第一章 勾股定理 单元巩固测试卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册.

**基本信息** 本卷为初中数学勾股定理单元巩固测试卷，通过文化传承（如《周髀算经》勾股数）与生活情境（城门、风筝等）的问题设计，覆盖定理应用、逆定理判断及实际建模，适配单元复习，发展数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|勾股数判断、直角三角形判定、正方形面积与勾股定理|结合《周髀算经》考查文化传承，基础巩固与空间观念结合| |填空题|6/18|实际距离计算（池塘、车速）、几何模型应用（秋千、服务站）|以生活场景（车速检测、秋千）构建模型，体现应用意识| |解答题|8/72|综合应用（旗杆折断、风筝高度）、定理证明与拓展（刘徽分割、风车图案）|分层设计，从实际问题（楼梯地毯）到创新证明（勾股定理推导），发展推理能力与创新意识|

第一章 勾股定理 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 2．的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图，以的两边往外作的正方形，其面积分别为，，若，，则边长为（     ） A．64 B．16 C．8 D．4 4．如图，小聪拿着一根长竹竿进一个宽4米的城门，他先横着拿进不去，又竖起来拿，结果竿比城门高2米，当他把竿斜着时，两端正好顶着城门的对角，该竹竿长度为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 5．如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．如图，一个圆柱形食品盒高为10cm，底面圆的周长为12cm，点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是（     ） A．13cm B． C．8cm D． 7．如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 9．如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（     ）． A． B． C． D． 10．如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，A，B是池塘边上的两点，点C是与方向成直角的方向上一点，测得，，则A，B两点间的距离为___________． 12．如图是两个型号的圆柱形笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面部分分别为和，则铅笔长为__________． 13．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是_____．    14．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是______． 15．如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则的长是 ________．    16．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图所示的长方形由两个这样的图形拼成，若，，则长方形的面积为________． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． (1)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 18．某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 19．为落实闽都文化育人与劳动教育要求，某中学将校内如图所示的四边形闲置地块打造为茉莉花种植劳动实践基地．学校数学实践小组对地块边界进行实地勘测，测得，，，，． (1)为便于日常管护，计划在B，D两点间修建一条笔直步道，这条步道最短需要多少米？ (2)为满足茉莉植株根系生长需求，基地全园统一铺设厚的腐殖种植土．请计算该基地总共需要多少立方米的种植土（边界厚度与步道宽度均忽略不计）． 20．综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型 抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为米 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 21．如图．在正方形网格中，每个小方格的边长都为单位1，点在正方形网格的格点上．请按下述要求画图并回答问题： (1)确定一个格点，画直线，使得垂直； (2)画射线，则与所在直线的位置关系是：__________；（填“平行”或“相交”）； (3)画线段，则四边形的面积是__________． 22．如图，在四边形中，，垂足为E，，连接，若， ．求：   (1)的长； (2)四边形的面积． 23．春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里． (1)求渔船A与渔船B之间的距离． (2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？ 24．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 勾股定理 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 【详解】解：勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数， 选项A中，且三个数均为正整数，符合题意； 选项C中，，，不满足勾股定理，不符合题意； 选项B中各数为无理数，选项D中各数为小数，均不是正整数，不符合题意． 2．的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】先确定各选项中三角形的最长边，再利用勾股定理逆定理验证两短边平方和是否等于最长边平方． 【详解】解：A选项，，，，不是直角三角形； B选项，，，，∴不是直角三角形； C选项，，，，∴不是直角三角形； D选项，，，，∴是直角三角形． 3．如图，以的两边往外作的正方形，其面积分别为，，若，，则边长为（     ） A．64 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【分析】利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 在中，， ∴． 4．如图，小聪拿着一根长竹竿进一个宽4米的城门，他先横着拿进不去，又竖起来拿，结果竿比城门高2米，当他把竿斜着时，两端正好顶着城门的对角，该竹竿长度为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】C 【分析】设竹竿长度为米，则城门高为米，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：设竹竿长度为米，则城门高为米， 由勾股定理可得，， 解得， ∴竹竿长度为5米． 5．如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由勾股定理求得，则，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：在长方形中，，，， 由折叠性质得，， 在中，， ∴ 在中，由勾股定理得， ∴，解得． 6．如图，一个圆柱形食品盒高为10cm，底面圆的周长为12cm，点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是（     ） A．13cm B． C．8cm D． 【答案】B 【分析】将圆柱侧面展开，构建直角三角形，确定两直角边的长度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将圆柱侧面沿过点的母线展开，如图所示： ∵圆柱底面周长为，高为，点为对侧中点， ∴在展开图中，点到点的水平距离为底面周长的一半，即， 点到底面的垂直距离为高的一半，即， ∴由勾股定理，得蚂蚁爬行的最短路程为 ． 7．如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理可求出，进而求出正方形的面积． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ． 故选：B． 8．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 【答案】C 【分析】连接，根据勾股定理求得的长，再根据勾股定理的逆定理判定，从而四边形的面积即为两个直角三角形的面积的和求解． 【详解】 解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积为 ． 9．如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形，再设点C到的距离是h，根据可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，且． 设点C到的距离是h， 根据题意，得， 即， 解得， 所以点C到的距离是． 10．如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，进而判定①；根据勾股定理与等量代换可得②正确；根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③；再根据勾股定理以及等量代换即可得出④． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 与不一定相等， 故不成立，故①错误； 由①中证明， ∴， 连接，如图所示：    ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 设与的交点为， ∵，， ∴，， ∴， ∵, ∴，故③错误， ∵，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定定理以及等腰直角三角形的性质，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，难度较大． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，A，B是池塘边上的两点，点C是与方向成直角的方向上一点，测得，，则A，B两点间的距离为___________． 【答案】15 【分析】利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴由勾股定理得， ∴A，B两点间的距离为． 12．如图是两个型号的圆柱形笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面部分分别为和，则铅笔长为__________． 【答案】 【详解】解：设铅笔长为， 根据题意得， 整理得， 解得， 故铅笔长为． 13．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是_____．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解． 【详解】解：依题意，在中，，； 据勾股定理可得：， 故小汽车的速度为s． 故答案为：． 14．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．掌握勾股定理是解题的关键．设，表示出，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设秋千绳索， ，， ， ， 在中，，即， 解得， 秋千绳索的长度是． 故答案为：． 15．如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则的长是 ________．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据于A，于B，，列式，解出的值，即可作答． 【详解】 解：由题意知，，，， 设，则， 因为于A，于B， 所以在与中， 由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 16．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图所示的长方形由两个这样的图形拼成，若，，则长方形的面积为________． 【答案】30 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据勾股定理，设小正方形的边长为x，在直角三角形中，再建立x的方程即可解答． 【详解】解：如图： 设小正方形的边长为x，则，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴整理得， ∴长方形的面积为： ， 故答案为：30． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． (1)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 【答案】(1) (2)周围范围内有被砸伤的风险 【分析】（1）利用勾股定理建立方程即可； （2）先画出图形，再求解，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：由题意知， ， 在中，， ， ， ，， 故旗杆在距地面处折断． （2）解：如图，点距地面， ， ， 在中，， 距离旗杆底部周围范围内有被砸伤的风险． 18．某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为； (2)元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长度是解题的关键． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， ∴地毯的面积为， 每平方米地毯25元， 需要花费（元）； 答：需要花费元地毯才能铺满所有台阶． 19．为落实闽都文化育人与劳动教育要求，某中学将校内如图所示的四边形闲置地块打造为茉莉花种植劳动实践基地．学校数学实践小组对地块边界进行实地勘测，测得，，，，． (1)为便于日常管护，计划在B，D两点间修建一条笔直步道，这条步道最短需要多少米？ (2)为满足茉莉植株根系生长需求，基地全园统一铺设厚的腐殖种植土．请计算该基地总共需要多少立方米的种植土（边界厚度与步道宽度均忽略不计）． 【答案】(1)这条步道最短需要米 (2)该基地总共需要57.6立方米的种植土 【分析】（1）在中利用勾股定理求即可； （2）先由勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后根据求出面积，然后求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，，，， ∴， 答：这条步道最短需要米； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：该基地总共需要57.6立方米的种植土． 20．综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型 抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为米 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 【答案】(1)米 (2)小明同学应该再放出8米线 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）如图，过点作于点，利用勾股定理求解，再进一步解答即可； （2）如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接，利用勾股定理求解，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，米，米， 由勾股定理，得（米）， 则（米）． （2）解：如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接， 则（米）． 由勾股定理，得（米）， 故（米）． 答：小明同学应该再放出8米线． 21．如图．在正方形网格中，每个小方格的边长都为单位1，点在正方形网格的格点上．请按下述要求画图并回答问题： (1)确定一个格点，画直线，使得垂直； (2)画射线，则与所在直线的位置关系是：__________；（填“平行”或“相交”）； (3)画线段，则四边形的面积是__________． 【答案】(1)如图： (2)相交 (3)14.5 【分析】本题考查了网格作图，熟练掌握全等三角形的性质，平移性质，三角形面积公式，是解题的关键． （1）取格点，画直线，使得垂直； （2）画射线，与所在直线的位置关系是相交； （3）画线段，四边形的面积等于的正方形面积减去周围３个三角形面积． 【详解】（1）解：取格点，画直线，使得垂直． 理由：如下图，∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：画射线，与所在直线的位置关系是相交， 理由：把线段平移到线段的位置， 则， ∵点H在外， ∴， ∴射线与直线在直线的右下方相交． 故答案为：相交． （3）解：画线段， ∵四边形在一个的正方形中， ∴四边形的面积为 ． 故答案为：14.5． 22．如图，在四边形中，，垂足为E，，连接，若， ．求：   (1)的长； (2)四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的综合运用、三角形面积的计算等知识点；由勾股定理求出是解题的关键． （1）由垂直的定义得出，由勾股定理求出，再求出，然后根据勾股定理求解即可； （2）由勾股定理求出，再求出，再根据    求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 23．春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里． (1)求渔船A与渔船B之间的距离． (2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？ 【答案】(1)750海里 (2)12小时 【分析】本题考查勾股定理的应用和方向角，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据方向角，易得，再根据勾股定理，计算即可求解． （2）过点C作交于点H，在上取点D，E，使得海里，根据等面积法，可得，根据勾股定理，求出，从而得出，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ， 海里，海里， （海里）， 即渔船A与渔船B之间的距离为750海里； （2）过点C作交于点H，在上取点D，E，使得海里， ， ， ， （海里）， 海里， （海里）， 则（海里）， 行驶时间为（小时）， 答：B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有12小时． 24．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据风车状图案的周长求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，求出三角形面积，即可确定出所求． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：根据题意得：，，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴， ∴该风车状图案的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $