4.3.3第二课时　对数函数图象和性质的应用课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦对数函数图象和性质的应用，涵盖最值与值域、单调性及综合应用等核心知识点。通过典型例题导入，从基础性质到实际应用逐步深入，构建学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于以通性通法总结和母题探究为核心，培养数学思维与表达能力。如例2单调性问题强调定义域优先原则，体现逻辑推理；随堂检测多角度考查，提升应用意识。学生能掌握解题方法，教师可高效开展教学。

第二课时　对数函数图象和性质的应用 典型例题·精研析 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 对数型函数的最值与值域 【例1】　求下列函数的值域： （1） y ＝lo （－ x2＋2 x ＋1）； 解：设 t ＝－ x2＋2 x ＋1，则 t ＝－（ x －1）2＋2. ∵ y ＝lo t 在（0，＋∞）上为减函数， 且0＜ t ≤2， y ＝lo 2＝－1， 即函数的值域为[－1，＋∞）. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2） f （ x ）＝log2 ·log2 （1≤ x ≤4）. 解：∵ f （ x ）＝log2 ·log2 ＝（log2 x －2）·（log2 x －1）＝ － ， 又∵1≤ x ≤4，∴0≤log2 x ≤2，∴当log2 x ＝ ， 即 x ＝ ＝2 时， f （ x ）取最小值－ ； 当log2 x ＝0，即 x ＝1时， f （ x ）取得最大值为2， ∴函数 f （ x ）的值域是 . 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 求对数型函数值域的方法 （1）求对数型函数的值域，一般需要根据对数函数的单调性及真数 的取值范围求解； （2）求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，并结合函数 的单调性求解，当函数较为复杂时，可对对数型函数进行换 元，把复杂问题简单化. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. 已知函数 f （ x ）＝3lo x 的定义域为[3，9]，则函数 f （ x ）的值 域是 ⁠. 解析：∵ y ＝lo x 在（0，＋∞）上是减函数，∴当3≤ x ≤9时， lo 9≤lo x ≤lo 3，即－2≤lo x ≤－1，∴－6≤3lo x ≤－ 3，∴函数 f （ x ）的值域是[－6，－3]. [－6，－3]　 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 函数 y ＝2 x －lo （ x ＋1）在区间[0，1]上的最大值为 ，最小 值为 ⁠. 解析：因为 y ＝2 x 在[0，1]上单调递增， y ＝lo （ x ＋1）在[0， 1]上单调递减，所以 y ＝ f （ x ）＝2 x －lo （ x ＋1）在[0，1]上 单调递增，所以 y 的最大值为 f （1）＝21－lo 2＝2－（－1）＝ 3，最小值为 f （0）＝20－lo 1＝1－0＝1. 3　 1　 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 对数型函数的单调性问题 【例2】　（1）已知函数 f （ x ）＝log a （ x2＋2 x －3），若 f （2）＞ 0，则此函数的单调递增区间是（　　） A. （－∞，－3） B. （－∞，－3）∪（1，＋∞） C. （－∞，－1） D. （1，＋∞） 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　∵ f （2）＝log a 5＞0＝log a 1，∴ a ＞1. 由 x2＋2 x －3＞0得函数 f （ x ）的定义域为（－∞，－3）∪（1，＋ ∞）.设 u ＝ x2＋2 x －3，则此函数在（1，＋∞）上单调递增.又∵ y ＝log au （ a ＞1）在（0，＋∞）上是增函数，∴函数 f （ x ）的单调递 增区间是（1，＋∞），故选D. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）已知函数 f （ x ）＝lg（ x2－2 ax － a ）在区间（－∞，－3）上 单调递减，求实数 a 的取值范围. 解：设 u （ x ）＝ x2－2 ax － a . ∵ f （ x ）在（－∞，－3）上单调递减， ∴ u （ x ）在（－∞，－3）上单调递减， 且 u （ x ）＞0在（－∞，－3）上恒成立. 又 u （ x ）＝（ x － a ）2－ a － a2在（－∞， a ）上单调递减. ∴∴ a ≥－ . ∴满足条件的实数 a 的取值范围是 . 目录 数学·必修第一册（BSD） 【母题探究】 1. （变条件）本例（1）中条件变为“ f （ x ）＝lg（ x2－2 x ）”，其 他条件不变，试求函数 f （ x ）的单调递增区间. 解：由已知，得 x2－2 x ＞0，解得 x ＞2或 x ＜0.因为 u ＝ x2－2 x 在 （2，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减，而 y ＝lg u 在（0，＋∞）上是增函数，所以 y ＝lg（ x2－2 x ）的单调递增区 间为（2，＋∞）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. （变条件）本例（2）中条件变为“ f （ x ）＝log a （6－ ax ）在 [0，2]上单调递减”，求 a 的取值范围. 解：若函数 f （ x ）＝log a （6－ ax ）在[0，2]上单调递减，则 解得1＜ a ＜3. 故实数 a 的取值范围为（1，3）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 形如 y ＝log af （ x ）（ f （ x ）＞0）的函数的单调性 （1）当 a ＞1时， y ＝log af （ x ）的单调性在 f （ x ）＞0的前提下与 y ＝ f （ x ）的单调性一致； （2）当0＜ a ＜1时， y ＝log af （ x ）的单调性在 f （ x ）＞0的前提下 与 y ＝ f （ x ）的单调性相反. 提醒　研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数 的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 若函数 f （ x ）＝log a （ x2＋ x ）（ a ＞0，且 a ≠1）在区间 内恒有 f （ x ）＞0，则 f （ x ）的单调递增区间为（　　） A. （0，＋∞） B. （2，＋∞） C. （1，＋∞） 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　令 M ＝ x2＋ x ，当 x ∈（ ，＋∞）时， M ∈（1，＋ ∞），恒有 f （ x ）＞0，所以 a ＞1，所以函数 y ＝log aM 为增函数，又 M ＝（ x ＋ ）2－ ，所以 M 的单调递增区间为（－ ，＋∞）.又 x2 ＋ x ＞0，所以 x ＞0或 x ＜－ ，所以函数 f （ x ）的单调递增区间为 （0，＋∞）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型三 对数函数性质的综合应用 【例3】　已知 f （ x ）＝log4（4 x －1）. （1）求 f （ x ）的定义域； 解：由4 x －1＞0，解得 x ＞0， 因此 f （ x ）的定义域为（0，＋∞）. （2）讨论 f （ x ）的单调性； 解：设0＜ x1＜ x2，则0＜ －1＜ －1， 因此log4（ －1）＜log4（ －1）， 即 f （ x1）＜ f （ x2），故 f （ x ）在（0，＋∞）上是增函数. 目录 数学·必修第一册（BSD） （3）求 f （ x ）在区间 上的值域. 解：因为 f （ x ）在区间 上单调递增， 又 f ＝0， f （2）＝log415， 因此 f （ x ）在 上的值域为[0，log415]. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 解决对数函数性质的综合问题的注意点 （1）注意代数式的变形，如分式通分，因式分解、配方法、分母 （或分子）有理化等变形技巧； （2）解答问题时应注意定义域优先的原则； （3）由于对数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需分类讨论. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　已知函数 f （ x ）＝ln（ ax ＋1）＋ln（ x －1）的图象经过点（3， 3ln 2）. （1）求 a 的值，及 f （ x ）的定义域； 解：由题意可得ln（3 a ＋1）＋ln（3－1）＝3ln 2， 即ln（3 a ＋1）＝2ln 2，所以3 a ＋1＝4，解得 a ＝1， 则 f （ x ）＝ln（ x ＋1）＋ln（ x －1）. 由解得 x ＞1. 所以 f （ x ）的定义域为（1，＋∞）. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）求关于 x 的不等式 f （ x ）≤ln（2 x ）的解集. 解：由（1）可得 f （ x ）＝ln（ x ＋1）＋ln（ x －1）＝ln（ x2－ 1）， x ＞1， 不等式 f （ x ）≤ln（2 x ）可化为ln（ x2－1）≤ln（2 x ）， 因为 y ＝ln x 在（0，＋∞）上是增函数， 所以 解得1＜ x ≤1＋ . 故不等式 f （ x ）≤ln（2 x ）的解集为{ x ｜1＜ x ≤1＋ }. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 函数 f （ x ）＝lg 是（　　） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数 解析：　 f （ x ）的定义域为R， f （－ x ）＋ f （ x ）＝lg ＋lg ＝lg ＝lg 1＝0，∴ f （ x ）为 奇函数，故选A. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 函数 f （ x ）＝lg x2的单调递减区间是（　　） A. （－∞，0） B. （－∞，1） C. （1，＋∞） D. （0，＋∞） 解析：　函数 f （ x ）＝lg x2，可令 t ＝ x2（ x ≠0），则 y ＝lg t ， 由 t ＝ x2在（－∞，0）上单调递减，（0，＋∞）上单调递增， y ＝lg t 在（0，＋∞）上是增函数，可得函数 f （ x ）＝lg x2的单调递 减区间是（－∞，0）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 已知函数 f （ x ）＝log2（1＋2－ x ），则函数 f （ x ）的值域是（　　） A. [0，2） B. （0，＋∞） C. （0，2） D. [0，＋∞） 解析：　 f （ x ）＝log2（1＋2－ x ），∵1＋2－ x ＞1，∴log2（1＋2 － x ）＞0，∴函数 f （ x ）的值域是（0，＋∞），故选B. 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. （多选）已知 f （ x ）＝lg（10＋ x ）＋lg（10－ x ），则 f （ x ） （　　） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在（0，10）上单调递增 D. 在（0，10）上单调递减 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　由得 x ∈（－10，10），故函数 f （ x ） 的定义域为（－10，10），因为∀ x ∈（－10，10）都有－ x ∈（－ 10，10），且 f （－ x ）＝lg（10－ x ）＋lg（10＋ x ）＝ f （ x ）， 故函数 f （ x ）为偶函数. f （ x ）＝lg（10＋ x ）＋lg（10－ x ）＝lg （100－ x2）， y ＝100－ x2在（0，10）上单调递减， y ＝lg x 在 （0，10）上单调递增，故函数 f （ x ）在（0，10）上单调递减. 目录 数学·必修第一册（BSD） 5. 已知函数 f （ x ）＝｜lo x ｜在区间 上的值域为[0，1]， 则 m 的取值范围为 ⁠. 解析：作出 f （ x ）＝｜lo x ｜的图象（如图），可知 f ＝ f （2）＝1， f （1）＝0，由题意结合图象知：1≤ m ≤2. [1，2]　 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $