广东深圳市东北师范大学附属中学深圳学校2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题

**基本信息** 聚焦必修二前三章，以向量、立体几何、解三角形为核心，通过食品厂管道设计等现实情境与梯度问题（基础运算到创新应用）考查空间观念、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|向量共线（1）、立体几何位置关系（4）、解三角形面积最值（8）|基础题（向量投影）与能力题（正四面体外接球）结合，考查抽象能力| |填空题|3题/15分|复数运算（12）、向量线性表示（13）、正四棱台体积（14）|注重空间观念，如棱台与外接球综合| |解答题|5题/77分|向量夹角与垂直（15）、正四棱台侧面积（17）、管道总长函数建模（19）|以立体几何（18）、解三角形（16）为载体，突出推理能力与应用意识|

考试时间：120分钟 满分：150分 2025—2026学年下学期高一年级 期中考试卷 考试范围：必修二前三章 组题人：数学组 审题人：数学组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为（    ） A． B．0或 C．0或1 D．0或3 2．（    ） A． B．1 C． D． 3．已知向量，则与的夹角为钝角时，的取值范围为 A． B． C．且 D．且 4．如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结论不正确的是（    ） A． B．//平面 C． D．//平面 5．若一个正四面体的表面积为，其外接球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 6．设为单位向量，在方向上的投影向量为，则（    ） A．1 B． C． D．2 7．已知圆的半径为，，，，为圆上四点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．向量在向量方向上的投影的数量是 D．与向量方向相同的单位向量是 10.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的表面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2 11.已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，.则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的取值范围为 D．若，则为等边三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数满足（其中为虚数单位），则 ． 13．如图，在中，，，若，，则 .（用，表示） 14．已知某正四棱台上底面的边长为，下底面的边长为，外接球的表面积为，则该正四棱台的体积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知，. (1)与夹角的余弦值； (2)若与垂直，求k的值. 16.已知锐角分别为角的对边，若. (1)求证：； (2)求的取值范围. 17.已知正四棱台(由正四棱锥截得且截面是正方形)的底面边长分别为20和10． (1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积． (2)若所有侧面的面积和为780，求棱台的斜高（侧面的高）及对应的正四棱锥的体积． 18.在如图所示的多面体中，平面 (1)在上求作点使平面请写出作法并说明理由； (2)求三棱锥的高． 19.如图，现有一食品厂的占地区域为半圆形，直径为AB的中点，为OB的中点，点在BA的延长线上，且，市政规划要求，在半圆弧上选取一点，各修建一条地下管道EC和ED通往C，D两点.    (1)设，试将管道总长（即EC+ED）表示为的函数； (2)若修建管道EC的费用为10万元，修建管道ED的费用为20万元，求修建管道的总费用的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考试卷（答案） 1．A 【详解】因为与共线，可设，即，因为，不共线，所以所以. 2．C 【详解】 3．C 【详解】，与的夹角为钝角时，，解得， 又与不共线，即，的取值范围是，且.故选C. 4．B 【详解】不妨设棱柱的高为，.B选项，根据棱柱性质，//，而平面，若//平面，无论怎样平移直线，都不会和平面只有一个交点，于是得到矛盾，故B选项错误；A选项，计算可得，，又为的中点，故（三线合一），A选项正确；C选项，连接，根据平行四边形性质，过，计算可得，，又为的中点，故（三线合一），结合A选项，，，平面，故平面，由平面，故，棱柱的侧棱//，故，C选项正确；D选项，取中点，连接，结合为的中点可知，为中位线，故//，且，即//，且，故四边形为平行四边形，故//，由平面，平面，故//平面，D选项正确. 5．C 【详解】设正四面体的棱长为，可知该四面体的外接球的半径是，所以可以求得，，所以， 6．C 【详解】因为为单位向量，在方向上的投影向量为， 所以，则，所. 7．C 【详解】知圆的半径为，，，，为圆上四点，且， ，为O为原点，OA为x轴建立直角坐标系： 则，，设，则有， ，， ，， 化简得，由，当时，有最大值6. 8．A 【详解】因为，由正弦定理可得：， 即，，又，，故；由，解得；由余弦定理，结合，可得，即，解得，当且仅当时取得等号；故的面积，当且仅当时取得等号.即最大值为. 9．ABD 【详解】由题意，向量，由，则，所以，故A正确；由，可得，故B正确； 由向量在向量方向上的投影的数量为，故C不正确； 由，所以与向量方向相同的单位向量是，故D正确； 10．CD 【详解】对于A：球半径为R，所以圆柱侧面积为.故A错误； 对于B：圆锥侧面积为，表面积为.故B错误； 对于C：球的表面积为,所以 圆柱的侧面积与球的表面积相等.故C正确； 对于D：，，，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2.故D正确． 11．ABD 【详解】对于A，在中，，由余弦定理得，正确，对于B，由正弦定理，可得，， 所以，正确；对于C，由选项B知，，则 ， 又，所以，所以，所以，错误；对于D，表示方向的单位向量；表示方向的单位向量， 根据平面向量加法的几何意义可知与的角平分线共线， 由可知的角平分线与垂直，所以是等腰三角形， 又，所以为等边三角形，正确. 12． 【详解】由，得， 所以，故答案为：. 13． 【详解】由于， 由于，故，， 又因为，故，所以．故答案为：． 14．或 【详解】根据题意，球心位置分为两种情况： ①若球心位置在几何体内， 如图所示：设为外接球球心，为外接球半径，则，又上底面是边长为的正方形，故下底面的边长为的正方形，故外接球的表面积为所以则所以正四棱台的高正四棱台的体积； ②当球心在的延长线上时，正四棱台的高 则正四棱台的体积.故答案为：或. 15．(1)；(2)0. 【详解】（1）因为，，故. （2）因为，，故，， 又向量与垂直，则，解得. 16．(1)证明见解析；(2). 【详解】（1） 根据正弦定理，由 ，即. 是锐角三角形，，， 因此有 （2）是锐角三角形，，而， 由正弦定理，得， 则， 而 所以，因此的取值范围为. 17．(1) (2)， 【详解】（1）如图，设分别为上、下底面的中心，过作于过作于连接，则为正四棱台的斜高，由题意知，在中，，又，斜高，∴  棱台的侧面积. （2）取的中点，的中点，则为棱台的斜高， 四条侧棱延长后交于点， 由题意侧面积 斜高，在直角梯形中，，，∴  ，由棱锥性质，， 所以则正四棱锥的体积为. 18.【详解】（1）取BC的中点G，连接DG，交AC于点P，连接EG，EP，则P为所求作的点，如图：由，G为BC的中点，得， 而，则四边形是平行四边形，，即，又平面，平面，则平面，而，平面，平面，则平面，又平面，平面，， 因此平面平面，而平面，所以平面. （2）在等腰梯形中，由，， 得梯形的高等于，从而的面积为， 由平面，得DE是三棱锥的高，设三棱锥的高为h， 由，得，即，解得， 所以三棱锥的高为. 19．(1)（单位：）(2)万元 【详解】（1）为方便起见，在本解析中我们将在过程中略去单位，只在最终结果标明单位.如无特殊说明，线段长度的单位均为“千米”，费用的单位均为“万元”. 由条件知，，，从而在和中使用余弦定理有 ， （2）设管道总费用为，，由（1）可知， ， ，当且仅当时取等号， 故当时，总费用的最大值是万元. 学科网（北京）股份有限公司 $期中考试卷（答案） 1.A 【详解】因为D=a+m6与可=6+3a共线，可设万=西，即a+生6=6+3a),因为a,云不共线，所以 3 32=1, m=2所以m=± 1 4 2 3 2.C 【详解】50+50D-1-i (2+(2-)5 3.C 【详解】~a=(-2,-0,万=(21)，a与乃的夹角0为钝角时，a:b=-2元-1<0，解得2> 21 又a与万不共线，即2+2，A的取值范围是2>分：且A≠2故选C 4.B 【详解】不妨设棱柱的高为2h,AC=CB=xB选项，根据棱柱性质，AC∥AC,而AC1⌒平 面ABQ=A,若AC∥平面AB2,无论怎样平移直线AC,都不会和平面AB2只有一个交点， 于是得到矛盾，故B选项错误：A选项，计算可得，QA=QB=Vx2+2,又P为4B的中点， D 故P2⊥AB(三线合一)，A选项正确；C选项，连接QB,QA,AB,根据平行四边形性质，AB 过P,计算可得，QA=QB=VK+?,又P为AB的中点，故PO⊥AB(三线合一)，结合A选项，P2⊥AB, AB,∩AB=P,AB,ABC平面ABBA,故PQ⊥平面ABB,A,由AAC平面ABBA,故PQ1AA,棱柱的侧棱 AA∥CC,故PO⊥CC,C选项正确：D选项，取AB中点E,连接PE,CE,结合P为AB的中点可知，PE为△ABA 中位线，故P阻A4,且P咀-4，即PBCQ,且PB=CQ,放四边形PBC0为平行四边形，放QMC,由PQz 平面ABC,CEC平面ABC,故PQ∥平面ABC,D选项正确. 5.c 详解】设正四面体的校长心，可知该泗面体的外接球的半径是R2,所以可以求得S4d=VB2 S3a22√3 -所以安：n s-4z(6 6.C 【详解】因为a,6为单位向量，a在6方向上的投影向量为-1b, 2 以分合a66b,则专所i引=a-b=后-2a6不11-可8 7.C 【详解】知圆O的半径为1，A,B,C,D为圆O上四点，且AB=CD=1, ∠A08=∠C0D-行，为0为原点，01为x轴建立直角坐标系： 则4io.叭化-kc(wzsh@,)则有ae+骨引me到》】 c=(ou-lmd,而-a+到1ma+孙 s-)n时e-引or影9 AC.AD+BC.BD -ou-lsne(ore*引-ne+别 + 化简得AC.AD+BC.BD=3-3cosu,由-1≤coSa≤1，当c0Su=-1时，AC.AD+BC.BD有最大值6. 8.A 【详解】因为a cos B=(2c-b)coSA,由正弦定理可得：sin AcosB=2 sin CcosA-sin B cosA, 即sn(4+B)=2 Co4,saC=2,又Ce(0,mC=0,故cosA=方：由4e(Q),解得A-号 3 由余弦定理，结合a=3,可得c0sA=公+c-9,即公+c=bc+9≥2c,解得bc≤9，当且仅当b=c=3时取 Γ2-2bc 得等号：故A4BC的面积5=hcm4=5c≤59-95，当且仅当b=c=3时取得等号.即最大值为35 =22 4 4 4 9.ABD 【详解】由题意，向量a=(2,1),b=(-3,1),由a+b=(-1,2),则(a+b)a=-1×2+2×1=0,所以(a+b)1a,故A 正确；由a+26=(4,3),可得a+2=V(-4+3=5,故B正确： a-b_2×(3)+1×1_M0 由向量ā在向量b方向上的投影的数量为 V(3)2+12 2， 故C不正确： 由d=√2+1=√5，所以与向量a方向相同的单位向量是 a255 a 5’5 故D正确： 10.CD 【详解】对于A:球半径为R,所以圆柱侧面积为2πR.2R=4πR2.故A错误： 对于B:圆锥侧面积为πR.√5R=√5πR2,表面积为πR+√5πR.故B错误： 对于C:球的表面积为4πR,所以圆柱的侧面积与球的表面积相等.故C正确： 对于D:乃=2R=2,a写2R-,a-青，所以指、圆莲、球的体积之比为：1： 31 2.故D正确. 11.ABD 【详解】对于A,在MBC中，C=2,由余弦定理得bcos+ac0B=b.6+ca+a.。+c-b=c=2,正确， 2bc 2ac a b c 2 43 4W 对于B,由正弦定理sinA sin BsinC√33，可得】 b+2c 3 sin B+83 sinc 43, 3 2 sin B+2sin C sin B+2sin C 3 sin B+4 8W 2b+c 3 3 sinc 43, 2sin B+sin C 2sinB+sinc—= 3 所以、 b+2c 0=B十nC3,正确：对于C,由选项B知，b=4n8,则 3 AC=bxcx C0A=0A=i w489 （3 -4=3 3 cos+ m4o4+4c4-2m211:m24一号m 43 32A 3+ 错误；对于 CA CB D CA 表示CA方向的单位向量： CB 表示CB方向的单位向量， CA CB 根据平面向量加法的几何意义可知 十 与∠ACB的角平分线共线， CA CB 由 CC AB=0可知∠ACB的角平分线与AB垂直，所以△ABC是等腰三角形， 又∠C= 3， 所以△ABC为等边三角形，正确. 12.10 3 【详解】由1+1=2i,得：=1+31-+3×(_3-i_31 2i2i×(-i) 2221 所以=；国+ 3212√10 22 2 故答案为：10 4 【详解】由于BC=AC-AB=b-a, 由于而-元，故丽-号0-6-司，而-丽+而-+6-列5+号， 义因为证=D.救死-扳-+到-言，所以 43 丽-而，证-6司b5-写-.做答案为：a5, 4 41w或号 D 【详解】根据题意，球心位置分为两种情况： ①若球心位置在几何体内， 如图所示：设O为外接球球心，R为外接球半径，则OC=OC=R,又上底面是 边长为25的正方形，故MC,=49=2,下底面的边长为4W2的正方形，故 2 NC=4C=4,外接球的表面积为4πR2=80元所以R=2V5,0C=0C=R=2W5,则 2 OM=√OC2-MC2=V20-4=4,ON=√OC2-NC2=√20-16=2，所以正四棱台的高h=MW=OM+ON=6,正四 棱台的体积y-写专5+-西)6x+2+羽-12： ②当球心在MN的延长线上时，正四棱台的高h=OM-ON=2, 则正四棱合的体积y-×x6+5+西)=×2x8+32+®×32)-2故答案为：112或号 112 3 3 3 15.0①-：②0. 10 【详解】(1)因为a=1,2),方=(1，-1).故c0sa,6)= a-b_-1-10 丽5x510 (2)因为a=(12),万=(1，-1)，故2a+b=(3,3),ka-b=(k-1,2k+1), 又向量2a+6与ka-b垂直，则3(k-1)+3(2k+1)=0,解得k=0, 16.Q①证明见解析；(2】 【详解】(1)a+c2-b=2c(1+co34)）→a+c2-b_ -=2(1+c0sA) 2ac →coB=b1+cos4)→ac03B=b1+co4根据正弦定理a=b sindsinB'由acosB=b1+cosA)→ sinAcosB sinB(1+cos4)sinAcosB-sinBcos4=sinB,sin(A-B)=sinB 因此有A-B=B→A=2B (2)△MBC是锐角三角形，∴A,B,C∈0，C 而C=π-A-B=π-3B, 0sB<受 028受→B<由正孩定理06C 6 4 sinB sinc，得二=s-SinB c sinc sin3B' 0-38号 sin3B sin (2B+B)=sin2BcosB+cos2BsinB=2sinBcos2B+(1-2sin2B)sinB, 1-sin'B=cos"B,..sin3B 3sinB-4sin3B 所以y，1 名。任引8：昼号名径国的假南用为[ 17.(1)3003(2)13,3200 D 0 【详解】(1)如图，设O,O分别为上、下底面的中心，过C作CE⊥AC于E,过E作 EF1BC于F,连接C,F,则C,F为正四棱台的斜高，由题意知∠CCO=45°， D 0 CE=CO-EO=CO-CO=5N2在Rt△CCE中，CE=CE=5V2,又 EF=CEsin45°=5，∴斜高CF=√CE2+EF2=5W3,∴棱台的侧面积 S=4×号00+20×56=305. (2)取AB的中点M,AB的中点N,则MN为棱台的斜高， 四条侧枝延长后交于点，由题意侧面积S=4×分00+20×1N=790 斜高N=13,在直角梯形0胞中，QM-号A么-5，ON-AD-10. 2 ÷00=W2-ON-0M)=M3-5=12,由棱锥性质%=4县-10，P0-12_10 PO AB 20’P0-20 所以P0-24则正四棱锥P-ABCD的体积为r-背P0}20心×24=320， 18.【详解】(1)取BC的中点G,连接DG,交AC于点P,连接EG,EP,则P为所求作的点，如图：由BC=2AD, G为BC的中点，得BG=AD, 而BC//AD,则四边形BGDA是平行四边形，DG//AB,即DP//AB,又ABC平 面ABF,DP丈平面ABF,则DPII平面ABF,而AF∥DE,AFC平面ABF,DE丈 平面ABF,则DEII平面ABF,又DPC平面PDE,DEC平面PDE,PD∩DE-D, 因此平面PDE/1平面ABF,而PEC平面PDE,所以PE//平面ABF. B (2)在等腰梯形ABCD中，由∠ABC=60°，BC=2AD=4, 得梯形ABCD的高等于4B sin60°=V5,从而△ACD的面积为}×2x√5-3， 由DEL平面ABCD,得DE是三棱锥E-ACD的高，设三棱锥A-CDE的高为h, 庙at=m,得行SA-写8nDB,即宁1k2xh=5x,解得h=5, 所以三棱锥A-CDB的高为√. 19.(1)EC+ED=2W5+4cos0+√5-4cos日（单位：m)(2)40W5万元 【详解】(1)为方便起见，在本解析中我们将在过程中略去单位，只在最终结果标明单位.如无特殊说明，线段长度 的单位均为“千米”，费用的单位均为“万元” 件知OB=QA=AB=2,AC=0C-0A=4-2=2,0D=DB=0B=1,从而在△C0B和D0B中使用差 定理有EC+ED=√OE2+OC2-20E.OC cos.∠EOC+VOE2+OD2-2OE.OD cos.∠EOD =V4+16-16cos(π-E0B)W4+H-4cosE0B=√20-16c0s(π-0)+V5-4c0s0 =√20+16c0sB+√5-4c0s0=2√5+4cos6+√5-4cos日，EC+ED=2W√5+4cos0+√5-4cos6 (2)设管道总费用为F,∠EOB=0,由(1)可知， F=10EC+20ED=20√5+4cos0+20W5-4cos0, =20WN5+4c0s6+V5-4c0s日 -20M0+2V25-16c0s9≤20N10+2W25=20w10+25=40N5,当且仅当0=时取等号， 故当0=匹时，总费用的最大值是40√5万元.东北师龙女学附属中学采圳学格 2025一2026学年下学期高一年级 Shenzhen School of Northesst Normal Univerity Alfliated High Schoo 期中考试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 考试范围：必修二前三章 组题人：数学组 审题人：数学组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1,.已知向量a,6不共线，若向量方=a+号6与向量可=i+3a共线，则m的值为() 3 A号 B.0或号 C.0或1 D.0或3 5(1+i13) 2.2+2-（） A.-1 B.1 C.1-i D.1+i 3.己知向量a=(-2,-1),b=(2,1),则a与b的夹角6为钝角时，的取值范围为 A号 B月 C.A>号且=2D.c 2且1*-2 4.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，CA=CB,P为AB的中点，Q为棱CC的中点，则下列结论不正确的是 () A.PQ⊥AB B.AC1∥平面AB2 C.Pg⊥CC D.PQI∥平面ABC 5.若一个正四面体的表面积为S,其外接球的表面积为品，则冬=《) S A.3 B.3 c.25 D.3V3 元 6元 3元 4π 6.设a.5为单位向量，a在b方向上的投影向量为-0，则a-可-《） A.1 B.√2 C.5 D.2 7.己知圆O的半径为1，A,B,C,D为圆O上四点，且AB=|CD1=1,则AC.D+BC.BD的最大值为() A.3 B.2W3 C.6 D.43 8.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,a cos B=(2c-b)coSA,则△ABC面积的最大值为 () A.95 B.93 4 2 c.4 9 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知向量=(2,1)，b=(-3,1),则下列说法正确的是() A.(a+b)⊥a B.a+2b=5 C.向量ā在向量B方向上的投影的数量是0 D.与向量a方向相同的单位向量是 2W5√5 5,5 10.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（) A.圆柱的侧面积为2πR B.圆锥的表面积为3πR C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2 1,已知△4BC三个内角4，B,C的对应边分别为a,6,c,且∠C-胥c=2则下列结论正确的是〈) A.bcosA+acos B=2 b+2c 2b+c 4 B. sin B+2sin C 2sin B+sin C 3 CB C.ACAB的取值范围为(0,4V3)D.若 CA CB AB=0,则△ABC为等边三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数：满足+31=2i(其中为虚数单位)，则月= 13.知图在MBC中，而-c,店-D.若，C=6,则旺-一（用a,6表示） 14.己知某正四棱台上底面的边长为2√2，下底面的边长为42，外接球的表面积为80π，则该正四棱台的体积 为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知a=(1,2),b=1,-1} (1)a与i夹角的余弦值： (2)若2a+与ka-b垂直，求k的值. 16.已知锐角△ABC,a,b,c分别为角A,B,C的对边，若a2+c2-b2=2bc(1+cos4)」 (1)求证：A=2B: (2)求的取值范围， 17.已知正四棱台（由正四棱锥截得且截面是正方形）的底面边长分别为20和10. D (1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积. A (2)若所有侧面的面积和为780，求棱台的斜高（侧面的高）及对应的正四棱锥的体积. D 18.在如图所示的多面体中，DE⊥平面ABCD,AF/DE,AD/BC,AB=CD,∠ABC=60°，∠EDC=90°， BC=2AD=4DE=4. (I)在AC上求作点P,使PE1/平面ABF,请写出作法并说明理由； (2)求三棱锥A-CDE的高. F D 19.如图，现有一食品厂的占地区域为半圆形，直径AB=4km,O为AB的中点，D为OB的中点，点C在BA的延 长线上，且OC=4k,市政规划要求，在半圆弧上选取一点E,各修建一条地下管道EC和ED通往C,D两点. F A O D B (1)设∠EOB=O,试将管道总长（即EC+ED)表示为O的函数： (2)若修建管道EC的费用为10万元km,修建管道ED的费用为20万元/km,求修建管道的总费用的最大值.