课时作业(25) 换底公式（Word练习）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(二十五)　换底公式 [基础达标练] 1．化简得log832的值为(　　) A．　　　　　　　　B．2 C．4 D． 解析：选D　∵log832＝＝＝. 2．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36等于(　　) A． B． C． D． 解析：选B　log36＝＝＝. 3．计算log92·log43等于(　　) A．4 B．2 C． D． 解析：选D　log92·log43＝·＝·＝. 4．已知2m＝5n＝10，则＋＝________． 解析：因为m＝log210，n＝log510， 所以＋＝log102＋log105＝lg 10＝1. 答案：1 5．计算(log34＋log278)·(log89＋log23)＝ ________． 答案：5 6．已知a＝log32，则log316＋log324＝________(用a表示) 答案：5a＋ 7．已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256. 解∵log23＝a，则＝log32，又∵log37＝b， ∴log4256＝＝＝. 8．计算下列各式的值： (1)(log43＋log83)； (2)log2 3log38＋log34； (3)log3(9×272)＋log26－log23＋log43×log316. 解：(1)原式＝ ＝·＋· ＝＋＝. (2)原式·＋3log34＝3＋3log32＝3＋2＝5. (3)原式＝log3(32×36)＋log2＋log43·2log34＝log338＋log22＋2＝11. [能力提升练] 9．(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　) A．ab＋bc＝2ac B．ab＋bc＝ac C．＝＋ D．＝－ 解析：选AD　由a，b，c都是正数， 可设4a＝6b＝9c＝M， ∴a＝log4M，b＝log6M，c＝log9M， 则＝logM4，＝logM6，＝logM9， ∵logM4＋logM9＝2logM6， ∴＋＝，即＝－， 去分母整理得ab＋bc＝2ac，故选AD. 10．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则的值等于(　　) A．2 B． C．4 D． 解析：选A　由根与系数的关系可知lg a＋lg b＝2，lg a lg b＝，于是＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg a lg b＝22－4×＝2. 11．若log34·log48·log8m＝log416，则m＝________． 解析：由已知，得log34·log48·log8m＝··＝log3m＝2， ∴m＝32＝9. 答案：9 12．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，若使该物质的剩余量是原来的，估计需经过________年．(结果保留1个有效数字，lg 2≈0. 3010，lg 3≈0. 4771). 解析：设物质的原有量为a，经过t年，该物质的剩余量是原来的，由题意可得a·0.75t＝a，所以＝，两边取以10为底的对数，得lg ＝lg . 所以t(lg 3－2lg 2)＝－lg 3， 所以t＝≈≈4(年). 答案：4 13．(1)求(log2 3＋log8 9)(log3 4＋log9 8＋log3 2)＋(lg 2)2＋lg 20×lg 5的值； (2)若a，b，c∈N＋，且满足a2＋b2＝c2，求log2＋log2的值． 解：(1)原式＝· ＋(lg 2)2＋(1＋lg 2)lg 5＝log23·log32＋(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝＋lg 2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＝＋lg 2＋lg 5＝＋1＝. (2)因为a2＋b2＝c2， 所以log2＋log2 ＝log2 ＝log2 ＝log2＝ ＝log2＝1. [素养拓展练] 14．已知logax＋3logxa－logxy＝3(a>1). (1)设x＝at，试用a，t表示y； (2)当0<t≤2时，y有最小值8，求a和x的值． 解：(1)由换底公式， 得logax＋－＝3(a>1)， 所以logay＝(logax)2－3logax＋3. 当x＝at时，logax＝logaat＝t， 所以logay＝t2－3t＋3. 所以y＝at2－3t＋3(t≠0). (2)y＝a＋，因为0<t≤2，a>1， 所以当t＝时，ymin＝a＝8. 所以a＝16，此时x＝a＝64. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$