第四章 2.2换底公式 同步练习 -2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

**基本信息** 分层梯度清晰，从单一公式应用到综合探究，适配新授课知识巩固与能力提升，培养数学思维与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|换底公式直接应用|选择/填空（1-8题），如log₅2·log₄25计算，巩固公式记忆| |中档|公式综合变形|多步转换（9-12题），如用log₂3=a表示log₄₂56，提升推理能力| |提升|拓展探究应用|解答题（13-15题），如企盼数问题，培养创新意识与逻辑思维|

2.2　换底公式 1.log52·log425＝（　　） A.－1　 B. C.1　 D.2 2.设log89＝a，log35＝b，则lg 2＝（　　） A.　 B. C.　 D. 3.已知4a＝5b＝10，则＋＝（　　） A.2　 B.3 C.4　 D.5 4.化简：（log43＋log83）·（log32＋log92）＝（　　） A.　 B. C.1　 D.2 5.（多选）已知a，b均为不等于1的正数，则下列选项中与logab相等的有（　　） A.　 B. C.log　 D.lobn 6.（多选）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（　　） A.logab·logcb＝logca　 B.logab·logca＝logcb C.2lg a＋2lg b＝2lg ab　 D.2lg ab＝2lg a·2lg b 7.若ln 3＝a，则log9e＝　　　. 8.log35×log253＝　　　　. 9.设log23·log36·log6m＝log4（2m＋8），则实数m＝　　　　. 10.已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256. 11.若y＝log56·log67·log78·log89·log910，则（　　） A.y∈（0，1）　 B.y∈（1，2） C.y∈（2，3）　 D.y∈（3，4） 12.（多选）已知2a＝3，b＝log32，则（　　） A.a＋b＞2　 B.ab＝1 C.3b＋3－b＝　 D.＝log912 13.已知（）a＝，log74＝b，则log4948＝　　　　（用含a，b的式子表示）. 14.设a＞0且a≠1，x，y满足logax＋3logxa－logxy＝3，用logax表示logay，并求当x取何值时，logay取得最小值. 15.已知函数f（n）＝log（n＋1）（n＋2）（n∈N＋），定义使f（1）·f（2）·f（3）·…·f（k）为整数的数k（k∈N＋）叫作企盼数，求在区间[1，2 024]内这样的企盼数的个数. 2.2　换底公式 1.C　log52·log425＝·＝·＝1. 2.A　由log89＝a，得log23＝a，所以＝a.又log35＝＝b，所以×＝ab，所以＝ab，所以lg 2＝. 3.A　因为4a＝5b＝10，所以a＝log410，b＝log510，则＝lg 4，＝lg 5，所以＋＝lg 4＋2lg 5＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2.故选A. 4.B　原式＝＝·＝×××＝.故选B. 5.AD　＝logab，＝logba，lo＝logba，lobn＝logab.故选A、D. 6.BD　log24·log164＝2×＝1≠log162＝，因而A错误；logab·logca＝·＝＝logcb，因而B正确；2lg ab＝2lg a＋lg b＝2lg a·2lg b，故D正确，C错误. 7.　解析：因为ln 3＝a，所以log9e＝＝＝. 8.　解析：log35×log253＝log35×lo3＝log35×log53＝×＝. 9.4　解析：左边＝××＝log2m＝log4m2，所以m2＝2m＋8，解得m＝4或m＝－2（负值舍去）. 10.解：∵log23＝a，则＝log32，又∵log37＝b， ∴log4256＝＝＝. 11.B　y＝××××＝log510＝1＋log52，因为0＜log52＜1，所以1＜y＜2.故选B. 12.ABD　∵2a＝3，∴a＝log23，∵b＝log32，∴ab＝log23·log32＝1，故B正确；∴a＋b＞2＝2，故A正确；∴3b＋3－b＝2＋＝，故C错误；＝＝＝＋＝log32＋log3＝log32＝＝2log9＝log912，故D正确. 13.　解析：由（）a＝，得a＝log73，又b＝log74，∴log4948＝＝＝＝. 14.解：由换底公式，得logax＋－＝3， 整理，得（logax）2＋3－logay＝3logax， ∴logay＝（logax）2－3logax＋3＝＋. ∴当logax＝，即x＝时，logay取得最小值. 15.解：令g（k）＝f（1）·f（2）·f（3）·…·f（k），∵f（k）＝log（k＋1）（k＋2）＝， ∴g（k）＝··…·＝＝log2（k＋2）. 要使g（k）成为企盼数，则k＋2＝2n，n∈N＋. ∵k∈[1，2 024]， ∴k＋2∈[3，2 026]，即2n∈[3，2 026]. ∵22＝4，…，210＝1 024，211＝2 048， ∴可取n＝2，3，…，10. 因此，在区间[1，2 024]内这样的企盼数共有9个. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $