tana+tanB 74 tan(+B)=1-tanctanB 1-7 4s1 3 又a,P均为锐角，所以a+B∈(O,π)， +B=3n 从而 Γ4. 16.(1)a=2×30,b.=4n-2(2)T=3"+2m2-1 【详解】(1)当n=1时，4=S=3-1=2 当n≥2时，0，=S,-S1=(3”--(31-1=3”-3=2×3叫 经检验，n=1时符合上式， 所以，0n=2×3"-1 由上可知，b=4=2,b2=a2=2×3=6 设b.}的公差为d,则d=b,-b=6-2=4, 所以，b。=b+(n-1)d=2+(n-1)×4=4n-2 即b。=4n-2 (2)由(1)得Cm=a,+b=2×3+(4n-2) 则数列cn}的前n项和n为： Tn=(a1+a2+…+an)+(6+b+…+bn). 7=S+n6+6) 2 7,=(3”-1)+n2+4n-2) 2 Tn=3”-1+2n2 所以，数列c}的前n项和T,=3”+2n2-1。 17.(I)a=-2.()单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3，+∞）. 1 【分折】()根据导数的几何意义先求出切线的斜率，再根据切线与直线"一4x+1 y= 垂直，斜率之积为 一1，即可求出： (Ⅱ)先求出函数f()的定义域，在定义域内解不等式f'()>0,可得增区间，解不等式∫'(x)<0可 得减区间. 【详解】(I) r间=x+1o咖r-4.f-12+受.f0=a-2 3 “曲线”=()在点Pf0》处的切线的斜率为a-2. :曲线y=f()在点P10)处的切线与直线'=4+1 y= 垂直， a-2y41. ..a=-2. ()由(I),知a=-2.f()=x+3-21n-4 1-是2g- xx 由题意知，函数定义域为(0，+∞) 所以，当x>0时，∫"(x)>0,解得x>3,"(x)<0,解得0<x<3. ∴函数()的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3，+∞) 247元 n- 18.(1)6 2)0,=3-6 (3)2 【分析】(1)根据三角形的性质，及二倍角的正弦公式即可求解； (2)根据等差数列的性质，及结合(1)即可求出a,}的通项公式： (3)结合(2)，根据分组求和，再利用等差数列的求和公式，特殊角的三角函数值，及其周期性即可求 解， 【详解】(1)ABC中，因为A+C=元-B,所以sin(A+C)=sinB, 又sin2B=V5sin(4+C),则2 2sinBcosB=V3sinB, COsB=V3 因为sinB≠0，所以 2, Bsπ 又B∈(0，元)，因此°6. @设等然数列a的公茶为山，装合1)有4-后. 又a,=3a,则4+4d=3(a+),解得 d=2a,= 3 27× +x27- (3)结合(2)有 4+a+a+.+a, 27(a+a,) （636 243π 2 2 2, ππ 2r=6 T= n=πsina,=πsin -n- 设 3 6),该函数的最小正周期 3 sin+sind +sindsind,+sin,sindsinsinsisinsnsin 6 2 6 6 2 6 5-2 sina +sindz++sinaz=0x4+sina +sind+sina=sin+sin+sin 6 2 6 247π 所以S2,=(a+a+a++a)+元sima+sina,+sima2+2n甲 2. .1 a≤e+ 19.(1)y=-x(2) e (3)证明见解析 【分析】(1)借助导数的几何意义计算即可得： 1,e a≤ (2)由题意“二eTx在x∈(0,1)上恒成立，参变分离后，构造函数求导后计算最小值即可得： (3)利用导数求出()单调性后，设<七，结合(x)正负性可得、范围，再利用比值换元法， Int tlnt nr-2- 可符1一1,6=1一1，即可将正明+x>2转化为证明-1+1>0在+)上恒成 .>0 立，构造相应函数并借助导数研究其单调性即可得. 【详解】(1)若a=2,则f(x)=e-2x,f'(x)=e+xe.(-1)-2=(1-x)e*-2 f'(0)=(1-0)e°-2=1-2=-1，又f(0)=0e-2×0=0, 故出线y=了()在点0，f(0》处的切线方程为y=-x, (2)由xe(0,1)时，f(x)≥-e,即xe-ar之-e,整理得ex, 68闭安+，a.则)日<0 故8(x)在(0，上单调递减，则 ase+l 82g0++。,ye (3)若a=0,则f()=e,f'()=e-e=(-xe, 故当xe(o,)时，f()>0,当x∈(L+o)时，f'(x)0, 故f(x)在(-0,1)上单调递增，在(L,+)上单调递减， 又x>0时，f()=e>0,x≤0时，f()=e*≤0， 则f(x)=f()>0,不妨设x<,则0<x<1<, 由f()=f(),则e=xe, 两边同取对数，可得n-=ln-戈， n点=x-xt=点>1 故 ,令，则t=为-为=在-为， 亚怕‘不【+1的 0<0-z -0 -2四=()4<y 0 的‘聚歌申丁(+)乎()4羿 0+业-+ （1+) 通 1-0本-1+可-j-(+zi(0.4 n -四=（2)4 ‘。+1亚墨的‘， 0<0-z -乙<四7+7 .I-1亚罂‘乙<x+x通 四品局品如月 1 【+1四21u四《沈阳市回民中学2024级高二下学期7月份月考》参考答案 题号 1 2 6 7 8 9 10 答案 ) A ⊙ D 0 A ® AD BD 题号 11 答案 AB 1.D 【详解】因为全集U={x∈N-1<x≤8={0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A={1,2,3},B={2,3,4,5}, 所以4A={0,4,5,6,7,8},故(dA)UB=0,2,3,4,5,6,7,8} 2.A 【分析】分别求解两个不等式对应的实数解集，再结合充分必要性定义判断题设条件间的关 系即可」 【详解】1≥1可化为0<x≤1，x-<1可化为0<x<2, 因为集合{x0<x≤1}是集合{x|0<x<2}的真子集， 所以】≥1是“-1<1的充分不必要条件 3.B 【分析】先利用对数运算性质求出sinxcosx的值，再结合同角三角函数平方关系求出 sinx+cosx的表达式，最后代入对数运算得到结果， 【详解】由对数有意义的条件得sir>0,cosx>0,因此sinx+cosx>0. 己知lg sinx+lg cosx=-1,可得lg(sinx.cosx)=-1, 所以sinx-cosx=l01= 10 (sinx+cosx)2=sin2 x+2sinx cosx+cos2x=1+2sinx cosx, 所以(sinx+cos)2=1+2×1-612 10510 结合sinx+cosx>0,得sinx+cosx= 12 V10 smc刘=隔-号-a2-e0-r1-s2 4.D 【分析】根据题意画出∫(x)的图象以及g(x)的大致图象，根据图象即可求解 【详解】根据题意可得∫(x)在(-∞，0)上单调递减，且∫(-5)=0. 答案第1页，共11页 因为g(x)为奇函数，所以g(x)的图象关于原点对称 画出g(x)的大致图象，如图所示，不妨设f(x)的图象如图所示， y-g(x) 易得g(x)与∫(x)的函数值异号的区间为(-0，-5)，（-1,0)，(1,5)， 所以不等式g(x)f(x)<0的解集是(-∞，-5)U(-1,0)U(1,5) 5.D 【分析】利用累加法求得4，利用裂项求和法求得正确答案， 【详解】依题意，a+1-2=an+21,4=6, 令n=1,得4-2=4+2,4=4-4=2， 又可得an1-a.=2n+2,a,-4-1=2n(n≥2)， 所以a.=4+(a3-4)+(4-4)+…+(a.-a1) =2+4++2n-2+20n=nn+1）, 2 当n=1时4=2也符合上式，所以a,=0+1),则上-11 a nn+1' 所u哈女女1}…0京品 442 a20 6.A 【详解】已知a是锐角，sina=4, a,B都是锐角，则0<a+B<元，又cos(a+B)i3 >0 则0+6子故ma列--号 sing=sin (a+B)-a=sin(a+B)cosa-cos(a+B)sina 答案第2页，共11页 1235416 13513565 7.A 【分析】先求函数导数，再根据题意将导函数为零转化为两个函数y=a和g(x) 2x有两个 交点，然后利用导数求g(x) 2x的单调性，进而确定g()图象，最后根据图象确定实数α 的取值范围即可. 【详解】因为f(x)=ae-x2,所以f'(x)=ae-2x, 由已知函数fx)有两个极值点可得有ae-2x=0两个解， 即v=a和g-2有两个交点，且g0-209, e 而当x<1时，g'(x)>0,g(x)在(-o,1)上单调递增， 当x>1时，g()<0,8(x)在(1，+0)上单调递减， 故g)s=80-名而x→时，86到→0， 当x→-0时，8(x)→-0；其大致图象如下： y=g(x) 01 若y=a别8闭-色有可个交点，只衡0a足放A晚 8.B 【分析】8)=儿国，求导可得g的-（国-f0,再利用单调性解不等式即可。 x 【详解】设g)=倒，g(四=)xf四0， x 则当x>0时，g(x)单调递增， )<,即四<1，又g2-2-1, ∴.8(x)<8(2),解得0<x<2. 9.AD 【详解】对于A,cos15°-m215°=cos30=5,故A正确 2 答案第3页，共11页 对于B,cos sinl≠sinl,故B错误： 对于C, sim40°+5 cos40°=sin40cos60°+cos40sin60°=sinl00°≠sin70°，故C错误； 对于D,tam1950=tam180°+15)=ianl5°=tm(45°-30）=1+tan45°，tan30° tan45°-tan30° 1⑤ 3=3-5 (3-3月 1+1.33+5(3+33- 一2-6523，放D正确 6 3 10.BD 【分析】首先通过递推公式构造等比数列求出{色}的通项，进而得到{a}的通项，再逐 一判断各选项，最后通过裂项相消法求前项和验证D选项. 【详解】选项A:计算得4=1,4=24+1=3，=2+1=7,4-4=2,4-4=4， 公差不相等，故{a}不是等差数列，A错误： 选项B:由4=2a-1+1变形得a,+1=2(a-1+1),即bn=2b1,且b=4+1=2, 因此{b,}是首项为2、公比为2的等比数列，B正确； 选项C:由等比数列通项公式得b=2×2”-1=2”,不是2+1，C错误； 2 11 选项D:先化简通项：3=2-1，故a442°-12*2-12， 前n项和裂项相消得 11.AB 【分析】利用导数讨论函数∫(x)的单调性和极值，即可得判断AB;对于C:分析可得 f(x)za1-h+1 ,结合单调性可得g(a)=1-a+】>0,即可判断C:对于D:举反例 说明即可、 【详解】因为f(x)=e-ar+1,则f'(x)=e-a, 若a≤0，则f'(x)=e-a>0,可知f(x)在定义域R内单调递增，∫(x)无极值： 若a>0,令f'(x)>0,解得x>na:令f'(x)<0,解得x<na: 可知f(x)在(-o,lha)内单调递减，在(na,+o)内单调递增， 答案第4页，共11页 则f(x)有极小值，无极大值，且f(x)的最小值为f(lna)=a-aha+1. 对于选项A:若f(x)在x=ln2处取得极值，则a>0且lna=ln2, 所以a=2,故A正确： 对于选项B:当a=1时，函数f(x)的最小值为f(ln1)=1-nl+1=2,故B正确： 对于选项C:当0<a<1时，则f(x)在(-o,na)内单调递减，在(lha,+o)内单调递增， 可得f(x)≥f(na=a-aha+1=a1-na+ 因为g(a=1-1na+上在(0,1)内单调递减，则g(a>g)=2>0, 可得f)≥a1-l+》>0,函数f)无零点，故c错误： a 对于选项D:若对任意x∈[1，+∞)，有f(x)≥0恒成立， 则f(1)=e-a+1≥20，解得a≤e+1, 可知a的取值范围不可能是[e+l,+o),故D错误. 12.1+2√2/2√2+1 【分析】由已知条件得出一+只+。+分，结合基本不等式求解即阿 a b 【详解】因为正数a、b满足a+2b=1,则 1+a_a+2b+0=1+ a b a b 2b+4≥1+2 a b 2b.-1+22. Va b [a+2b=1 a=V2-1 当且仅当 a 2b b-a 时，即当{ =1-V巨时，等号成立， a>0,b>0 故+只的最小值为1+2√2 a b 【分析】先根据奇函数的性质求出a的值，再判断函数f(x)的单调性，最后利用函数的奇 偶性与单调性求解不等式。 【详解】f(x)的定义域为R,因为f(x)为奇函数，所以f(0)=0,故1-a=0,即a=1. 代入可得/)=e二+x,其定义域为R,关于原点对称， 答案第5页，共11页 且f()=e=二e-x=x-寸长)，为奇函数 所以a=1符合题意， 又y=e,y=- ,y=x均在R上单调递增， 1 故fx)在R上单调递增，由f(log2x)）+f(2log2x-3)≥0， f((log2 x))z-f(2l0g2 x-3 又f)为奇函数，即f(og,x))≥f(-2log+3), 所以(1og2x)≥-2log2x+3, 所以(1og2x)2+2log2x-3≥0，解得log2x≥1或1og2x≤-3， 故x≥2或0<1≤日故原不等式的解年为 1 U[2,+w) 14.2 【分析】求得'(x)=x2-10x+16,得到4，a是x2-10x+16=0的两个实数根，所以a4=16, 结合等比数列的性质，即可求解。 【详解】由函数f(x)=}x2-5x2+16x+1,可得f(x)=x-10x+16, 3 因为4,4是函数八)-5x+16x+1的极值点， 所以4,4是x2-10x+16=0的两个实数根，可得44=16， 又因为数列{a}为等比数列，可得4,4,4同号，且44=G=16, 所以4=4，所以10g24=2. 15.(1)m=2 (2)a+B=3沉 4 【分析】1)由三角恒等变换得)-2n(《得)加-2，根据三角函数的性质求解即可： 2由a2,可得a5 72 由同角的平方关系可得cos= 2 进而求得 10 10 tana=7,由两角的正切公式可得tan(a+B)=-l,结合&+B的范围，即可得答案 答案第6页，共11页 【详解】1)了)=5n+cos+oex+Six-41co斗m 2 2 2 2 2 =3 sinx-cosx+m-2 1 (2 -sin x--cosx +m-2 2 π） =2sinx- +-2, 6 元 因为x∈R,所以sinx-二的最小值为-1， 、6 故函数(x)的最小值为-4. 又因为f(x)的最小值为-2， 所以m-4=-2 解得=2. (2因为网=2-君司 所以fu+ π =2sina= 7W2 6 从而sina= 7√2 10 又因为a为锐角， 所以cosa=V1-sin2a= 98_2 10010 7W2 故tana simc=10=7, cosa √2 10 tana+tan B 74 tan(+B)=I-tamctanB1-7x3 =3=-1 又a,均为锐角，所以ax+Be(0,π)， 从而a+B=3加 4 16.(1)4=2×3-1,b=4n-2 (2)Tn=3”+22-1 【详解】(1)当n=1时，4=S=3-1=2, 答案第7页，共11页 当n≥2时，an=Sn-S1=(3”-1)-(3m1-1)=3”-3-1=2×3-1, 经检验，n=1时符合上式， 所以，4=2×3-1 由上可知，b=4=2,b=4=2×3=6, 设b}的公差为d,则d=b-b=6-2=4, 所以，b.=b+(n-1)d=2+(n-1)x4=4n-2, 即bn=4n-2. (2)由(1)得cn=a,+bn=2×31+(4n-2), 则数列{cn}的前n项和Tn为： Tn=(4+43+…+an)+(6+b,+…+bn), Z=3+伯+) 2 7=(3-1)+"(2+4n-2) 2 T=3”-1+212, 所以，数列{cn}的前n项和T=3”+22-1. 17.①a=-2.(四)单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3，+∞) 1. 【分析】①根据导数的几何意义先求出切线的斜率，再根据切线与直线y=4X+1垂直，斜 率之积为-1，即可求出： 四先求出函数f(x)的定义域，在定义域内解不等式'(x)>0,可得增区间，解不等式 '(x)<0可得减区间. 【详解】①：f)=x+3+anx-4,f)=1-3+.f0)=a-2. x2 .曲线y=f(x)在点P1,f)处的切线的斜率为a-2. 1 ,曲线y=f(x)在点P1,f)处的切线与直线y=二x+1垂直， 4 a-2y1.a=-2. 答案第8页，共11页 四由0，知a=-2.f)=x+3-2hx-4. f=1-32--2x-3c+1-3) Γx2-xx2 x2 由题意知，函数定义域为(0，+o). 所以，当x>0时，f'(x)>0,解得x>3:f'(x)<0,解得0<x<3. ∴.函数f(x)的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3，+∞). 【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，以及利用导数求函数的单调区间，意在考查 学生的数学运算能力，属于基础题. 1及0哈 a子君 6 【分析】(1)根据三角形的性质，及二倍角的正弦公式即可求解： (2)根据等差数列的性质，及结合(1)即可求出{a}的通项公式： (3)结合(2)，根据分组求和，再利用等差数列的求和公式，特殊角的三角函数值，及其 周期性即可求解。 【详解】(1)ABC中，因为A+C=π-B,所以sin(A+C)=sinB, 又sin2B=V3sin(A+C),则2 sin B cosB=3sinB, 因为sinB≠0，所以cosB=y5 又Be(Q.,因tA=石 (2)设等差数列a}的公差为d,结合(1)有4-君 又4-4，则4+4=3(g+d),解得d-2a-号 前以a-8+a-小含-君 274+a). 27×+×27-0 (3)结合(2)有 636 243π， 4+43+43+..+427 2 2 2元 设b,=πsina,=πsin 3 6 该函数的最小正周期T= =6 3 答案第9页，共11页 则sina+sima+sina,+sima+sina,+sina=:sin sin5sin红sin7牙sin3smr +s11n +sin 6 6 6 2 10· 6 故sina+sina,+…+sina,=0×4+sina,+sina,+sin4,=sin5+sinL+sin 5=2, 6 6 243r+2m= 所以，S,=(a+4,+4,++a,)+(sm4+sima,+sina）= 247π 21 19.(1)y=-x (2)ase+ (3)证明见解析 【分析】(1)借助导数的几何意义计算即可得； ②)由思意a≤。+在r01上恒成立，参变分离后，构选函数求导后计算最小值即而 得： (3)利用导数求出f(x)单调性后，设，<x2,结合f(x)正负性可得x、七范围，再利用 比值换元法，可得无号号=4即可将证明5+名>2特化为证明n:-2化，0 Int t+1 在(1，+0)上恒成立，构造相应函数并借助导数研究其单调性即可得. 【详解】(1)若a=2,则f(x)=xex-2x,f'(x)=e"+xex.(-1)-2=(1-x)e-2, f'(0)=(1-0)e0-2=1-2=-1,又f(0)=0e-2×0=0, 故曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=-x; (2)由re(0,1]时，f()≥-e,即e-之-e,整理得aste ex 令e(-日+e0小则gw)=。<0, er x2 教g倒在Q可上单河递减则g)2g0)=古+片=e+。用a≤c: (3)若a=0,则f(x)=xex,f"(x)=ex-xex=(1-x)e, 故当x∈(-o,1)时，'(x)>0,当x∈(1，+o)时，f'(x)<0, 故∫(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，+0)上单调递减， 又x>0时，f(x)=xe>0,x≤0时，f(x)=xe≤0， 则f()=f(5)>0,不妨设<x2,则0<<1<， 答案第10页，共11页 由f()=f(6),则xe=xe, 两边同取对数，可得nx-x=nx,-x, 故n点=为-，令1=点>1，则f=为-=t在-5， X 即= 晋故4骨业 tlnt 要证x+x,>2,只需证生nt>2,即只需证nt-2-少0， t-1 t+1 令h)=nt 20-6>1) t+1 则0=12+0-2-)_+2-4(t, (t+1) t(t+1)2 《+00, 故A()在1，+o∞）)上单调递增，则g)>h=1h1-2-)-0, 1+1 即有nt 2-0恒成立，即得证 t+1 答案第11页，共11页