4.2.2　换底公式课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

2026-07-21

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摘要：

该高中数学课件聚焦对数换底公式，课堂导入通过计算器仅支持常用对数和自然对数的实际问题，衔接学生已有的对数概念，构建从具体运算需求到抽象公式推导的学习支架，帮助理解公式的必要性与应用场景。其亮点是以数学运算为核心素养，通过自我诊断辨析易错点，典型例题提供多种解法（如例1换底公式正用与逆用），通性通法总结“化为同”思想，结合变式探究（如例2变条件问题）培养数学思维。学生能提升运算能力和转化能力，教师可直接使用系统的例题、训练与总结，提高教学效率。

内容正文：

2.2　换底公式目录基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 新课程标准解读核心素养掌握换底公式的应用方法，能够把任意底数的对数转换为自然对数或者常用对数的形式，同时可以借助该公式完成基础的对数化简与相关运算。数学运算目录数学·必修第一册（BSD）基础知识·重落实 01 课前预习必备知识梳理目录目录　　常见的计算器上通常仅配备了常用对数键“lg”和自然对数键“ln”，当我们遇到形如（且，）这样底数为其他数值的对数计算需求时，需要将其转化为计算器能够直接计算的常用对数或自然对数形式。【问题】　如何转换？ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 目录数学·必修第一册（BSD）知识点　换底公式一般地，若 a ＞0， b ＞0， c ＞0，且 a ≠1， c ≠1，则log ab ＝ .这个结论称为对数的____________. 提醒　换底公式的推论： log ab ＝， lo bn ＝ log ab. 　换底公式目录数学·必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）对数log39和log93的意义一样. （　×　）（2）由换底公式可得log ab ＝ . （　×　）（3）log2 M ＋log3 N ＝log6（ MN ）. （　×　）（4）log23·log32＝1. （　　√） × × × √ 目录数学·必修第一册（BSD） 2.若lg5=a，lg7=b，则log₅7= （　　）解析：∵lg5=a，lg7=b，∴log₅7== 3. 的值为_________. 解： A. a+b B. b - a C. D. 目录数学·必修第一册（BSD）典型例题·精研析 02 课堂互动关键能力提升目录目录题型一对数换底公式的应用【例1】　计算：（1）log43·log38；解：法一: ；法二: . 目录数学·必修第一册（BSD）（2） . 解：原式＝ × ＝lo ×lo 9 ＝ × ＝ × ＝－ . 目录数学·必修第一册（BSD）通性通法利用换底公式求值的思想与注意点目录数学·必修第一册（BSD）【跟踪训练】 1. ____ 解析：. −1 目录数学·必修第一册（BSD） 2. 若log2 x ·log34·log59＝8，则 x ＝（　　） A. 8 B. 25 C. 16 D. 4 解析：　∵log2 x ·log34·log59＝ · · ＝ × × ＝8， ∴lg x ＝2lg 5＝lg 25，∴ x ＝25. 目录数学·必修第一册（BSD）题型二用已知对数式求值【例2】　已知log189＝ a ，18 b ＝5，求log4536.（用 a ， b 表示）解：因为18 b ＝5，所以 b ＝log185. 所以 . 目录数学·必修第一册（BSD）【母题探究】 1. （变设问）假设本例条件不变，如何求log1836（用 a ， b 表示）？解：因为18 b ＝5，所以log185＝ b ，所以log1836＝log1818＋log182 ＝ 1+ log1818 - log189 =1+1- a =2- a. 目录数学·必修第一册（BSD） 2. （变条件）若将本例条件“log189＝ a ，18 b ＝5”改为“log94＝ a ，9 b ＝5”，则又如何求解呢？解：因为9 b ＝5，所以log95＝ b . 所以log3645＝＝＝＝ . 目录数学·必修第一册（BSD）通性通法求解与对数有关的各种求值问题应注意三点（1）依据对数的定义，能够实现对数式到指数式的转化；（2）将指数式转化为对数式时，两边同时取对数是一种常用手段；（3）对数换底公式在解题过程中意义重大，它能把底数不同的对数问题转变为同底数的问题，进而借助对数的运算性质来求解. 目录数学·必修第一册（BSD）【跟踪训练】　若lg5 = a，lg7 = b，则log₅7 ＝（　　）解析：　∵lg5 = a，lg7 = b， ∴log₅7 = = . A. a + b B. b - a C. D. 目录数学·必修第一册（BSD）题型三有附加条件的对数式求值问题【例3】　（1）已知 a ， b ， c 是不等于1的正数，且 ax ＝ by ＝ cz ，＋＋＝0，则 abc 的值为 ⁠；解析：　设 ax ＝ by ＝ cz ＝ t ，由条件知 t ＞0且 t ≠1，则 x ＝log at ， y ＝log bt ， z ＝log ct ，∴ ＋＋＝＋＋＝log ta ＋ log tb ＋log tc ＝log t （ abc ）＝0，∴ abc ＝ t0＝1. 1　目录数学·必修第一册（BSD）（2）已知，若，则 ⁠. 解析：由，得，，. 令 (且)，则，，；；且，. ，即；，即，解得. 2　目录数学·必修第一册（BSD）通性通法　　对于含对数及附加条件的代数式求值问题，需化简转化已知条件与所求式子，以化为同底对数为原则，借助对数运算性质求解。此外，要整体把握对数式结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化。目录数学·必修第一册（BSD）【跟踪训练】　已知实数a,b,c,d满足, , , , 则＝ ⁠. 解析：实数a,b,c,d满足, , , , , , , , , 则. 故答案为：1. 1　目录数学·必修第一册（BSD） 1.已知,则________ 解析：　 ∵lg2=a,lg3=b, . 目录数学·必修第一册（BSD）解析：，即，由，可得，则. 故答案为：C. 2.(2025高一下·柳江月考) 已知，则（　） A. B. C. D. 目录数学·必修第一册（BSD） 3.(2025高一下·茂名月考) 已知，且，则 A. B. C. D. 解析：因为，所以，，所以，，所以，所以，所以，解得，因为，所以. 目录数学·必修第一册（BSD）谢谢观看！ $

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