第4章 3.3 第1课时 对数函数的图象和性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

1．函数y＝logax的图象如图所示，则a的值可以是(　　) A．0.5 B．2 C．e D．π 答案：A 2.如图①②③④中，不属于函数y＝x，y＝x，y＝log5x的一个是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 解析：B　[因为log＜log＝，∴③是y＝x，④是y＝x，又y＝x＝－log5x与y＝log5x关于x轴对称，∴①是y＝log5x.] 3．函数y＝loga(x－3)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(　　) A．(3,0) B．(3,2) C．(4,2) D．(4,0) 答案：C 4．函数y＝2＋log5x(x≥1)的值域为(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．[2，＋∞) D．[3，＋∞) 解析：C　[由x≥1，知log5x≥0，y≥2，值域是[2，＋∞)．] 5．(多选)函数f(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的图象过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：BCD　[作出函数f(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的大致图象如图所示，则函数f(x)的图象过第二、三、四象限．] 6．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(a)≤2f(1)，则a的取值可以是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：BC　[∵f(a)＝f(－log2a)＝f(log2a)，∴原不等式可化为f(log2a)≤f(1)，又∵f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log2a≤1，即1≤a≤2，∵f(x)是偶函数，∴f(log2a)≤f(－1)．又f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log2a≤0，∴≤a≤1.综上可知≤a≤2.] 7．若loga(3a－1)恒为正，则a的取值范围为　________　. 解析：由题意知loga(3a－1)>0＝loga1. 当a>1时，y＝logax是增函数，∴ 解得a>，∴a>1； 当0<a<1时，y＝logax是减函数， ∴解得<a<.∴<a<. 综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞)． 答案：∪(1，＋∞) 8．函数f(x)＝的值域为　________　. 解析：当x≥1时，y＝x≤0；当x＜1时，y＝2x,0＜y＜2，故函数y＝f(x)的值域是(－∞，2)． 答案：(－∞，2) 9．设常数a>1，实数x，y满足logax＋2logxa＋logxy＝－3，y的最大值为，则a的值为　________　，x的值为　________　. 解析：由logax＋2logxa＋logxy＝－3， 得logax＋＋＝－3(x>0，y>0，x≠1)， 整理可得logay＝－(logax)2－3logax－2. 设logax＝t(t≠0)，则有logay＝－2＋. ∴当t＝－时，logay的最大值为，y的最大值为，∴＝，∴a＝4，此时x＝at＝＝. 答案：4　 10．比较下列各组中两个值的大小： (1)ln 0.3，ln 2； (2)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)； (3)log30.2，log40.2； (4)log3π，logπ3. 解：(1)因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，且0.3<2，所以ln 0.3<ln 2. (2)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又3.1<5.2，所以loga3.1<loga5.2； 当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数， 又3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2. 综上所述，当a>1时，loga3.1<loga5.2； 当0<a<1时，loga3.1>loga5.2. (3)因为0>log0.23>log0.24， 所以<， 即log30.2<log40.2. (4)因为函数y＝log3x是增函数，且π>3， 所以log3π>log33＝1. 同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3. 11．已知函数f(x)＝lg|x|. (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)画出函数f(x)的草图； (3)利用定义证明函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数． 解：(1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|>0，解得x≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)．∴函数f(x)是偶函数． (2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，将函数y＝lg x的图象对称到y轴的左侧与函数y＝lg x的图象合起来得到函数f(x)的图象，如图所示． (3)证明：设x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝lg|x1|－lg|x2|＝lg＝lg. ∵x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x1， ∴|x1|>|x2|>0. ∴>1.∴lg>0.∴f(x1)>f(x2)． ∴函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数． 12．已知f(x)＝(x)2－3x，x∈[2,4]，试求f(x)的最大值与最小值． 解：令t＝x， 则y＝t2－3t＝2－， ∵2≤x≤4，∴4≤x≤2， 即－2≤t≤－1. 可知y＝2－在[－2，－1]上单调递减． ∴当t＝－2时，y取最大值为10； 当t＝－1时，y取最小值为4. 故f(x)的最大值为10，最小值为4. 13．若不等式x2－logmx＜0在内恒成立，求实数m的取值范围． 解：由x2－logmx＜0，得x2＜logmx，在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的图象，如图所示． 要使x2＜logmx在内恒成立，只要y＝logmx在内的图象在y＝x2的上方，于是0＜m＜1. ∵x＝时，y＝x2＝， ∴只要x＝时，y＝logm≥＝logmm. ∴≤m，即≤m. 又0＜m＜1， ∴≤m＜1，即实数m的取值范围是. 14．设函数f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212. (1)求a，b的值； (2)当x∈[1,3]时，求f(x)的最大值． 解：(1)由 得∴ 即∴ (2)由(1)知f(x)＝log2(4x－2x)，设t＝2x， ∵x∈[1,3]，∴t∈[2,8]． 令u＝4x－2x＝t2－t＝2－， ∴当t＝8，即x＝3时，u最大，umax＝56， 又y＝log2u单调递增，∴当u最大时，y也最大， 故f(x)的最大值为3＋log27. 学科网（北京）股份有限公司 $$