第4章 3.3 对数函数y＝logax的图象和性质-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（北师大版）

数学 必修 第一册(北师) 3.3　对数函数y＝logax的图象和性质 (教师独具内容) 课程标准：探索并了解对数函数的单调性与特殊点． 教学重点：掌握对数函数的图象与性质． 教学难点：底数a对图象的影响及对数函数性质的应用． 知识点　对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质 图象和性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在定义域(0，＋∞)上是增函数 在定义域(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1，0)，即当x＝1时，y＝0 函数值特点 当x∈(0，1)时，y∈(－∞，0)； 当x∈(1，＋∞)时，y∈(0，＋∞). 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大； 当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 当x∈(0，1)时，y∈(0，＋∞)； 当x∈(1，＋∞)时，y∈(－∞，0). 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大； 当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大 底数对函数图象的影响 对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝logx，y＝ logx的图象如图所示，由图可得如下规律： ①y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称； ②当a＞1时，底数越大图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小图象越靠近x轴． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对数函数的图象一定在y轴右侧．(　　) (2)当0＜a＜1时，若x＞1，则y＝logax的函数值都大于零．(　　) (3)函数y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域和值域均为(0，＋∞)．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若对数函数y＝log(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为________． (2)已知y＝ax在R上是增函数，则y＝logax在(0，＋∞)上是________函数．(填“增”或“减”) (3)函数f(x)＝log5(1－x)的定义域是________． 答案：(1)(－∞，0)　(2)增　(3)(－∞，1) 题型一　与对数函数有关的函数定义域问题 　求下列函数的定义域： (1)y＝；(2)y＝； (3)y＝log2(16－4x)；(4)y＝log(x－1)(3－x)． [解]　(1)要使函数式有意义， 需 解得x>1，且x≠2. ∴所求函数的定义域是{x|x>1，且x≠2}． (2)要使函数式有意义，需 即解得x≥4. ∴所求函数的定义域是{x|x≥4}． (3)要使函数式有意义，需16－4x>0， 解得x<2. ∴所求函数的定义域是{x|x<2}． (4)要使函数式有意义，需 解得1<x<3，且x≠2. ∴所求函数的定义域是{x|1<x<3，且x≠2}． 【感悟提升】　求函数的定义域应考虑的几种情况 求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围．经常考虑的几种情况：①中f(x)≠0；②(n∈N＋)中f(x)≥0；③logaf(x)(a>0，且a≠1)中f(x)>0；④logf(x)a(a>0)中f(x)>0且f(x)≠1；⑤[f(x)]0中f(x)≠0；⑥求抽象函数或复合函数的定义域，需正确理解函数的符号及其定义域的含义． 【跟踪训练】 1．求下列函数的定义域： (1)y＝＋lg (5－3x)； (2)y＝. 解：(1)要使函数有意义，需 ∴∴1≤x<. ∴所求函数的定义域为. (2)由log0.5(4x－3)>0可得0<4x－3<1，即3<4x<4，解得<x<1. ∴所求函数的定义域为. 题型二　对数函数的图象和性质 　如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d，1，0的大小关系为________． [解析]　由题图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a>1，b>1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0<c<1，0<d<1.过点(0，1)作平行于x轴的直线l(图略)，则直线l与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c>0. [答案]　b>a>1>d>c>0 【感悟提升】　根据对数函数的图象判断底数大小的方法 作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小． 【跟踪训练】 2．已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　) 答案：B 解析：解法一：若0<a<1，则函数y＝ax的图象下降且过点(0，1)，而函数y＝loga(－x)的图象上升且过点(－1，0)，以上图象均不符合． 若a>1，则函数y＝ax的图象上升且过点(0，1)，而函数y＝loga(－x)的图象下降且过点(－1，0)，只有B中图象符合． 解法二：首先指数函数y＝ax的图象只可能在x轴上方，函数y＝loga(－x)的图象只可能在y轴左方，从而排除A，C；再看单调性，y＝ax与y＝loga(－x)的单调性正好相反，排除D.只有B中图象符合． 解法三：如果注意到y＝loga(－x)的图象关于y轴的对称图象为y＝logax，又y＝logax与y＝ax互为反函数(图象关于直线y＝x对称)，则可直接确定选B. 　若函数y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b，c的值分别为________． [解析]　∵函数y＝loga(x＋b)＋c的图象恒过定点(3，2)，∴将(3，2)代入y＝loga(x＋b)＋c，得2＝loga(3＋b)＋c.又当a>0，且a≠1时，loga1＝0恒成立，∴c＝2，由loga(3＋b)＝0，得3＋b＝1，∴b＝－2. [答案]　－2，2 【感悟提升】　画对数函数图象时要注意的问题 (1)明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交． (2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1，还是0<a<1. (3)牢记特殊点．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象经过点(1，0)，(a，1)和. 【跟踪训练】 3．函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________． 答案：(0，－2) 解析：因为函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，则令x＋1＝1，得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)． 题型三　对数值的大小比较 　比较下列各组中两个值的大小： (1)3log45，2log23； (2)log30.2，log40.2； (3)log67，log76； (4)log72，log82. [解]　(1)∵3log45＝log4125，2log23＝log29＝log481，且函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数， 又125>81，∴3log45>2log23. (2)∵0>log0.23>log0.24， ∴<，即log30.2<log40.2. (3)∵log67＞log66＝1，log76＜log77＝1， ∴log67＞log76. (4)∵y＝lg x是定义域上的增函数， ∴0＜lg 7＜lg 8，∴＞，又lg 2＞0， ∴＞，即log72＞log82. 【感悟提升】　比较对数值大小的常用方法 (1)比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性． (2)比较不同底数的两个对数值的大小，常用以下两种方法：①先利用对数的换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性比较大小；②在同一象限内利用对数函数图象的位置关系比较大小． (3)比较底数与真数都不同的两个对数值的大小，常借助中间量(如1，0，－1等)． (4)比较多个对数值的大小，则应先根据每个数的结构特征，以及它们与中间量“0”和“1”的大小情况进行分组，再比较各组内的对数值的大小即可． (5)比较含参数的两个对数值的大小，要注意对底数是否大于1进行分类讨论，有时也要注意挖掘所给对数值的隐含条件．例如：比较loga(b2－b＋1)与loga的大小时，要注意隐含条件：b2－b＋1＝＋≥>. 【跟踪训练】 4．比较下列各组中两个值的大小： (1)，； (2)log23，log54； (3)log79，log4； (4)loga3，loga10(a>0，且a≠1)． 解：(1)∵y＝logπx是定义域上的增函数，且1＜2＜2.5，∴logπ2.5＞logπ2＞0， ∴＜. (2)∵log23＞log22＝1，log54＜log55＝1， ∴log23＞log54. (3)∵log79>0，log4<0，∴log79>log4. (4)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增， ∴loga3<loga10. 当0<a<1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递减， ∴loga3>loga10. 题型四　求解对数不等式 　(1)已知loga＞1，求a的取值范围． [解]　由loga＞1，得loga＞logaa. ①当a＞1时，有a＜，此时无解； ②当0＜a＜1时，有＜a，从而＜a＜1. ∴a的取值范围是. (2)已知log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，求x的取值范围． [解]　∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，∴由log0.7(2x)＜log0.7(x－1)， 得解得x＞1. ∴x的取值范围为(1，＋∞)． 【感悟提升】　常见对数不等式的两种解法 (1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论． (2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解． 【跟踪训练】 5．已知loga(3a－1)恒为正，求实数a的取值范围． 解：由题意知loga(3a－1)＞0＝loga1. 当a＞1时，y＝logax是增函数， ∴解得a＞，∴a＞1； 当0＜a＜1时，y＝logax是减函数， ∴解得＜a＜.∴＜a＜. 综上所述，实数a的取值范围是∪(1，＋∞)． 题型五　对数函数的实际应用 　从金山区走出去的陈驰博士，在《自然—可持续性》杂志上发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位．已知某种树木的高度f(t)(单位：米)与生长年限t(单位：年，t∈N＋)满足如下的逻辑斯蒂函数：f(t)＝，其中e为自然对数的底数．设该树栽下的时刻为0，需要经过多少年，该树的高度才能超过5米？(精确到个位，ln 5≈1.61) [解]　∵f(t)＝， 由f(t)>5，得>5， ∴1＋e－0.5t＋2<，∴e－0.5t＋2<，两边取以e为底的对数，得－0.5t＋2<－ln 5， ∴t>4＋2ln 5≈7.2，即需要经过8年，该树的高度才能超过5米． 【感悟提升】　对数在实际生产和科学技术中应用广泛，其应用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型(公式)，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意利用“指、对互化”；另一类是先建立指数函数应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边取对数进行运算． 【跟踪训练】 6．中国的5G技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C（单位：bit/s）取决于信道宽度W（单位：Hz）、信道内信号的平均功率S（单位：dB）、信道内部的高斯噪声功率N（单位：dB）的大小，其中叫做信噪比.按照香农公式，若信道宽度W变为原来的2倍，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（附：lg 2≈0.3）（ ） A.110% B.120% C.130% D.140% 答案：D 解析：当=1000时，C=Wlog21001；当=4000,信道宽度W变为原来的2倍时，C=2Wlog24001, =-1≈-1=4log10002+1=lg 2+1≈1.4.故选D. 1.函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值是(　　) A．5 B. C. D. 答案：A 解析：∵函数y＝logax的图象逐渐上升，∴函数y＝logax为单调递增函数，∴a>1.故选A. 2．函数f(x)＝＋lg (1＋x)的定义域是(　　) A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞) 答案：C 解析：由题意知解得x>－1，且x≠1. 3.图中的曲线C1，C2，C3，C4都是对数函数y＝logax的图象，已知a取3，2，，四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的a的值依次是(　　) A．3，2，， B．3，2，， C．2，3，， D．2，3，， 答案：D 解析：解法一：当a>1时，自左向右看，图象上升；当0<a<1时，自左向右看，图象下降．又当a>1时，a越大，图象越靠近x轴；当0<a<1时，a越小，图象越靠近x轴，所以相应于曲线C1，C2，C3，C4的a的值依次为2，3，，. 解法二：作直线y＝1，设C1，C2，C3，C4与直线y＝1的交点分别为(a1，1)，(a2，1)，(a3，1)，(a4，1)，由图可知a3<a4<1<a1<a2，所以a1，a2，a3，a4的值分别为2，3，，. 4．不等式logx＞log2(5x－4)的解集为________． 答案： 解析：原不等式变形为log2＞log2(5x－4)， 等价于解得＜x＜1. 5．已知函数f(x)＝lg (ax2＋2x＋1)． (1)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围； (2)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围． 解：(1)∵f(x)的值域为R， ∴要求u＝ax2＋2x＋1的值域包含(0，＋∞)． 当a<0时，显然不可能； 当a＝0时，u＝2x＋1∈R成立； 当a>0时，u＝ax2＋2x＋1的值域包含(0，＋∞)， 则Δ＝4－4a≥0，解得0<a≤1. 综上可知，实数a的取值范围是0≤a≤1. (2)由已知，u＝ax2＋2x＋1的值恒为正， ∴ 解得a>1， ∴实数a的取值范围是a>1. 课后课时精练 一、选择题 1．若f(x)＝，则f(x)的定义域为(　　) A. B. C.∪(0，＋∞) D. 答案：C 解析：由题可得解得x>－且x≠0，故选C. 2．设a＝1.10.9，b＝0.91.1，c＝log1.10.9，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．a<c<b 答案：B 解析：log1.10.9＜log1.11＝0＜0.91.1＜1＜1.10.9，所以c＜b＜a. 3．函数y＝lg 的图象的对称性为(　　) A．关于直线y＝x对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于原点对称 答案：D 解析：y＝lg ＝lg ，所以f(－x)＝lg ＝－lg ＝－f(x)．又因为函数的定义域为(－1，1)，关于原点对称，所以函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称． 4．若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是(　　) 答案：D 解析：由函数f(x)＝loga(x＋b)的图象可知，函数f(x)＝loga(x＋b)在(－b，＋∞)上是减函数．∴0<a<1且0<b<1.∴g(x)＝ax＋b在R上是减函数，故排除A，B；由g(x)的值域为(b，＋∞)，知g(x)＝ax＋b的图象应在直线y＝b的上方，故排除C.故选D. 5．(多选)已知函数f(x)＝lg (x2＋ax－a－1)，下列论述中正确的是(　　) A．当a＝0时，f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．f(x)一定有最小值 C．当a＝0时，f(x)的值域为R D．若f(x)在区间 [2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 [－4，＋∞) 答案：AC 解析：对于A，当a＝0时，解x2－1>0可得x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故A正确；对于B，C，当a＝0时，f(x)＝lg (x2－1)，此时x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，x2－1∈(0，＋∞)，f(x)＝lg (x2－1)的值域为R，故B错误，C正确；对于D，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则函数y＝x2＋ax－a－1在区间[2，＋∞)上单调递增，则－≤2，可得a≥－4，但当a＝－4时，f(x)＝lg (x2－4x＋3)在x＝2处无定义，故D错误．故选AC. 二、填空题 6．已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________． 答案：(2，3] 解析：因为函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，所以a的取值需满足解得2＜a≤3. 7．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________． 答案：x2<x3<x1 解析：分别作出三个函数的大致图象，如图所示．由图可知，x2<x3<x1. 8．若＜1，则a的取值范围是________． 答案：∪ 解析：因为＜1，所以－1＜loga＜1， 即loga＜loga＜logaa. ①当a＞1时，y＝logax为(0，＋∞)上的增函数，所以＜＜a，所以a＞，结合a＞1，知a＞. ②当0＜a＜1时，y＝logax为(0，＋∞)上的减函数，所以＞＞a，所以a＜，结合0＜a＜1，知0＜a＜.由①②知，a的取值范围是∪. 三、解答题 9．比较下列各组数的大小： (1)log23，log32，log； (2)logab，logba，loga，logb(a2＞b＞a＞1)． 解：(1)log23＞log22＝log33＞log32＞log31＝0＝log1＞log. ∴log23＞log32＞log. (2)∵a2＞b＞a＞1，∴logab＞1，0＜logba＜1， loga＜0，0＜logb＜1. 又logba－logb＝logb＞0， ∴logba＞logb. 因此，loga＜logb＜logba＜logab. 10．药物治疗作用与血液中药物浓度(简称血药浓度)有关，血药浓度C(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：小时)的变化规律可近似表示为C(t)＝C0·e－λt，其中C0表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，λ表示该药物在人体内的衰减常数．已知某病人第一次注射一种药剂1小时后测得血药浓度为1.2×10－3 mg/mL，2小时后测得血药浓度为0.8×10－3 mg/mL，为了达到预期的治疗效果，当血药浓度为0.4×10－3 mg/mL时需进行第二次注射，则第二次注射与第一次注射的时间间隔约为多少小时？(结果精确到0.1，lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771) 解：由题意得两式相除，得λ＝ln ，把λ＝ln 代入C0·e－λ＝1.2×10－3，解得C0＝1.8×10－3，所以C(t)＝0.0018·e－tln ，令C(t)＝0.4×10－3，得0.0018·e－tln ＝0.4×10－3， 解得t＝，由换底公式， 得t＝＝， 所以t＝≈≈3.7，即第二次注射与第一次注射的时间间隔约为3.7小时． 11．已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(4－2x)(a>0，且a≠1)．求： (1)函数f(x)－g(x)的定义域； (2)使函数f(x)－g(x)的值为正数的x的取值范围． 解：(1)由题意，知f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(4－2x)． 由解得 所以－1<x<2. 所以函数f(x)－g(x)的定义域是(－1，2)． (2)由f(x)－g(x)＞0，得f(x)>g(x)， 即loga(x＋1)＞loga(4－2x)．① 当a>1时，由①可得x＋1>4－2x， 解得x>1. 又－1<x<2，所以1<x<2. 当0<a<1时，由①可得x＋1<4－2x， 解得x<1. 又－1<x<2，所以－1<x<1. 综上所述，当a>1时，x的取值范围是(1，2)； 当0<a<1时，x的取值范围是(－1，1)． 12．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(x－1)(a>0，且a≠1)，且f(3)＝1. (1)求实数a的值，并判断f(x)在定义域内的单调性，请说明理由； (2)对于x∈ [2，6]，f(x)>loga恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)由f(3)＝loga4－loga2＝loga2＝1，可得a＝2. 则f(x)＝log2(x＋1)－log2(x－1)＝log2，函数f(x)的定义域为(1，＋∞)． 因为y＝＝1＋在(1，＋∞)上单调递减，y＝log2x在定义域上单调递增，所以函数f(x)在定义域(1，＋∞)上为减函数． (2)由(1)可知f(x)＝log2 >log2，x∈[2，6]， 所以>>0，x∈ [2，6]， 即0<m<(x＋1)(7－x)＝－x2＋6x＋7＝－(x－3)2＋16在x∈[2，6]时恒成立．当x∈[2，6]时，函数y＝－(x－3)2＋16的最小值为7. 所以实数m的取值范围为(0，7)． 8 学科网（北京）股份有限公司 $