第06讲 直线的倾斜角与斜率（5大知识点+7大题型）讲义-2026年新高二数学暑假衔接进阶讲义（人教A版）

第06讲 直线的倾斜角与斜率 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：直线的倾斜角 3 知识点二：直线的斜率 3 知识点三：斜率公式 4 知识点四：两直线平行的条件 4 知识点五：两直线垂直的条件 4 03 题型精讲举一反三 6 题型 1：倾斜角与斜率定义 6 题型 2：斜率与倾斜角变化规律 6 题型 3：两点求斜率与斜率求参 7 题型 4：直线与线段相交求斜率范围 8 题型 5：直线平行判定 9 题型 6：直线垂直判定 9 题型 7：平行垂直几何应用 9 04 过关测试 11 知识点一：直线的倾斜角 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角． 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 知识点诠释： 1、要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向； ②轴正向； ③小于的角． 2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． 3、倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合． 4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． 5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 知识点二：直线的斜率 1、定义： 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 知识点诠释： （1）当直线与x轴平行或重合时，，； （2）直线与x轴垂直时，，k不存在． 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在． 2、直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 知识点三：斜率公式 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式． 知识点诠释： 1、对于上面的斜率公式要注意下面五点： （1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直； （2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； （3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； （4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合； （5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： （1）由、点的坐标求的值； （2）已知及中的三个量可求第四个量； （3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求； （4）证明三点共线． 知识点四：两直线平行的条件 设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即． 因此，若，则． 反之，若，则． 知识点诠释： 1、公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合； 2、当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则． 知识点五：两直线垂直的条件 设两条直线的斜率分别为．若，则． 知识点诠释： 1、公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； 2、当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直． 题型 1：倾斜角与斜率定义 例1．下列说法中，正确说法的个数是（   ） ①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②任何一条直线都有唯一的斜率；③倾斜角为的直线不存在；④倾斜角为的直线只有一条． A．0 B．1 C．2 D．3 例2．（2026·高二·天津南开·期中）下列说法错误的是（   ）. A．有的直线斜率不存在 B．截距可以为负值 C．若直线l的倾斜角为，且，则它的斜率 D．若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为 例3．（2026·高二·重庆·阶段检测）直线经过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 变式1．（2026·高二·陕西·开学考试）若直线的倾斜角为，则（   ） A．等于 B．等于 C．等于 D．不存在 变式2．（2026·高二·湖南长沙·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·高二·湖南娄底·开学考试）已知直线的斜率为，则其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 变式4．（2026·高二·浙江杭州·期中）已知直线，则直线倾斜角度数为（   ） A． B． C． D． 题型 2：斜率与倾斜角变化规律 例4．（2026·高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 例5．（2026·高二·四川广安·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例6．（2026·高二·安徽阜阳·阶段检测）若图中直线，，的斜率分别为，，，则（    ）    A． B． C． D． 变式5．（2026·高二·广东东莞·期中）已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6．（2026·高二·湖南·期中）已知直线过点，，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式7．（2026·高二·河北邯郸·期中）已知直线，当时，直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型 3：两点求斜率与斜率求参 例7．（2026·高二·江苏常州·期末）经过两点的直线的倾斜角为____________. 例8．（2026·高二·江西上饶·阶段检测）已知不能构成三角形，则_____． 例9．（2026·上海嘉定·一模）已知直线经过点、，则的倾斜角为 _____. 变式8．（2026·高二·湖南衡阳·期中）已知，两点在直线l上，则直线l的斜率为________. 变式9．（2026·高二·天津西青·期中）已知直线过两点且斜率为1，则实数的值为__________. 变式10．（2026·高二·天津滨海新区·期中）已知过和的直线斜率为2，则的值是___________ 变式11．（2026·高二·天津南开·阶段检测）已知，，三点共线，则________. 题型 4：直线与线段相交求斜率范围 例10．（2026·高二·陕西商洛·阶段检测）已知点，，若过的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 例11．（2026·高二·浙江·阶段检测）已知点，，过点的直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例12．（2026·高二·广东惠州·阶段检测）直线过点与以为端点的线段有公共点， 则直线倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D．或 变式12．（2026·高二·浙江绍兴·阶段检测）已知点AB斜率为k的直线l过点P则满足下列条件的直线l与线段AB相交的是（    ） A． B． C． D． 变式13．（2026·高二·江苏无锡·阶段检测）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式14．（2026·高二·广西玉林·阶段检测）直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线的斜率范围是（   ） A． B． C． D． 题型 5：直线平行判定 例13．（2026·高二·陕西西安·期末）已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. 例14．（2026·高二·云南曲靖·期末）已知直线，若，则___________ 例15．（2026·高二·江西吉安·期末）直线与直线，若，则__________. 变式15．（2026·高二·天津武清·阶段检测）已知直线与平行，则的值是_____. 变式16．（2026·江苏·一模）已知直线与直线平行，则实数的值为______. 题型 6：直线垂直判定 例16．以点为顶点的直角三角形，其直角顶点为_______． 例17．（2026·高二·重庆长寿·期末）已知两条直线和互相垂直，则a＝______. 例18．已知直线过，且，则直线的斜率为______． 变式17．直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是______． 变式18．（2026·高一·浙江宁波·期末）已知直线与经过，两点的直线垂直，则直线的斜率为_______． 变式19．（2026·高二·上海·阶段检测）已知直线与直线垂直，则______． 题型 7：平行垂直几何应用 例19．（2026·高二·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 例20．已知点，，，，试判定四边形的形状． 例21．已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形. 变式20．在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明． 变式21．设，，，问是否存在正实数m，使为直角三角形? 1．（2026·高二·江苏常州·期末）已知直线平行，则实数的值为（    ） A．－1 B．－7 C．－1或－7 D．1或7 2．（2026·高二·宁夏银川·开学考试）若直线与直线平行，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．关于直线的倾斜角和斜率，下列正确的个数是（   ） ①任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；③平行于轴的直线的倾斜角是0或；④两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；⑤直线斜率的范围是． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·高二·河南·阶段检测）已知点，，，若直线与互相垂直，则实数n的值为（   ） A．8 B．10 C．6 D．4 5．（2026·高二·江苏·期末）已知直线与互相垂直，则（    ） A．或0 B． C．0 D． 6．（2026·高二·福建厦门·期中）已知，，，，若直线与垂直，那么的值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 7．（2026·高二·天津津南·阶段检测）过点与点的直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·高二·重庆·期中）已知直线绕原点顺时针旋转得到直线，则的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高二·湖北荆州·期中）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．分别在轴、轴上截距相等的直线的斜率为. 10．（多选题）（2026·高二·河南南阳·期中）已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（    ） A． B． C． D． 11．（2026·高二·上海·期末）已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 12．（2026·高二·贵州毕节·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 13．（2026·高二·甘肃兰州·期中）已知直线：，：，若两直线垂直，则______. 14．（2026·高二·广东广州·期中）已知直线和直线平行，则______. 15．判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 16．若直线与平行，求的值. 17．（2026·高二·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 18．（2026·高二·北京·阶段检测）当m为何值时，过两点，，的直线. (1)与过两点，的直线垂直； (2)与过两点，的直线平行. 19．（2026·高二·江苏盐城·阶段检测）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 直线的倾斜角与斜率 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：直线的倾斜角 3 知识点二：直线的斜率 3 知识点三：斜率公式 4 知识点四：两直线平行的条件 4 知识点五：两直线垂直的条件 4 03 题型精讲举一反三 6 题型 1：倾斜角与斜率定义 6 题型 2：斜率与倾斜角变化规律 7 题型 3：两点求斜率与斜率求参 10 题型 4：直线与线段相交求斜率范围 11 题型 5：直线平行判定 15 题型 6：直线垂直判定 16 题型 7：平行垂直几何应用 18 04 过关测试 21 知识点一：直线的倾斜角 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角． 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 知识点诠释： 1、要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向； ②轴正向； ③小于的角． 2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． 3、倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合． 4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． 5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 知识点二：直线的斜率 1、定义： 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 知识点诠释： （1）当直线与x轴平行或重合时，，； （2）直线与x轴垂直时，，k不存在． 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在． 2、直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 知识点三：斜率公式 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式． 知识点诠释： 1、对于上面的斜率公式要注意下面五点： （1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直； （2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； （3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； （4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合； （5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： （1）由、点的坐标求的值； （2）已知及中的三个量可求第四个量； （3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求； （4）证明三点共线． 知识点四：两直线平行的条件 设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即． 因此，若，则． 反之，若，则． 知识点诠释： 1、公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合； 2、当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则． 知识点五：两直线垂直的条件 设两条直线的斜率分别为．若，则． 知识点诠释： 1、公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； 2、当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直． 题型 1：倾斜角与斜率定义 例1．下列说法中，正确说法的个数是（   ） ①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②任何一条直线都有唯一的斜率；③倾斜角为的直线不存在；④倾斜角为的直线只有一条． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】对于①，根据倾斜角定义知，任何一条直线都有唯一的倾斜角，正确； 对于②，当直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，错误； 对于③，倾斜角为的直线与x轴垂直，有无数条，错误； 对于④，倾斜角为的直线与x轴重合或平行，有无数条，错误； 综上，只有①说法正确. 故选：B 例2．（2026·高二·天津南开·期中）下列说法错误的是（   ）. A．有的直线斜率不存在 B．截距可以为负值 C．若直线l的倾斜角为，且，则它的斜率 D．若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为 【答案】D 【解析】当直线与轴垂直，斜率不存在，A正确； 截距是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为负，B正确； 由斜率与倾斜角的关系知C正确； 直线l的斜率为1，则它的倾斜角为，D错． 故选：D． 例3．（2026·高二·重庆·阶段检测）直线经过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知直线经过点， ， 设直线的倾斜角为，则， ． 变式1．（2026·高二·陕西·开学考试）若直线的倾斜角为，则（   ） A．等于 B．等于 C．等于 D．不存在 【答案】C 【解析】因直线与轴垂直，故该直线的倾斜角. 变式2．（2026·高二·湖南长沙·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线为，则直线的斜率，根据，可以得到， 结合直线倾斜角的取值范围为：，可得. 变式3．（2026·高二·湖南娄底·开学考试）已知直线的斜率为，则其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线的倾斜角为，则，故. 变式4．（2026·高二·浙江杭州·期中）已知直线，则直线倾斜角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线的倾斜角为， 由直线方程为， 可得斜率，解得， 即直线的倾斜角为. 题型 2：斜率与倾斜角变化规律 例4．（2026·高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 例5．（2026·高二·四川广安·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，，则. 故选：A 例6．（2026·高二·安徽阜阳·阶段检测）若图中直线，，的斜率分别为，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线、、的倾斜角分别为，，， 由已知为钝角，为锐角， 所以，即． 综上， 故选：D． 变式5．（2026·高二·广东东莞·期中）已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以. 故选：D. 变式6．（2026·高二·湖南·期中）已知直线过点，，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 所以倾斜角的取值范围为. 故选：B． 变式7．（2026·高二·河北邯郸·期中）已知直线，当时，直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若，直线的方程为，所以直线的倾斜角，排除A，C. 若，则， 所以， 又，所以， 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：D. 题型 3：两点求斜率与斜率求参 例7．（2026·高二·江苏常州·期末）经过两点的直线的倾斜角为____________. 【答案】 【解析】由题意：直线斜率， 设直线的倾斜角为，则，且. 所以. 故答案为：. 例8．（2026·高二·江西上饶·阶段检测）已知不能构成三角形，则_____． 【答案】 【解析】已知不能构成三角形， 所以三点共线，因为，所以直线的斜率存在， 即， 故答案为： 例9．（2026·上海嘉定·一模）已知直线经过点、，则的倾斜角为 _____. 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为， 因为直线经过点、，则直线的斜率， 则，可得， 所以直线的倾斜角为. 故答案为：. 变式8．（2026·高二·湖南衡阳·期中）已知，两点在直线l上，则直线l的斜率为________. 【答案】3 【解析】已知，两点在直线l上，则直线l的斜率为. 故答案为：3. 变式9．（2026·高二·天津西青·期中）已知直线过两点且斜率为1，则实数的值为__________. 【答案】2 【解析】因为直线过两点且斜率为1， 则，解得， 所以实数的值为2. 故答案为：2. 变式10．（2026·高二·天津滨海新区·期中）已知过和的直线斜率为2，则的值是___________ 【答案】 【解析】由题意可知，解之得. 故答案为： 变式11．（2026·高二·天津南开·阶段检测）已知，，三点共线，则________. 【答案】 【解析】由题意，则，即. 故答案为： 题型 4：直线与线段相交求斜率范围 例10．（2026·高二·陕西商洛·阶段检测）已知点，，若过的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】由题意，，， 由图可知， 故选：D. 例11．（2026·高二·浙江·阶段检测）已知点，，过点的直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，， ，， 过点的直线与线段有交点，如图： 该直线斜率的取值范围是. 故选：B. 例12．（2026·高二·广东惠州·阶段检测）直线过点与以为端点的线段有公共点， 则直线倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】设直线的倾斜角为，， 则，从而， 设直线的倾斜角为，， 则，从而， 要使直线与线段有公共点， 结合图形可知，直线倾斜角的范围是：， 故选：A. 变式12．（2026·高二·浙江绍兴·阶段检测）已知点AB斜率为k的直线l过点P则满足下列条件的直线l与线段AB相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，在平面直角坐标系中，作出点，如图， 当直线与线段相交时，，， 所以，斜率取值范围是或. 故选：D 变式13．（2026·高二·江苏无锡·阶段检测）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因，，，则斜率，， 如图所示， 直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷，所以此时； 从转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大， 所以此时， 综上可得直线的斜率的取值范围为. 故选：A. 变式14．（2026·高二·广西玉林·阶段检测）直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线的斜率范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 当直线过点B时，设直线的斜率为，则 当直线过点A时，设直线的斜率为，则 故要使直线过点，且与以，为端点的线段有公共点， 则直线的斜率的取值范围为：或. 故选：B. 题型 5：直线平行判定 例13．（2026·高二·陕西西安·期末）已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. 【答案】7 【解析】由题意得，直线的斜率为，直线的斜率为， 则，得. 故答案为：. 例14．（2026·高二·云南曲靖·期末）已知直线，若，则___________ 【答案】 【解析】当时，，，两直线不平行， 当时，两直线平行斜率相等， ，则 ，则， 又，则两直线斜率相等，即， 化简计算得：，解得：或， 又时，，，两直线重合， 故. 故答案为： 例15．（2026·高二·江西吉安·期末）直线与直线，若，则__________. 【答案】3 【解析】由，则，化简得，可得或， 当时，直线的方程为，此时不是直线，故舍去，所以 故答案为：. 变式15．（2026·高二·天津武清·阶段检测）已知直线与平行，则的值是_____. 【答案】或 【解析】直线与平行， 所以，解得：或, 当时，直线方程为：， 直线方程为：,两条直线平行且不重合，符合条件 当时，直线方程为：， 直线方程为：,两条直线平行且不重合，符合条件； 则的值是或. 故答案为：或 变式16．（2026·江苏·一模）已知直线与直线平行，则实数的值为______. 【答案】/ 【解析】因为，所以，解得. 故答案为： 题型 6：直线垂直判定 例16．以点为顶点的直角三角形，其直角顶点为_______． 【答案】A 【解析】因为，， 所以，， 所以， 所以，所以以A点为直角顶点的直角三角形， 故答案为：A. 例17．（2026·高二·重庆长寿·期末）已知两条直线和互相垂直，则a＝______. 【答案】 【解析】直线斜率为3，直线和互相垂直， 则直线的斜率. 故答案为： 例18．已知直线过，且，则直线的斜率为______． 【答案】 【解析】设直线斜率为，直线斜率为， 因为直线过，， 所以斜率为， 因为，所以， 所以，即直线的斜率为. 故答案为：. 变式17．直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是______． 【答案】垂直 【解析】①当时，直线过点和点， 直线过点和点， 此时直线的斜率，直线的斜率不存在，因此； ②当时，直线过点和点，直线过点 和点．此时直线的斜率不存在，直线的斜率，因此； ③当时，直线的斜率，直线的斜率， 此时，∴． 故答案为：垂直. 变式18．（2026·高一·浙江宁波·期末）已知直线与经过，两点的直线垂直，则直线的斜率为_______． 【答案】 【解析】因为直线与经过，两点的直线垂直，直线的斜率为. 所以直线的斜率为. 变式19．（2026·高二·上海·阶段检测）已知直线与直线垂直，则______． 【答案】 【解析】因为直线与直线垂直， 所以，得. 题型 7：平行垂直几何应用 例19．（2026·高二·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 【解析】（1）因为，，且为的中点， 设，由中点公式得，即， 又因为，可得直线的斜率为. （2）因为，，，且， 由斜率公式，可得， 又因为，所以，即，所以为直角三角形， 又由为的中点，且，所以，所以为等腰三角形 所以为等腰直角三角形. 例20．已知点，，，，试判定四边形的形状． 【解析】由斜率公式可得：，，，， 因为，可知， 因为，可知与BC不平行， 又因为，可知， 所以四边形ABCD是直角梯形． 例21．已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形. 【解析】， ，且不在一条直线上， 则直线与直线平行，且， 则四边形是梯形. 变式20．在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明． 【解析】四边形是矩形．证明如下： 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 所以，，所以，， 所以四边形是平行四边形． 又， 所以，所以四边形是矩形． 又，， 令，即，无解， 所以与不垂直，故四边形是矩形． 变式21．设，，，问是否存在正实数m，使为直角三角形? 【解析】要使为直角三角形，则角A，B，C中需有一个为直角.由题意知，直线AB，BC，AC的斜率都存在． 当A为直角时，则AC⊥AB，所以，即，解得，舍去； 当B为直角时，，； 当C为直角时，，或（舍去）. 综上所述，存在正实数或，使为直角三角形. 1．（2026·高二·江苏常州·期末）已知直线平行，则实数的值为（    ） A．－1 B．－7 C．－1或－7 D．1或7 【答案】B 【解析】直线平行，则， ，解得或； 检验当时，两直线重合； 当时，，两直线平行. 实数的值应为－7． 2．（2026·高二·宁夏银川·开学考试）若直线与直线平行，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由直线与直线平行， 可得且，解得. 3．关于直线的倾斜角和斜率，下列正确的个数是（   ） ①任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；③平行于轴的直线的倾斜角是0或；④两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；⑤直线斜率的范围是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】对于①，任一条直线都有倾斜角，但当直线的倾斜角为时，此直线的斜率不存在，所以①不正确； 对于②，当直线的倾斜角大于时，它的斜率为负数，而倾斜角为锐角时，其斜率为正数，大于所有负数， 所以不能说直线的倾斜角越大，它的斜率就越大，所以②不正确； 对于③，平行于轴的直线的倾斜角只能是0，所以③不正确； 对于④，一般地，两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；但如果这两条直线的倾斜角都是， 它们斜率都不存在，也就不能说它们斜率相等，所以④不正确； 对于⑤，直线斜率的范围是，满足定义，所以⑤正确． 故选：A． 4．（2026·高二·河南·阶段检测）已知点，，，若直线与互相垂直，则实数n的值为（   ） A．8 B．10 C．6 D．4 【答案】C 【解析】因为点，，所以直线的斜率． 因为，所以直线的斜率， 即，解得． 故选：C． 5．（2026·高二·江苏·期末）已知直线与互相垂直，则（    ） A．或0 B． C．0 D． 【答案】D 【解析】因为直线与互相垂直， 所以，解得或， 当时，方程不为直线，舍去，则. 故选：D. 6．（2026·高二·福建厦门·期中）已知，，，，若直线与垂直，那么的值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 【答案】A 【解析】, 因为直线与垂直， 所以， 解得或， 当时，，与题意不符，故舍去. 故选：A 7．（2026·高二·天津津南·阶段检测）过点与点的直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由斜率公式可知过点与点的直线的斜率为 ． 设直线的倾斜角为，则． 又，所以． 故选：D． 8．（2026·高二·重庆·期中）已知直线绕原点顺时针旋转得到直线，则的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线 ，设直线斜率为，倾斜角为， ，， 直线绕原点顺时针旋转得到直线， 又倾斜角的取值范围为， 直线的倾斜角为，故D正确． 故选：D． 9．（多选题）（2026·高二·湖北荆州·期中）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．分别在轴、轴上截距相等的直线的斜率为. 【答案】BCD 【解析】任何一条直线都存在倾斜角，A正确； 钝角大于锐角，但是钝角对应的斜率小于锐角对应的斜率，B错误； 若一条直线的倾斜角，则斜率不存在，C错误； 分别在轴、轴上截距相等的直线可以过原点，斜率可以不是，D错误； 故选:BCD. 10．（多选题）（2026·高二·河南南阳·期中）已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由题意，三条直线的倾斜角分别为，可得， 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得, 结合选项，可得选项A、B、C. 故选：ABC. 11．（2026·高二·上海·期末）已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 【答案】或 【解析】的斜率为，所以其倾斜角为， 如图，直线恒过点,若直线与直线的夹角为， 则的倾斜角为或者，所以斜率为或． 12．（2026·高二·贵州毕节·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】因为直线恒过点，且. 由图可知，直线与线段有公共点，所以，即. 故答案为：. 13．（2026·高二·甘肃兰州·期中）已知直线：，：，若两直线垂直，则______. 【答案】1或 【解析】由题意知直线：和直线：互相垂直， 故，解得或. 故答案为：1或. 14．（2026·高二·广东广州·期中）已知直线和直线平行，则______. 【答案】 【解析】因为直线和直线平行， 可得，且，解得. 故答案为：. 15．判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【解析】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，． 因为，，，，所以． （2）因为，，． 所以与不平行． （3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以． （4），因为，， 所以与重合． 16．若直线与平行，求的值. 【解析】因为直线与平行， 当时，，两直线平行，符合题意； 当时，由得（舍去）或， 此时，两直线平行，符合题意. 综上，的值为3或5. 17．（2026·高二·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【解析】（1）因为、、， 所以，， 先考虑直线与线段有公共点， 所以由图可知直线的斜率满足或， 所以，当直线与线段有公共点，直线的斜率的取值范围是． 故当直线与线段没有公共点时，直线的斜率的取值范围为. （2）因为，当时，， 当时，， 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为. 18．（2026·高二·北京·阶段检测）当m为何值时，过两点，，的直线. (1)与过两点，的直线垂直； (2)与过两点，的直线平行. 【解析】（1）经过，两点的斜率为：， 经过，两点的斜率为：， 两直线垂直则斜率之积为，所以，解得或； （2）经过，两点的斜率为：， 两直线平行则斜率相等，所以，解得或. 19．（2026·高二·江苏盐城·阶段检测）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【解析】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率， 即，解得； 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率， 即，解得或； 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：； 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为．. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $