4.3.3 对数函数y＝logax的图象和性质新授课2026-2027学年高一上学期必修一

该高中数学课件聚焦对数函数y＝logₐx的图象和性质，系统讲解定义域、值域、定点及单调性等核心知识，课堂导入通过对比指数函数，结合表格梳理0<a<1与a>1的性质差异，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于分题型探究图象识别、复合函数单调性等问题，结合“数学思维”中的推理能力（如复合函数单调性证明）和“数学眼光”中的几何直观（图象交点分析），通过误区警示强化定义域意识，帮助学生形成严谨思维，教师可利用分层练习提升教学效率。

§3　对数函数 3.3　对数函数y＝logax的图象和性质 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基 必备知识•探新知 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 基础知识 对数函数的图象和性质 (1)图象和性质： 知识点1 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD）   0<a<1 a>1 性质 ①定义域：(0，＋∞) ②值域：R ③过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 ④当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 ④当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD）   0<a<1 a>1 性质 ⑤在定义域(0，＋∞)上是减函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大 ⑤在定义域(0，＋∞)上是增函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 (2)本质：作出不同底数的对数函数在同一个坐标系中的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们的共性即对数函数的性质； (3)应用：①比较大小；②求定义域、值域；③解不等式；④求参数的范围． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 提示：当x＝1时，loga1＝0恒成立，即对数函数的图象一定过点(1，0)． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 基础自测 C 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 2．函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是 (　　) A．(0，＋∞)　 B．(－∞，1) C．(0，1)　 D．(1，＋∞) [解析]　由对数函数的单调知识易知0<a<1. C 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） A 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 4．函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的单调递减区间是 (　　) A．(－∞，－1)　 B．(－∞，1) C．(1，＋∞)　 D．(3，＋∞) [解析]　令x2－2x－3>0， ∴(x－3)(x＋1)>0， ∴x<－1或x>3.∴f(x)的定义域(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 令u＝x2－2x－3， 函数f(x)的单调递减区间即为u＝x2－2x－3 在(－∞，－1)∪(3，＋∞)上的递减区间．故选A． A 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 关键能力•攻重难 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 题型探究 题型一 对数函数的图象  已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，则a1，a2，a3，a4的大小关系是 (　　) A．a4<a3<a2<a1 B．a3<a4<a1<a2 C．a2<a1<a3<a4 D．a3<a4<a2<a1 例 1 B 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） [分析]　由图象来判断参数的大小情况，需要抓住图象的本质特征和关键点．根据图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，利用logaa＝1，结合图象判断． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　1.熟记函数图象的分布规律，就能在解答有关对数图象的选择、填空题时，灵活运用图象，数形结合解决． 2．对数值logax的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”． (1)当0<x<1，0<a<1或x>1，a>1时，logax>0，即当真数x和底数a同大于(或大于0且小于)1时，对数logax>0，即对数值为正数，简称为“同正”； 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） (2)当0<x<1，a>1或x>1，0<a<1时，logax<0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个大于0且小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数logax<0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”． 3．指数型、对数型函数的图象与性质的讨论，常常要转化为相应指数函数，对数函数的图象与性质的问题． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❶ 已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx在同一坐标系中的图象可能是 (　　) [解析]　由lga＋lgb＝0得ab＝1， 则f(x)与g(x)的单调性一致，故选B． B 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 题型二 对数型复合函数的单调性  讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性． [分析]　求复合函数的单调性时，必须首先考虑函数的定义域，单调区间必须是定义域的子集． 例 2 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　1.求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性． 2．复合函数y＝f[g(x)]及其里层函数μ＝g(x)与外层函数y＝f(μ)的单调性之间的关系(见下表). 函数 单调性 y＝f(μ) 增函数 增函数 减函数 减函数 μ＝g(x) 增函数 减函数 增函数 减函数 y＝f[g(x)] 增函数 减函数 减函数 增函数 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） A 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　由题意，得x2－3x－10>0， ∴(x－5)(x＋2)>0，∴x<－2或x>5. 令u＝x2－3x－10， 函数f(x)的单调递增区间即为函数u＝x2－3x－10在(－∞，－2)∪(5，＋∞)上的单调递减区间，又u＝x2－3x－10在(－∞，－2)上递减，故选A． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 题型三 对数型复合函数的值域  例 3 [解析]　(1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R. ∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2. ∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　1.与对数函数有关的复合函数值域：求与对数函数有关的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法)． 2．对于形如y＝loga f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数的值域的求法的步骤：①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❸ 函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为 (　　) A．(0，＋∞)　 B．[0，＋∞) C．(1，＋∞)　 D．[1，＋∞) [解析]　∵3x＋1>1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递增， ∴log2(3x＋1)>log21＝0，故该函数的值域为(0，＋∞)． A 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 题型四 对数型复合函数的奇偶性  (2021·云南泸西县一中高一期中测试)已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a>0且a≠1)． (1)求f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性并加以证明． [分析]　(1)函数奇偶性判断的方法是什么？ (2)对数的运算法则是什么？ 例 4 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　判断函数的奇偶性时，首先要注意求函数的定义域，函数具有奇偶性，其定义域必须关于原点对称． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） A 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 误区警示 例 5 忽视对数函数的定义域 若函数y＝loga(2－ax)在x∈[0，1]上是减函数，则a的取值范围是 (　　) A．(0，1)　 B．(1，2) C．(0，2)　 D．(1，＋∞) B 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） [错解]　错解一：因为函数f(x)＝loga(2－ax)在[0，1]上是减函数，根据对数函数在0<a<1时单调递减，知选A． 错解二：令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax为减函数，根据复合函数单调性“同增异减”法则，要使f(x)＝loga(2－ax)在[0，1]上为减函数，则需y＝logau为增函数，从而得a>1，故选D． [错因分析]　在求解时，已经掌握了利用复合函数单调性“同增异减”法则进行解答，但是忽视了对数函数的定义域问题，考虑问题不全面，犯了知识性和能力性的双重错误． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） [正解]　令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax为减函数，又根据对数函数定义域要求u＝2－ax在[0，1]上恒大于零，当x∈[0，1]时，umin＝2－a>0，解得a<2. 根据复合函数单调性“同增异减”法则，要使f(x)＝loga(2－ax)在[0，1]上为减函数，则需y＝logau为增函数，所以a>1. 综上可得1<a<2，故选B． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） [方法点拨]　对数型函数是考查定义域问题的重点函数．因此，在解决真数中含参数的对数问题时，一定要保证真数大于0.忽略这一点，可能会使所求参数范围扩大致误．如本例中，u＝2－ax在x∈[0，1]时一定要保证u>0才有意义，请学生重点关注． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 学科素养 [分析]　(1)题目给定的关键条件是f(x)是奇函数，一般考虑用f(－x)＝－f(x)，f(－1)＝－f(1)，f(0)＝0(当0、－1在定义域中时)等，它是从反面考查函数奇偶性的判定． 例 6 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　(1)已知某函数是奇函数或偶函数，求其中某参数值时，常用方法有两种： ①由f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)直接列关于参数的方程(组)，解之得结果． ②由f(－a)＝f(a)或f(－a)＝－f(a)(其中a是某具体数)得关于参数的方程(组)，解之得结果，但此时需检验． (2)用定义证明形如y＝loga f(x)函数的单调性时，应先比较与x1，x2对应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 课堂检测•固双基 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 1．函数f(x)＝log2(3x＋3－x)是 (　　) A．奇函数　 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数　 D．非奇非偶函数 [解析]　∵3x＋3－x＞0恒成立， ∴f(x)的定义域为R. 又∵f(－x)＝log2(3－x＋3x)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数，故选B． B 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 2．(多选题)函数f(x)＝loga|x－2|在(2，＋∞)上单调递减，那么f(x)在(0，2)上 (　　　) A．单调递增　 B．无最小值 C．无最大值　 D．单调递减 [解析]　因为函数f(x)＝loga|x－2|在(2，＋∞)上单调递减，并且y＝|x－2|在(2，＋∞)上单调递增，所以0<a<1，那么f(x)在(0，2)上单调递增，且无最大值，也无最小值． ABC 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） A 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 4．若函数f(x)＝logax(0<a<1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为________． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 0<a<1 a>1 图象 思考：对于对数函数y＝log3x，y＝log5x，y＝logx，y＝logx，…，为什么一定过点(1，0)? 1．下列说法正确的个数是 (　　) (1)对数函数的图象都过定点(0，1)． (2)对数函数的图象都在y轴的右侧． (3)若对数函数y＝log2ax是减函数，则0<a<. A．0　 B．1　 C．2　 D．3 [解析]　对于(1)，对数函数的图象都过定点(1，0)，不正确；对于(2)，由对数函数的图象可知正确；对于(3)，由对数函数的单调性可知，0<2a<1，所以0<a<，正确． 3．已知函数f(x)＝2logx的值域为[－1，1]，则函数f(x)的定义域是 (　　) A．　 B．[－1，1] C．　 D．∪[，＋∞) [解析]　由－1≤2 logx≤1，得－1≤－2log2x≤1. 解得≤x≤. 0＜a＜或a＞1 5．若loga＜1，则a的取值范围为______________． [解析]　loga＜1即loga＜logaa，当a＞1时，函数y＝logax在定义域内是增函数，所以loga＜logaa总成立； 当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域内是减函数， 由loga＜logaa，得a＜，故0＜a＜. 故a的取值范围为0＜a＜或a＞1. [解析]　在图中作一条直线y＝1. 由得loga3x＝1，所以x＝a3.所以直线y＝1与曲线C3：y＝loga3x的交点坐标为(a3，1)． 同理可得直线y＝1与曲线C4，C1，C2的交点坐标分别为(a4，1)，(a1，1)，(a2，1)． 由图象可知a3<a4<a1<a2，故选B． [解析]　由3x2－2x－1>0，得函数的定义域为. 当a>1时，若x∈(1，＋∞)，∵y＝logau为增函数，又u＝3x2－2x－1为增函数， ∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数． 若x∈，∵u＝3x2－2x－1为减函数， ∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数． 当0<a<1时，y＝logau为减函数，若x∈(1，＋∞)，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数， 若x∈，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数． 【对点练习】❷ (2022·河北沧州市高一期末测试)函数f(x)＝log(x2－3x－10)的单调递增区间为 (　　) A．(－∞，－2)　　　　 B．(－∞，) C．(－2，)　 D．(5，＋∞) 求下列函数的值域： (1)y＝log2(x2＋4)； (2)y＝log(3＋2x－x2)． (2)设u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4. ∵u>0，∴0<u≤4. 又y＝logu在(0，＋∞)上是减函数， ∴logu≥log4＝－2， ∴y＝log(3＋2x－x2)的值域为{y|y≥－2}． [解析]　(1)由题意得 ∴－1<x<1. ∴函数f(x)的定义域为(－1，1)． (2)由(1)知函数f(x)的定义域为(－1，1)关于原点对称． ∴f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x) ＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)] ＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数． 【对点练习】❹ 函数f(x)＝lg是 (　　) A．奇函数　　　 B．偶函数 C．既奇又偶函数　 D．非奇非偶函数 [解析]　函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称． 又f(－x)＝lg ＝lg＝lg(＋x) ＝lg ＝－lg＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数． 综合应用所学知识分析解决问题的能力 已知f(x)＝ln是奇函数． (1)求m； (2)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明． [解析]　(1)f(－x)＝ln＝ln， －f(x)＝－ln＝ln. ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 即ln＝ln，得∴m＝－1. (2)f(x)在(1，＋∞)上单调递减．证明：由(1)知f(x)＝ln＝ln(1＋)．任取x1，x2满足1＜x1＜x2， ∵(1＋)－(1＋) ＝－＝. 由1＜x1＜x2知，x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0， ∴(1＋)－(1＋)＞0，即1＋＞1＋＞0， 又y＝ln x为增函数，∴ln(1＋)＞ln(1＋)， 即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(1，＋∞)上是减函数． 3．若定义在(－1，0)内的函数f(x)＝log2a(x＋1)>0，则实数a的取值范围是 (　　) A．　 B． C．　 D．(0，＋∞) [解析]　当x∈(－1，0)时，x＋1∈(0，1)，而函数f(x)＝log2a(x＋1)>0，故0<2a<1，即0<a<. [解析]　由题意得f(x)max＝logaa＝1， f(x)min＝loga(2a)＝1＋loga2， ∴1＝3×(1＋loga2)，∴a＝. 5．已知函数f(x－1)＝lg. (1)求函数f(x)的解析式； (2)解关于x的不等式f(x)≥lg(3x＋1)． [解析]　(1)令t＝x－1，则x＝t＋1. 由题意知>0，即0<x<2，则－1<t<1. 所以f(t)＝lg＝lg. 故f(x)＝lg(－1<x<1)． (2)lg≥lg(3x＋1)⇔≥3x＋1>0(－1<x<1)．由3x＋1>0，得x>－.因为－1<x<1，所以1－x>0. 由≥3x＋1，得x＋1≥(3x＋1)(1－x)， 即3x2－x≥0，x(3x－1)≥0，解得x≥或x≤0， 又x>－，－1<x<1，所以－<x≤0或≤x<1. 故原不等式的解集为∪. $