3.2　基本不等式 第二课时 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦基本不等式应用，通过基础巩固-情境应用-综合拓展三层设计，实现从单一公式到实际问题的能力进阶，培养数学运算与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一公式直接应用|如第1题已知xy=4求x+4y最小值，强化“一正二定三相等”条件判断| |中档|条件转化与情境建模|如第6题运费与存储费用优化，结合实际问题构建函数模型| |提升|综合变形与跨情境应用|如第16题利润函数构建及最值求解，融合经济情境与不等式综合运算|

第二课时　基本不等式的应用 1.已知x，y为正实数，且xy＝4，则x＋4y的最小值是（　　） A.4　 B.8 C.16　 D.32 2.已知函数y＝x＋－2（x＜0），则函数有（　　） A.最大值为0　 B.最小值为0 C.最大值为－4　 D.最小值为－4 3.已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值是（　　） A.18　 B.16 C.8　 D.10 4.若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是（　　） A.　 B. C.　 D. 5.若0＜x＜4，则有（　　） A.最小值0　 B.最大值2 C.最大值　 D.不能确定 6.（多选）某公司一年购买某种货物800吨，现分次购买，设每次购买x吨，运费为8万元/次.已知一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和y最小，则下列说法正确的是（　　） A.当x＝40时，y取得最小值 B.当x＝45时，y取得最小值 C.ymin＝320 D.ymin＝360 7.已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1，则xy的最大值为　　　　，取得最大值时y的值为　　　　. 8.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则该矩形花园边长x为　　　　m. 9.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（x∈N＋，单位：年）满足关系y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运　　　　年时，年平均利润最大. 10.已知x＞0，y＞0且2x＋5y＝20. （1）求xy的最大值； （2）求＋的最小值. 11.如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中错误的是（　　） A.（a＋b）2≥4ab B.当a＝b时，A1，B1，C1，D1四点重合 C.（a－b）2≤4ab D.（a＋b）2＞（a－b）2 12.（多选）已知a，b为正实数，且ab＋2a＋b＝6，则（　　） A.ab的最大值为2 B.2a＋b的最小值为4 C.a＋b的最小值为3 D.＋的最小值为 13.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝3，b＋c＝5，则此三角形面积的最大值为　　　　. 14.某人准备租一辆车出差，已知从出发点到目的地的距离为100 km，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100（单位：km/h）之间.假设目前油价为7.2元/L，汽车的耗油率为L/h，其中x（单位：km/h）为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量.租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x是多少？（注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资） 15.若xy是正数，则＋的最小值是（　　） A.3　 B. C.4　 D. 16.某厂家拟在2024年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量（即该产品的年产量）x（单位：万件）与年促销费用m（m≥0，单位：万元）满足x＝3－（k为常数），如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件.已知2024年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）. （1）将2024年该产品的利润y（单位：万元）表示为年促销费用m的函数； （2）该厂家2024年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？ 第二课时　基本不等式的应用 1.B　∵x＞0，y＞0，∴x＋4y≥2＝8，当且仅当x＝4y且xy＝4，即x＝4，y＝1时取等号，∴x＋4y的最小值为8.故选B. 2.C　∵x＜0，∴y＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号. 3.A　x＋2y＝（x＋2y）＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，即x＝4y＝12时，等号成立. 4.B　由x2＋3xy－1＝0，可得y＝.又x＞0，所以x＋y＝＋≥2＝（当且仅当x＝时等号成立）. 5.B　由基本不等式≤＝2，当且仅当x＝4－x，即x＝2时等号成立，故最大值为2. 6.AC　一年购买某种货物800吨，每次购买x吨，则需要购买次，又运费是8万元/次，一年的总存储费用为4x万元，所以一年的总运费与总存储费用之和y＝×8＋4x万元.因为y＝×8＋4x≥2＝320，当且仅当＝4x，即x＝40时，等号成立，所以当x＝40时，y取得最小值，ymin＝320，故选A、C. 7.3　2　解析：因为x＞0，y＞0，且1＝＋≥2，所以xy≤3.当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号. 8.20　解析：设矩形花园的宽为y，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x（40－x）≤＝400，当且仅当x＝20时，取等号，即当x＝20 m时，面积最大. 9.5　解析：∵y＝－x2＋12x－25，∴年平均利润为＝＝－＋12≤－2＋12＝2，当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立. 10.解：（1）∵2x＋5y＝20，x＞0，y＞0， ∴2x＋5y≥2，∴2≤20，即xy≤10， 当且仅当x＝5，y＝2时，等号成立， ∴xy的最大值为10. （2）＋＝·（2x＋5y）＝（2＋5＋＋）＝≥（7＋2）， 当且仅当x＝y时，等号成立. ∴＋的最小值为（7＋2）. 11.C　由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，即有（a＋b）2≥4ab；正方形A1B1C1D1的面积为（a－b）2，结合图形可知（a＋b）2＞（a－b）2，且当a＝b时，A1，B1，C1，D1四点重合，但是正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定.因此C选项错误. 12.ABD　因为6＝ab＋2a＋b≥ab＋2，当且仅当2a＝b时取等号，解得≤，即ab≤2，故ab的最大值为2，A正确；由6＝ab＋2a＋b得b＝＝－2，所以2a＋b＝2a＋＝2（a＋1）＋－4≥2－4＝4，当且仅当2（a＋1）＝，即a＝1时取等号，此时2a＋b取得最小值4，B正确；a＋b＝a＋－2＝a＋1＋－3≥4－3，当且仅当a＋1＝，即a＝2－1时取等号，C错误；＋≥2＝2＝，当且仅当a＋1＝b＋2时取等号，此时＋取得最小值，D正确.故选A、B、D. 13.3　解析：由题意知，p＝（3＋5）＝4，则S＝＝＝2≤8－（b＋c）＝3，当且仅当4－b＝4－c，即b＝c时等号成立，∴此三角形面积的最大值为3. 14.解：设总费用为y元. 由题意，得y＝76.4×＋7.2×× ＝＋2x（40≤x≤100）. 因为y＝＋2x≥2＝280. 当且仅当＝2x，即x＝70时取等号. 所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70 km/h. 15.C　＋＝x2＋＋＋y2＋＋＝＋＋≥1＋1＋2＝4，当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号. 16.解：（1）由题意，可知当m＝0时，x＝1， ∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－， 又每件产品的销售价格为1.5×元， ∴y＝x－（8＋16x＋m）＝4＋8x－m ＝4＋8－m ＝－＋29（m≥0）. （2）∵m≥0，＋（m＋1）≥2＝8， 当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立， ∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21. 故该厂家2024年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $