2.4.1 第二课时 奇偶性的应用 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数奇偶性应用，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|奇偶性定义、简单性质应用|单选（1-4）、填空（7-9）直接考查奇偶性判断与简单计算| |中档层|奇偶性与单调性、图像综合|多选（5-6）、解答（10）结合图像与单调性分析，提升推理能力| |提升层|奇偶性综合应用与证明|解答（14-16）涉及参数求解、单调性证明及新定义问题，培养创新意识|

第二课时　奇偶性的应用 1.设函数f（x）＝且f（x）为偶函数，则g（－2）＝（　　） A.6　　　　　　　　　 B.－6 C.2　 D.－2 2.如果奇函数f（x）在区间[－3，－1]上单调递增且有最大值5，那么函数f（x）在区间[1，3]上（　　） A.单调递增且最小值为－5 B.单调递增且最大值为－5 C.单调递减且最小值为－5 D.单调递减且最大值为－5 3.已知函数y＝f（x）是R上的偶函数，且f（x）在[0，＋∞）上单调递减，若f（a）≥f（－2），则a的取值范围是（　　） A.a≤－2　 B.a≥2 C.a≤－2或a≥2　 D.－2≤a≤2 4.已知函数y＝f（x）是偶函数，其图象与x轴有4个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和是（　　） A.4　 B.2 C.1　 D.0 5.（多选）已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的有（　　） A.这个函数有两个单调递增区间 B.这个函数有三个单调递减区间 C.这个函数在其定义域内有最大值7 D.这个函数在其定义域内有最小值－7 6.（多选）已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2＋x＋a－2，则（　　） A.a＝2　 B.f（2）＝2 C.f（x）是R上的增函数　 D.f（－3）＝－12 7.已知函数f（x）＝为奇函数，则实数a＝　　　　. 8.已知函数f（x）为偶函数，且当x＜0时，f（x）＝x＋1，则x＞0时，f（x）＝　　　　. 9.若f（x）＝（m－1）x2＋6mx＋2是偶函数，则f（0），f（1），f（－2）从小到大的排列是　　　　. 10.已知函数y＝f（x）的图象关于原点对称，且当x＞0时，f（x）＝x2－2x＋3. （1）试求f（x）在R上的解析式； （2）画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间. 11.定义在R上的偶函数f（x），对任意x1，x2∈[0，＋∞）（x1≠x2），有＜0，则（　　） A.f（3）＜f（－2）＜f（1） B.f（1）＜f（－2）＜f（3） C.f（－2）＜f（1）＜f（3） D.f（3）＜f（1）＜f（－2） 12.设f（x）为偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增，f（－2）＝0，则xf（x）＜0的解集为（　　） A.（－1，0）∪（2，＋∞）　 B.（－∞，－2）∪（0，2） C.（－2，0）∪（2，＋∞）　 D.（－2，0）∪（0，2） 13.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f（1）＋g（1）＝　　　　. 14.已知函数f（x）＝ax＋＋c（a，b，c是常数）是奇函数，且满足f（1）＝，f（2）＝. （1）求a，b，c的值； （2）试判断函数f（x）在区间（0，）上的单调性并证明. 15.（多选）给出定义：若m－＜x≤m＋（其中m为整数），则称m为离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}＝m.则下列关于函数f（x）＝x－{x}的四个命题中是真命题的有（　　） A.函数y＝f（x）的定义域是R，值域是（－，］ B.函数y＝f（x）是偶函数 C.函数y＝f（x）是奇函数 D.函数y＝f（x）在（－，］上单调递增 16.设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有＞0. （1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小关系； （2）若f（1＋m）＋f（3－2m）≥0，求实数m的取值范围. 第二课时　奇偶性的应用 1.A　g（－2）＝f（－2）＝f（2）＝22＋2＝6. 2.A　f（x）为奇函数，∴f（x）在[1，3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f（1）为最小值，又已知f（－1）＝5，∴f（－1）＝－f（1）＝5，∴f（1）＝－5，故选A. 3.D　由f（a）≥f（－2）得f（｜a｜）≥f（2），∴｜a｜≤2，∴－2≤a≤2. 4.D　y＝f（x）是偶函数，所以y＝f（x）的图象关于y轴对称，所以f（x）＝0的所有实根之和为0. 5.BC　根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出其在[－7，7]上的图象，如图所示.由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7，故选B、C. 6.ACD　f（x）是R上的奇函数，故f（0）＝a－2＝0，得a＝2，故A正确.f（2）＝4＋2＝6，故B错误.当x≥0时，f（x）＝x2＋x在[0，＋∞）上单调递增，利用奇函数的对称性可知，f（x）在（－∞，0]上单调递增，故f（x）是R上的增函数，故C正确.f（－3）＝－f（3）＝－9－3＝－12，故D正确.故选A、C、D. 7.－1　解析：根据题意，函数f（x）＝的定义域为{x｜x≠0}，且为奇函数，则有f（x）＋f（－x）＝0，即＋＝0，变形整理得2（a＋1）＝0，解得a＝－1. 8.－x＋1　解析：当x＞0时，－x＜0，∴f（－x）＝－x＋1，又f（x）为偶函数，∴f（x）＝－x＋1. 9.f（－2）＜f（1）＜f（0）　解析：∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x）恒成立，即（m－1）x2－6mx＋2＝（m－1）x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f（x）＝－x2＋2.∵f（x）的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞）上单调递减，∴f（2）＜f（1）＜f（0），又∵f（x）＝－x2＋2为偶函数，∴f（2）＝f（－2）.即f（－2）＜f（1）＜f（0）. 10.解：（1）因为函数f（x）的图象关于原点对称， 所以f（x）为奇函数，则f（0）＝0. 设x＜0，则－x＞0， 因为当x＞0时，f（x）＝x2－2x＋3. 所以当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x＋3）＝－x2－2x－3. 于是有f（x）＝ （2）先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图. 由图象可知函数f（x）的单调递增区间是（－∞，－1]，[1，＋∞），单调递减区间是（－1，0），（0，1）. 11.A　由题意知，f（x）为偶函数，所以f（－2）＝f（2）.又x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递减，且3＞2＞1，所以f（3）＜f（2）＜f（1），即f（3）＜f（－2）＜f（1），故选A. 12.C　根据题意，偶函数f（x）在（－∞，0）上单调递增，且f（－2）＝0，则函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减，且f（－2）＝f（2）＝0，作出函数f（x）的草图如图所示， 又由xf（x）＜0，可得或由图可得－2＜x＜0或x＞2，即不等式的解集为（－2，0）∪（2，＋∞）.故选C. 13.1　解析：∵f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，∴f（－x）－g（－x）＝－x3＋x2＋1.∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x）.∴f（x）＋g（x）＝－x3＋x2＋1.∴f（1）＋g（1）＝－1＋1＋1＝1. 14.解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x）， ∴－ax－＋c＝－ax－－c， ∴c＝0，∴f（x）＝ax＋. 又∵f（1）＝，f（2）＝， ∴ ∴a＝2，b＝. 综上，a＝2，b＝，c＝0. （2）由（1）可知f（x）＝2x＋. 函数f（x）在区间（0，）上单调递减. 证明如下：任取0＜x1＜x2＜， 则f（x1）－f（x2）＝2x1＋－2x2－ ＝（x1－x2）（2－） ＝（x1－x2）. ∵0＜x1＜x2＜，∴x1－x2＜0，＞2x1x2＞0， 4x1x2－1＜0. ∴f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）. ∴f（x）在（0，）上单调递减. 15.AD　化简函数解析式可得， f（x）＝x－{x}＝ 画出函数的图象，如图所示，由图象可知函数y＝f（x）的定义域是R，值域是（－，］，故A为真命题；由图可以得出，函数图象既不关于y轴对称，也不关于坐标原点对称，且f（x）在（－，］上单调递增，故函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数，从而B，C为假命题，D为真命题. 16.解：（1）因为a＞b，所以a－b＞0， 由题意得＞0， 所以f（a）＋f（－b）＞0. 又f（x）是定义在R上的奇函数， 所以f（－b）＝－f（b）， 所以f（a）－f（b）＞0，即f（a）＞f（b）. （2）由（1）知f（x）为增函数， 因为f（1＋m）＋f（3－2m）≥0，所以f（1＋m）≥－f（3－2m）， 即f（1＋m）≥f（2m－3）， 所以1＋m≥2m－3，所以m≤4. 所以实数m的取值范围为（－∞，4]. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $