4.3.3 对数函数的图象和性质第一课时课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦对数函数y=logₐx的图象和性质，通过观察y=log₂x、y=log₀.₅x等函数图象的情境导入，联系指数函数知识作为学习支架，帮助学生构建从具体到抽象的知识脉络。 其亮点是采用对比表格梳理a>1与0<a<1的性质差异，结合典型例题（如定义域求解、图象判断）和通性通法总结，培养学生直观想象与数学运算核心素养，助力学生掌握分类讨论等思维方法，也为教师提供系统教学资源。

3.3　对数函数y＝logax的图象和性质 新课程标准解读 核心素养 1.进一步理解对数函数的图象和性质 直观想象 2.能运用对数函数的图象和性质解决相关问题 数学运算 目录 数学·必修第一册（BSD） 第一课时　对数函数的图象和性质 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　观察图形： 【问题】　（1）观察图①所示的函数 y ＝log2 x ， y ＝log0.5 x ， y ＝ log10 x ， y ＝log0.1 x 的图象，你能得出什么结论？ 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）函数 y ＝log ax ， y ＝log bx ， y ＝log cx 的图象如图②所示，那么 a ， b ， c 的大小关系如何？ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点　对数函数 y ＝log ax （ a ＞0，且 a ≠1）的图象和性质 a ＞1 0＜ a ＜1 图 象 目录 数学·必修第一册（BSD） a ＞1 0＜ a ＜1 性 质 定义域： ⁠ 值域： ⁠ 过定点 ，即当 x ＝1时， y ＝0 当 x ＞1时， y 0； 当0＜ x ＜1时， y ⁠0 当 x ＞1时， y 0； 当0＜ x ＜1时， y ⁠0 在定义域（0，＋∞）上是 ⁠ 函数； 当 x 值趋近于正无穷大时，函数 值趋近于正无穷大； 当 x 值趋近于0时，函数值趋近于 负无穷大 在定义域（0，＋∞）上 是 函数； 当 x 值趋近于正无穷大时，函 数值趋近于负无穷大； 当 x 值趋近于0时，函数值趋 近于正无穷大 （0，＋∞）　 R　 （1，0）　 ＞　 ＜　 ＜　 ＞　 增　 减　 目录 数学·必修第一册（BSD） 提醒　对数函数图象的再理解：①对数函数的图象永远在 y 轴的右 侧，对数函数的图象都经过点 ，（1，0），（ a ，1），且图 象都在第一、四象限内；②（ⅰ）若0＜ a ＜1且0＜ x ＜1，或 a ＞1且 x ＞1，则有 y ＞0；（ⅱ）若0＜ a ＜1且 x ＞1，或 a ＞1且0＜ x ＜1，则有 y ＜0.简记为：同区间为正，异区间为负. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数 y ＝log ax （ a ＞0，且 a ≠1）的图象过定点（1，0）. （　√　） （2）函数 y ＝log ax （ a ＞0，且 a ≠1）在（0，＋∞）上是单调函 数. （　√　） （3）由函数 y ＝log2 x 的图象向左平移1个单位长度可得 y ＝log2 x ＋ 1的图象. （　×　） （4） y ＝4 x 与 y ＝log4 x 的图象关于直线 y ＝ x 对称. （　√　） √ √ × √ 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 已知 a ＝log23， b ＝log2e， c ＝ln 2，则 a ， b ， c 的大小关系是 （　　） A. a ＞ b ＞ c B. b ＞ a ＞ c C. c ＞ b ＞ a D. c ＞ a ＞ b 解析：　 a ＝log23＞ b ＝log2e＞log22＝1， c ＝ln 2＜ln e＝1， ∴ a ， b ， c 的大小关系为 a ＞ b ＞ c . 3. 函数 f （ x ）＝log2（ x －1）的定义域是 ⁠. （1，＋∞）　 目录 数学·必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 对数型函数的定义域 【例1】　求下列函数的定义域： （1） y ＝ ； 解：要使函数式有意义，需解得 x ＞1，且 x ≠2. 故函数 y ＝ 的定义域是{ x ｜ x ＞1，且 x ≠2}. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2） y ＝ ； 解：要使函数式有意义，需 即解得 x ≥4. 故函数 y ＝ 的定义域是{ x ｜ x ≥4}. （3） y ＝log2（16－4 x ）； 解：要使函数式有意义，需16－4 x ＞0，解得 x ＜2. 故函数 y ＝log2（16－4 x ）的定义域是{ x ｜ x ＜2}. 目录 数学·必修第一册（BSD） （4） y ＝log（ x－1）（3－ x ）. 解：要使函数式有意义，需解得1＜ x ＜3，且 x ≠2. 故函数 y ＝log（ x－1）（3－ x ）的定义域是{ x ｜1＜ x ＜3，且 x ≠2}. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 求对数型函数定义域的原则 （1）分母不能为0； （2）根指数为偶数时，被开方数非负； （3）对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　求下列函数的定义域： （1） y ＝ ； 解：要使函数有意义，需 即即－3＜ x ＜－2或 x ≥2， 故所求函数的定义域为（－3，－2）∪[2，＋∞）. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2） y ＝ ＋ln（ x ＋1）. 解：要使函数有意义，需即 ∴－1＜ x ＜2. 故所求函数的定义域为（－1，2）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 对数型函数的图象 【例2】　（1）当 a ＞1时，在同一坐标系中，函数 y ＝ a－ x 与 y ＝log ax 的图象为（　　） 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　 y ＝ a－ x ＝ ，∵ a ＞1，∴0＜ ＜1，则 y ＝ a－ x 在（－ ∞，＋∞）上是减函数，过定点（0，1）；对数函数 y ＝log ax 在 （0，＋∞）上是增函数，过定点（1，0）.故选C. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）已知 f （ x ）＝log a ｜ x ｜，满足 f （－5）＝1，试画出函数 f （ x ）的图象. 解：因为 f （－5）＝1，所以log a 5＝1，即 a ＝5，故 f （ x ）＝ log5｜ x ｜＝ 所以函数 y ＝log5｜ x ｜的图象如图所示. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 有关对数型函数图象问题的应用技巧 （1）求函数 y ＝ m ＋log af （ x ）（ a ＞0，且 a ≠1）的图象过定点 时，只需令 f （ x ）＝1求出 x ，即得定点为（ x ， m ）； （2）给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本 初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的 基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个 方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法； 目录 数学·必修第一册（BSD） （3）根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线 y ＝1与所给图 象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自 左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的 大小. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. 函数 f （ x ）＝log a （ x －1）＋1（ a ＞0，且 a ≠1）的图象恒过点 （　　） A. （1，1） B. （1，2） C. （2，1） D. （2，2） 解析：　令 x －1＝1，即 x ＝2，得 f （2）＝log a 1＋1＝1，因此 f （ x ）的图象恒过点（2，1）.故选C. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 对数函数 y ＝log ax （ a ＞0，且 a ≠1）的大致图象如图所示，已知 a 的取值为 ， ， ， ，则曲线 C1， C2， C3， C4对应的 a 的值 依次是 ⁠. ， ， ， 　 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：当 a ＞1时，对数函数 y ＝log ax 的图象是上升的；当0＜ a ＜1 时，对数函数 y ＝log ax 的图象是下降的.对数的底数越大，对数函 数的图象在 x 轴上方的部分越远离 y 轴的正方向.故曲线 C1， C2， C3， C4对应的 a 的值依次是 ， ， ， . 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 作出函数 y ＝｜log2（ x ＋1）｜的图象. 解：第一步：作 y ＝log2 x 的图象，如图①所示. 第二步：将 y ＝log2 x 的图象沿 x 轴向左平移1个单位长度，得 y ＝ log2（ x ＋1）的图象，如图②所示. 第三步：将 y ＝log2（ x ＋1）在 x 轴下方的图象作关于 x 轴的对称变 换，得 y ＝｜log2（ x ＋1）｜的图象，如图③所示. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型三 比较对数值的大小 【例3】　比较下列各题中两个值的大小： （1）log31.9，log32； 解：因为 y ＝log3 x 在（0，＋∞）上是增函数，且1.9＜2，所以 log31.9＜log32. （2）log23，log0.32； 解：因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞ log0.32. 目录 数学·必修第一册（BSD） （3）log a π，log a 3.14（ a ＞0，且 a ≠1）. 解：π＞3.14，当 a ＞1时，函数 y ＝log ax 在（0，＋∞）上是增 函数，有log a π＞log a 3.14； 当0＜ a ＜1时，函数 y ＝log ax 在（0，＋∞）上是减函数， 有log a π＜log a 3.14. 综上可得，当 a ＞1时，log a π＞log a 3.14；当0＜ a ＜1时，log a π ＜log a 3.14. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 比较对数值大小常用的4种方法 （1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较； （2）若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对 底数进行分类讨论； （3）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再 进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图 象，再进行比较； （4）若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 比较下列各组对数值的大小： （1）lo 与lo ； 解：因为 y ＝lo x 在（0，＋∞）上是减函数，且 ＜ ，所以 lo ＞lo . 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）3log45，2log23； 解：因为3log45＝log4125，2log23＝log29＝log481，且函数 y ＝ log4 x 在（0，＋∞）上是增函数，又125＞81， 所以3log45＞2log23. （3）lo 0.3与lo 3. 解：由对数的性质知lo 0.3＞0＞lo 3，所以lo 0.3＞ lo 3. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型四 求解对数不等式 【例4】　解不等式： （1）log2（2 x ＋3）≥log2（5 x －6）； 解：原不等式等价于 解得 ＜ x ≤3. 所以不等式的解集为 . 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）log a （ x －4）－log a （2 x －1）＞0（ a ＞0，且 a ≠1）. 解：原不等式化为log a （ x －4）＞log a （2 x －1）. 当 a ＞1时，不等式等价于 无解. 当0＜ a ＜1时，不等式等价于解得 x ＞4. 综上可知，当 a ＞1时，解集为∅；当0＜ a ＜1时，解集为{ x ｜ x ＞4}. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 常见对数不等式的2种解法 （1）形如log ax ＞log ab 的不等式，借助 y ＝log ax 的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a ＞1与0＜ a ＜1两种情况讨论； （2）形如log ax ＞ b 的不等式，应将 b 化为以 a 为底数的对数式的形 式，再借助 y ＝log ax 的单调性求解. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. 求满足不等式log3 x ＜1的 x 的取值集合. 解：∵log3 x ＜1＝log33， ∴ x 满足的条件为 即0＜ x ＜3. ∴ x 的取值集合为{ x ｜0＜ x ＜3}. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 已知log0.7（2 x ）＜log0.7（ x －1），求 x 的取值范围. 解：∵函数 y ＝log0.7 x 在（0，＋∞）上为减函数， ∴由log0.7（2 x ）＜log0.7（ x －1），得 解得 x ＞1. ∴ x 的取值范围是（1，＋∞）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 三个数 a ＝ ， b ＝ ， c ＝log3 的大小顺序为（　　） A. b ＜ c ＜ a B. b ＜ a ＜ c C. c ＜ a ＜ b D. c ＜ b ＜ a 解析： a ＝ ＞1，0＜ b ＝ ＜1， c ＝log3 ＜0，所以 a ＞ b ＞ c . 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. （多选）已知 a ＞0，且 a ≠1，函数 y ＝log ax ， y ＝ ax ， y ＝ x ＋ a 在同一坐标系中的图象不可能是（　　） 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　对于A，由指数函数和对数函数知 a ＞1，而由一次 函数知0＜ a ＜1，不符合；对于B，∵函数 y ＝ ax 与 y ＝log ax 的图 象关于直线 y ＝ x 对称，∴排除B；对于C，都符合；对于D，由指 数函数和对数函数知0＜ a ＜1，而由一次函数知 a ＞1，不符合. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 函数 f （ x ）＝ ＋ln x 的定义域是 ⁠. 解析：函数 f （ x ）＝ ＋ln x 的自变量满足∴ x ＞ 0，即定义域为（0，＋∞）.   解析：依题意得 所以3log a 2＝6，即log a 2＝2，所以 a2＝2，所以 a ＝ （－ 舍 去）. （0，＋∞）　 　 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $