精品解析：广东深圳市龙岗区第二高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

2025--2026学年第二学期期中考试高一数学测试卷 满分：150分 时间：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则实数 （ ） A. B. C. 1 D. 4 2. 复数 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知平面平面，直线，直线 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与是异面直线 C. 过直线的平面与的交线与平行 D. 若直线，则 4. 中，内角 所对的边分别为 ，若，则的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的侧面积和体积分别为（ ） A. 16， B. 16， C. 8， D. 8， 6. 已知，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，边，，点E是对角线BD上靠近点D的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥 中，，，则三棱锥 外接球的半径为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数为 C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10. 记 的内角的对边分别为下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 为锐角三角形 D. 当 为锐角三角形，且时， 11. 如图，平面四边形中， 为正三角形， 为等腰直角三角形，与交于点，若将 沿斜边翻折，得到三棱锥 ，则下列说法正确的是（ ） A. 在翻折过程中，与始终垂直 B. 在翻折过程中，与始终垂直 C. 在翻折过程中，三棱锥有可能是正四面体 D. 在翻折过程中，三棱锥有可能是正三棱锥 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 在等边 中，是边上的点.若，则__________. 13. 已知，，且，则与的夹角为___________． 14. 已知 三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为__________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，复数 （1）若 为纯虚数，求满足条件的值； （2）若 对应的点位于复平面的第四象限，求满足条件的的取值范围． 16. 已知向量， （1）若，求的值； （2）当时，求； （3）若向量，夹角为锐角，求的取值范围 17. 在 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角B； （2）若，，求边c和 的面积. 18. 如图，为四边形的斜二测直观图，其中. （1）求平面四边形的面积及周长； （2）若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积. 19. 已知直三棱柱满足，，点，分别为 ，的中点. （1）求证： 平面； （2）求证：平面. （3）求三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026学年第二学期期中考试高一数学测试卷 满分：150分 时间：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则实数 （ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由向量平行的坐标表示，结合题意得 ，解得. 2. 复数 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】 . 实部为，虚部为 ， 所以对应点在第一象限. 3. 已知平面平面，直线，直线 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与是异面直线 C. 过直线的平面与的交线与平行 D. 若直线，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用面面平行的性质可判断AB选项；利用线面平行的性质可判断C选项；根据线面的位置关系可判断D选项. 【详解】因为平面平面，直线，直线 ，则 或与是异面直线，AB都错； 设过直线的平面为平面，因为平面平面，直线，直线 ，则， 因为，，所以，C对； 若直线，，，则与相交（不一定垂直）或或，D错. 4. 中，内角 所对的边分别为 ，若，则的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求解即得. 【详解】在 中，由余弦定理得，而， 所以. 故选：A 5. 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的侧面积和体积分别为（ ） A. 16， B. 16， C. 8， D. 8， 【答案】D 【解析】 【分析】根据正四棱锥性质及其棱长等，利用侧面积公式和体积功公式计算可得结果. 【详解】如下图所示，在正四棱锥 中，易知， 为的中点，所以可得 ，易知并利用勾股定理可得， 所以 的面积为，可得该正四棱锥的侧面积为； 又可知，所以正四棱锥的高， 因此其体积为. 故选：D 6. 已知，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】因为， 所以， ， 所以. 故选：B 7. 如图，在平行四边形中，边，，点E是对角线BD上靠近点D的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点， 所以. 8. 在三棱锥 中，，，则三棱锥 外接球的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可知顶点在底面的投影为的外心（正三角形的中心），外接球的球心在过该中心且垂直于底面的直线上，通过勾股定理建立方程求解半径. 【详解】如图，设点为底面的投影，因为， 则为正三角形的中心，计算可得， 则平面，连接 在中，： ， 设外接球的球心为，半径为，则在直线上. 设，则， 在中：解得：， 所以，即. 所以三棱锥 外接球的半径为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数为 C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AC 【解析】 【详解】， A：的虚部为，正确. B：的共轭复数为，错误. C：，正确. D：在复平面内对应的点为，位于第一象限，错误. 10. 记 的内角的对边分别为下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 为锐角三角形 D. 当 为锐角三角形，且时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A直接由正弦定理进行角化边及大边对大角定理可得；对B根据二倍角公式及正弦定理可得；对C可进行举反例判断；对D先将原不等式等价转化为，再结合正切函数的单调性判断可得. 【详解】对选项A，根据正弦定理，， 因此，即三角形中大边对大角，故，A正确； 对选项B，由，得， 因为，所以，故，结合A的结论得B正确； 对选项C，举反例：取 ，，，满足条件， 但此时 ， 是钝角三角形，C错误； 对选项D，原不等式等价于： ， 整理得：  利用三角恒等变换得， 因为 是锐角三角形，​， 所以原不等式等价于：​. 又因为，所以， 因为函数在单调递增， 因此，原不等式成立，D正确. 11. 如图，平面四边形中， 为正三角形， 为等腰直角三角形，与交于点，若将 沿斜边翻折，得到三棱锥 ，则下列说法正确的是（ ） A. 在翻折过程中，与始终垂直 B. 在翻折过程中，与始终垂直 C. 在翻折过程中，三棱锥有可能是正四面体 D. 在翻折过程中，三棱锥有可能是正三棱锥 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，因为在翻折过程中 平面，可判断A；对于B，当平面平面时，假设与垂直，可得到，显然不成立，可判断B；对于C，利用正四面体的定义即可判断；对于D，当的投影为 的中心 时，此时三棱锥为正三棱锥，可判断D. 【详解】由题意知，在翻折过程中， ，， 可得，平面， 所以 平面， 又平面，所以，故A正确； 当翻折使平面平面时， 因为，平面平面， 所以平面，又 平面，所以， 若，，平面， 所以 平面， 因为平面，所以， 易知不成立，故此时与不垂直，故B错误； 而正四面体为四个面均为等边三角形的三棱锥， 显然不是等边三角形，故C错误； 在翻折过程中，当的投影为 的中心 时，此时平面， 又，所以， 此时三棱锥为正三棱锥，故D正确. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 在等边 中，是边上的点.若，则__________. 【答案】14 【解析】 【分析】应用平面向量数量积定义及数量积运算律计算求解. 【详解】在等边 中，， 则. 故答案为：. 13. 已知，，且，则与的夹角为___________． 【答案】 【解析】 【分析】借助平面向量垂直定义及夹角公式计算即可得. 【详解】， 则，则，故. 14. 已知 三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理，代入，，可得.根据满足条件的三角形有两解，结合正弦函数的性质得到关于的不等式，从而得到边长a的取值范围. 【详解】由正弦定理，得. 若满足条件，的三角形有两解，则，且，所以. 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，复数 （1）若为纯虚数，求满足条件的值； （2）若对应的点位于复平面的第四象限，求满足条件的的取值范围． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数的定义列式计算作答. （2）利用复数对应点的位置，列出不等式求解作答. 【小问1详解】 若复数是纯虚数，则，解得 ， 所以当 时，复数z是纯虚数. 【小问2详解】 依题意， ，解得， 所以当时，z对应的点位于复平面的第四象限. 16. 已知向量， （1）若，求的值； （2）当时，求； （3）若向量，夹角为锐角，求的取值范围 【答案】（1） ； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）条件可转化为，解方程即可； （2）根据向量加法坐标运算公式求，再由向量的模的坐标公式求解； （3）条件可转化为，且需排除同向共线情况，解不等式可得结论. 【小问1详解】 由题设，得，即， 所以 . 【小问2详解】 当时，， 所以 故. 【小问3详解】 由题设，，故， 当，同向共线时，有且，此时， 可得，不满足，夹角为锐角， 综上，或. 所以的取值范围为. 17. 在 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角B； （2）若，，求边c和 的面积. 【答案】（1） （2），面积 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理代入计算，即可求解； （2）根据题意，由条件可得，再由正弦定理和三角形面积公式代入计算，即可求解. 【小问1详解】 已知，由余弦定理得：， 所以， 化简可得：. 又，故 【小问2详解】 ， 由正弦定理，代入，，： 所以. 因为， 所以. 18. 如图，为四边形的斜二测直观图，其中. （1）求平面四边形的面积及周长； （2）若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积. 【答案】（1）面积为 ，周长为 （2）体积为，表面积为 【解析】 【分析】（1）画出原图，根据原图计算出平面四边形的面积及周长； （2）判断出旋转形成的几何体的结构，进而求得体积和表面积. 【小问1详解】 依题意，， 所以，画出原图如下图所示： 所以面积为， ，所以周长为. 【小问2详解】 四边形以为旋转轴，旋转一周， 所得几何体为圆柱和圆锥的组合体，截面如下图： 所以体积为. 表面积为. 19. 已知直三棱柱满足，，点，分别为 ，的中点. （1）求证： 平面； （2）求证：平面. （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，证明，结合线面平行的判定定理即可求证； （2）首先证明面，可得，，结合线面垂直的判定定理即可求证； （3）利用由（2）可知平面，可得点到平面的距离为，根据点为 的中点，从而得到点到平面的距离，利用即可求解. 【小问1详解】 如图， 连接，， 四边形为矩形，为 的中点， 与 交于点，且为的中点， 又点为的中点，， 又 平面，且平面， 平面. 【小问2详解】 直三棱柱满足，， 又点为的中点，且面，面， 所以，， 又，面， 平面. 【小问3详解】 由图可知， ，，， 又三棱柱为直三棱柱，且 ， . ，，点为的中点， 所以. 由（2）可知平面. 所以点到平面的距离为， 又点为 的中点， 所以点到平面的距离为， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $