2.1 直线的倾斜角与斜率讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦直线的倾斜角和斜率核心内容，系统梳理倾斜角的定义与范围，斜率的概念、公式及与方向向量的关系，进而延伸至两直线平行和垂直的判定条件，构建从基础概念到应用的学习支架。 资料通过表格对比倾斜角与斜率的对应关系，结合具体例题（如倾斜角范围判断、斜率计算）及跟踪训练，引导学生用数学眼光观察几何要素关联，以数学思维推理平行垂直判定逻辑，培养几何直观与运算能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

第一章 直线和圆的方程 1.1 直线的倾斜角和斜率 知识点一、直线的倾斜角 1.直线倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2.倾斜角的取值范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 知识点二、直线的斜率 1.直线的方向向量 在平面直角坐标系中，直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，设直线l的倾斜角为α，则： （1）定义：向量，以及与它平行的非零向量都是直线l的方向向量. （2）直线倾斜角与方向向量的坐标的关系：(x1≠x2). 2.直线的斜率 （1）定义：一般地，设直线l的倾斜角为α，直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的坐标有如下的关系. 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. （2）过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3.直线的倾斜角和斜率 直线情况 平行（重合） x轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 不增不减 随α的增大而增大 随α的增大而增大 知识点三、两条直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 知识点四、两直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 题型一：直线的倾斜角 例1.已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A．0°≤α<90° B．0°<α<180° C．90°≤α<180° D．90°<α<180° 解：直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限， 所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.故选：D. 例2.(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A．135°－α B．α－45° C．α－135° D．α＋45° 解：根据题意，画出图形，如图所示： 通过图象可知： 当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选：CD. 跟踪训练： (1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________． 解：有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 故答案为60°或120°. (2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________． 解：设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.故答案为：135°. 题型二：求直线的斜率和方向向量 例1.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 解：记直线的倾斜角为，由题意知，又，所以.故选：A. 例2.经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率 ，并确定直线的倾斜角 . （1）； （2）； （3）； （4）. 解：(1) 存在，，即，又，所以. （2）存在，，即， （3）又，所以. （4）不存在. （5）因为，所以直线的斜率不存在，倾斜角. （6）当时，直线的斜率不存在，倾斜角； （7）当时，直线的斜率存在，， （8）即，又，所以. 跟踪训练： 1.过A（4，y），B（2，-3）两点的直线的一个方向向量为n=(-1，-1)，则 y= . 解：有定义可知：，解得：y=-1.故答案为：-1. 2.已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为  . 解：.故答案为：. 3.经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α. (1)求经过两点A(2,3)，B(4,5)的直线的斜率，并确定直线的倾斜角α； (2)求经过两点A(a，2)，B(3,6)的直线的斜率． 解：(1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1， 即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°. (2)当a＝3时，斜率不存在；当a≠3时，直线的斜率k＝. 题型三：直线的斜率和倾斜角的综合应用 例1.已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 解：如图，由题意可知kPA＝，kPB＝＝1， (1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°， ∴α的取值范围是45°≤α≤135°. 例2.已知实数 满足 ()，试求 的最大值与最小值. 解： ，它表示经过定点 与曲线段 上任一点 的直线的斜率 .由图可知 . 由已知可得 ，所以 ，， 所以 .故 的最大值为 ，最小值为 . 跟踪训练： 1.已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 解：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝.直线AC的斜率kAC＝. 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. (2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC， 所以直线AD的斜率的变化范围是[，]. 2.点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求的取值范围． 解：　的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率． ∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2,5]， ∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2)． ∵kNA＝，kNB＝，∴. ∴的取值范围为[，] 题型四：两条直线平行关系的判定及应用 例1.（多选）下列各组中的两条直线，的有（ ） A.经过点，经过点 B.的倾斜角为，经过点 C.经过点，平行于轴，但不经过点 D.经过点，经过点 解：A中，（方法1斜率法），所以直线与直线平行或重合.又，所以.（也可作图观察得出与不重合） （方法2向量法）因为，所以，但与不平行，所以. B中，，所以直线与直线平行或重合. C中，两点横坐标相同，则平行于轴，而平行于轴，但不 经过点，所以. D中，因为与都与轴垂直，且与不重合，所以. 故选：ACD. 例2.（多选）下列各组给出的三点中共线的有（ ） A. B. C. D. 解：A中，三点横坐标均为，所以三点均在直线上，三点共线； B中，三点纵坐标均为，所以三点均在直线上，三点共线； C中，，因为，所以三点不共线； D中，（方法1斜率法），因为，且有公共点，所以三点共线. 故选：ABD. 跟踪训练： 1.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD是否为平行四边形，并给出证明． 解：四边形ABCD是平行四边形，证明如下： AB边所在直线的斜率kAB＝，CD边所在直线的斜率kCD＝， BC边所在直线的斜率kBC＝，DA边所在直线的斜率kDA＝. 因为kAB＝kCD，kBC＝kDA，所以AB∥CD，BC∥DA. 因此四边形ABCD是平行四边形． 2.（多选）已知，若，则（ ） A. B. C. D. 解：当时，直线的斜率不存在，而直线的斜率存在，所以与不平行，不符合题意； 当，即时，直线的斜率不存在，而直线的斜率存在，所以与不平行，不符合题意； 当且时，，. 因为，所以，即，解得或. 当或时，经检验，两直线不重合. 综上，的值为或.故选：CD. 3.已知三点共线，则 ，直线的倾斜角为 . 解：因为三点共线，所以，即，解得. （方法2向量法），因为三点共线，所以，所以，解得. 设直线的倾斜角为，由，得，所以直线的倾斜角为. 故答案为：3,45°. 题型五：两条直线垂直关系的判定及应用 例1.（多选）下列命题中，正确的有( ) A.若直线与的斜率是方程的两根，则 B.已知，则 C.已知，直线的方向向量为，则 D.已知，则为直角三角形 解：因为是方程的两根，所以，所以，正确.因为，所以直线与轴平行.因为的横坐标相等，所以直线的倾斜角为，与轴垂直，故，正确.因为，直线的方向向量为，所以，所以与不垂直，错误.因为，，所以，正确.故选：ABD. 例2.已知点，证明：四边形为矩形. 证明：（方法1斜率法）由题意，可得，，所以.又，所以，所以四边形为平行四边形. 又，所以直线与垂直，即. 所以平行四边形为矩形. （方法2向量法）因为， 所以，所以，所以四边形为矩形. 跟踪训练： 1.判断下列各题中l1与l2是否垂直． (1)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)； (2)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)． 解：(1)k1＝－10，k2＝，k1k2＝－1，∴l1⊥l2. (2)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；k2＝，则l2∥x轴，∴l1⊥l2. 2.已知点，求点的坐标，使四边形为直角梯形（按逆时针方向排列）. 解：如图，设所求点的坐标为，因为，所以，即与不垂直，故都不可作为直角梯形的直角腰. （1）若是直角梯形的直角腰，则. 因为，所以的斜率不存在，从而有. 又，所以，即，此时与不平行， 所以点的坐标为. （2）若是直角梯形的直角腰，则. 因为，所以，解得. 所以点的坐标为. 综上，所求点的坐标为或. 3.已知的顶点为，若为直角三角形，求的值. 解：由题意知，直线的斜率都存在， 若为直角，则，所以，即，解得； 若为直角，则，所以，即，解得； 若为直角，则，所以，即，解得. 综上所述，或或或. 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180° B．若k是直线的斜率，则k∈R C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 解：任意一条直线都倾斜角，但不一定有斜率，则D错误.故选：ABC. 2.若经过A(m，3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 解：由题意知，tan 45°＝，得m＝2.故选：B. 3.若过点P(3,2m)和点Q(－m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是(　　) A. B． C．－2 D．2 解：由kPQ＝kMN，即，解得：.经检验知，m＝符合题意． 故选：A. 4.已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．可能重合 D．无法确定 解：由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立． 故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在． 设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2.故选B. 5.如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为 ． 解：因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角为×(90°－30°)＝30°. 故答案为：30°. 6.若A(2,3)，B(3,2)，C三点共线，则实数m的值为 ． 解：设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，则由斜率公式，得kAB＝＝－1， kBC＝．∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC， 即－1＝(m－2)，解得m＝.故答案为：. 7.经过A(m，3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是 ．(其中m≥1) 解：当m＝1时，倾斜角α＝90°；当m>1时，tan α＝>0，∴0°<α<90°.故0°<α≤90°. 故答案为：0°<α≤90°. 8.已知点A(－3，－2)，B(6,1)，点P在y轴上，且∠BAP＝90°，则点P的坐标是________． 解：设P(0，y)，由∠BAP＝90°知，kAB·kAP＝，解得y＝－11. 所以点P的坐标是(0，－11)．故答案为：(0，－11)． 1.若直线过坐标平面内两点(4,2)，(1,2＋)，则此直线的倾斜角是(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解：由题意知k＝，∴直线的倾斜角为150°.故选：D. 2.已知过A(－2，m)和B(m，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是(　　) A．10 B．2 C．0 D．－8 解：由题意可知，kAB＝，所以m＝－8.故选：D. 3.直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为(　　) A． (0,3) B．(3,0) C．(0，－3) D．(－3,0) 解：设P(0，y)，因为l1∥l2，所以，所以y＝3.即P(0,3)．故选：A. 4.(多选)下列说法中，错误的是(　　) A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等 解：A错，因为倾斜角为90°的直线没有斜率；B错，因为0°<α<90°时，k>0,90°<α<180°时，k<0；C显然对；若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，D错．故选：ABD. 5.若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)，且与斜率为的直线垂直，则实数a的值为(　　) A. B. C. D. 解：易知a＝0不符合题意． 当a≠0时，直线l的斜率k＝，由，得a＝ .故选C. 6.若某直线的斜率k∈(－∞，]，则该直线的倾斜角α的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解：∵直线的斜率k∈(－∞，]，∴k≤tan.故选：B. 7.已知三点A(a，2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为 ． 解：∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC，即，∴a＝2或.故答案为：a＝2或. 8.若经过点(m，3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是 ． 解：由题意可知kl＝，又因为kl＝，所以，解得m＝.故答案为：. 9.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝ ，若l1∥l2，则m＝ ． 解：由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2＝，若l1⊥l2，则＝－1，∴m＝－2. 若l1∥l2，则k1＝k2，即关于k的二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根， ∴Δ＝(－4)2－4×2×m＝0，∴m＝2.故答案为：－2，2. 10.若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系是 ． 解：由题图可知，k1<0，k2>0，k3>0，且l2比l3的倾斜角大．∴k1<k3<k2.故答案为：k1<k3<k2. 11.下列直线l1与直线l2(l1与l2不重合)平行的有 ．(填序号) ①l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； ②l1的斜率为2，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； ③l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2))； ④l1经过点E(2,6)，F(2,3)，l2经过点P(－3，－3)，Q(－3，－6)． 解：①∵kAB＝，kCD＝ ，∴kAB＝kCD，∴l1∥l2. ②∵＝≠＝2，∴l1不平行于l2. ③∵＝tan 60°＝，＝，∴，∴l1∥l2. ④l1，l2的斜率均不存在，∴l1∥l2.故答案为：①③④. 12.已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是 ． 解：∵直线l与线段AB有公共点， ∴直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间， 当l的倾斜角小于90°时，k≥kPB； 当l的倾斜角大于90°时，k≤kPA. ∵kPA＝＝－1，kPB＝＝3，∴直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 故答案为：(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 13.直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝ ． 解：如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°， ∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝. 由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝. ∴直线AB的斜率存在，且kAB＝. ∴，解得m＝4＋.故答案为：m＝4＋. 14.若A(2,2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，求证：. 证明：由于A，B，C三点共线， 所以此直线的斜率既可用A，B两点的坐标表示，也可用A，C两点的坐标表示， 于是，由此可得a＋b＝ab， 两边同时除以ab，得. 15.已知□ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)． (1)求点D的坐标； (2)试判定□ABCD是否为菱形？ 解：(1)设D点坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC， 所以，解得. 所以D(－1,6)． (2)因为kAC＝，kBD＝，所以kAC·kBD＝－1， 所以AC⊥BD，所以□ABCD为菱形． 16.已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率． 解：由斜率公式可得kAB＝，kBC＝，kAC＝. 由kBC＝0知直线BC∥x轴，∴BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在． 设AB，AC边上高线的斜率分别为k1，k2，由k1·kAB＝－1，k2·kAC＝－1， 即k1·＝－1，k2·5＝－1，解得k1＝，k2＝. ∴BC边上的高所在直线的斜率不存在； AB边上的高所在直线的斜率为； AC边上的高所在直线的斜率为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 直线和圆的方程 1.1 直线的倾斜角和斜率 知识点一、直线的倾斜角 1.直线倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2.倾斜角的取值范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 知识点二、直线的斜率 1.直线的方向向量 在平面直角坐标系中，直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，设直线l的倾斜角为α，则： （1）定义：向量，以及与它平行的非零向量都是直线l的方向向量. （2）直线倾斜角与方向向量的坐标的关系：(x1≠x2). 2.直线的斜率 （1）定义：一般地，设直线l的倾斜角为α，直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的坐标有如下的关系. 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. （2）过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3.直线的倾斜角和斜率 直线情况 平行（重合） x轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 不增不减 随α的增大而增大 随α的增大而增大 知识点三、两条直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 知识点四、两直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 题型一：直线的倾斜角 例1.已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A．0°≤α<90° B．0°<α<180° C．90°≤α<180° D．90°<α<180° 例2.(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A．135°－α B．α－45° C．α－135° D．α＋45° 跟踪训练： (1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________． (2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________． 题型二：求直线的斜率和方向向量 例1.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 例2.经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率 ，并确定直线的倾斜角 . （1）； （2）； （3）； （4）. 跟踪训练： 1.过A（4，y），B（2，-3）两点的直线的一个方向向量为n=(-1，-1)，则 y= . 2.已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为  . 3.经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α. (1)求经过两点A(2,3)，B(4,5)的直线的斜率，并确定直线的倾斜角α； (2)求经过两点A(a，2)，B(3,6)的直线的斜率． 题型三：直线的斜率和倾斜角的综合应用 例1.已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 例2.已知实数 满足 ()，试求 的最大值与最小值. 跟踪训练： 1.已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 2.点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求的取值范围． 题型四：两条直线平行关系的判定及应用 例1.（多选）下列各组中的两条直线，的有（ ） A.经过点，经过点 B.的倾斜角为，经过点 C.经过点，平行于轴，但不经过点 D.经过点，经过点 例2.（多选）下列各组给出的三点中共线的有（ ） A. B. C. D. 跟踪训练： 1.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD是否为平行四边形，并给出证明． 2.（多选）已知，若，则（ ） A. B. C. D. 3.已知三点共线，则 ，直线的倾斜角为 . 题型五：两条直线垂直关系的判定及应用 例1.（多选）下列命题中，正确的有( ) A.若直线与的斜率是方程的两根，则 B.已知，则 C.已知，直线的方向向量为，则 D.已知，则为直角三角形 例2.已知点，证明：四边形为矩形. 跟踪训练： 1.判断下列各题中l1与l2是否垂直． (1)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)； (2)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)． 2.已知点，求点的坐标，使四边形为直角梯形（按逆时针方向排列）. 3.已知的顶点为，若为直角三角形，求的值. 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180° B．若k是直线的斜率，则k∈R C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 2.若经过A(m，3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 3.若过点P(3,2m)和点Q(－m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是(　　) A. B． C．－2 D．2 4.已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．可能重合 D．无法确定 5.如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为 ． 6.若A(2,3)，B(3,2)，C三点共线，则实数m的值为 ． 7.经过A(m，3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是 ．(其中m≥1) 8.已知点A(－3，－2)，B(6,1)，点P在y轴上，且∠BAP＝90°，则点P的坐标是________． 1.若直线过坐标平面内两点(4,2)，(1,2＋)，则此直线的倾斜角是(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 2.已知过A(－2，m)和B(m，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是(　　) A．10 B．2 C．0 D．－8 3.直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为(　　) A． (0,3) B．(3,0) C．(0，－3) D．(－3,0) 4.(多选)下列说法中，错误的是(　　) A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等 5.若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)，且与斜率为的直线垂直，则实数a的值为(　　) A. B. C. D. 6.若某直线的斜率k∈(－∞，]，则该直线的倾斜角α的取值范围是(　　) A. B. C. D. 7.已知三点A(a，2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为 ． 8.若经过点(m，3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是 ． 9.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝ ，若l1∥l2，则m＝ ． 10.若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系是 ． 11.下列直线l1与直线l2(l1与l2不重合)平行的有 ．(填序号) ①l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； ②l1的斜率为2，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； ③l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2))； ④l1经过点E(2,6)，F(2,3)，l2经过点P(－3，－3)，Q(－3，－6)． 12.已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是 ． 13.直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝ ． 14.若A(2,2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，求证：. 15.已知□ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)． (1)求点D的坐标； (2)试判定□ABCD是否为菱形？ 16.已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $