25.2.2公式法 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦公式法解一元二次方程，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层设计，实现从概念记忆到综合应用的知识巩固路径，培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|求根公式、方程一般形式、a,b,c确定|选择1-4题直接考查公式记忆与基本概念，填空11-12题强化一般形式转化| |技能应用|判别式应用、解方程运算、根的情况判断|选择5-8题结合判别式取值范围，解答17-18题系统训练解方程步骤，培养运算能力| |综合拓展|方程与几何综合、新定义问题、参数讨论|解答19-21题涉及和谐方程证明、等腰三角形边长应用，发展推理意识与应用意识|

25.2.2公式法解一元二次方程 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一元二次方程的求根公式是(    ) A. B. C. D. 2.如果一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是(    ) A. B. C. D. 3.已知一元二次方程 有两个实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 4.用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述正确的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5.用公式法解方程，下列代入公式正确的是(    ) A. B. C. D. 6.用公式法解方程，正确的是  (    ) A. B. C. D. 7.若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 8.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. 且 B. C. 且 D. 9.用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程可能是(    ) A. B. C. D. 10.一元二次方程的其中较大的一个根为，则最接近的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.将化为一元二次方程的一般形式为          ，           ，           ，           ． 12.在一元二次方程中，的值是          ． 13.一元二次方程的根是          ． 14.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是          ． 15.若方程的一根为，则它的另一根为          ． 16.方程较小的根为，方程较大的根为，则的值为          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.不解方程，判断下列方程的根的情况： ． 18.用公式法解下列方程： ； ； ； ． 19.定义：若一元二次方程满足，则称该方程为“和谐方程”． 下列属于“和谐方程”的是          填序号． ； ； ． 求证：“和谐方程”总有实数根； 已知一元二次方程为“和谐方程”，若该方程有两个相等的实数根，求，的数量关系． 20.已知关于的方程． 求证：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； 当为何整数时，关于的方程有两个整数根？ 21.已知，是关于的一元二次方程的两实数根． 求的取值范围； 已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 阅读材料：若三边的长分别为，，，那么可以根据秦九韶海伦公式可得：，其中，在的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $1.A 2.A 3.D 4.B 8.A 9.A 10.C 11.x2-5x+4=0 1 -5 4 12.64 13x,=+5x=15 2 2 14.m≤3 15.1-V7 16.2 17.【小题1】 解：移项，得5-2x+日0， :4=(-22-4×5×1=0, ·方程5X=2x-有两个相等的实数根 【小题2】 移项，得3x+4X+6=0. .△=42-4×3×6=-56<0 :.方程3X2+6=-4x没有实数根 18.【小题1】 .a=1,b=-5,c=3, 参考答案 5.D 6.C 7.C 第1页，共1页 .△=b2-4ac=(-52-4×1×3=13>0' :.=-b±b-4ac--5±13_5±3 2a 2×1 2 A、、5+13,x2=二V13 2 【小题2】 方程化为2x+3x-3=0, .a=2,b=3,c=-3, ∴.△=b2-4ac=32-4×2×(-3)=33>01 X=-b±6-4ac-3±33-3±V33, 2a 2×2 x=3+33 4 =3-33 4 【小题3】 方程化为x2-2V5x+10=0, .a=1,b=-2V5,c=10, .△=b2-4ac=-2V5}-4×1×10=-20<0' 此方程无实数根； 【小题4】 方程化为2y2+3y-2=0, .a=2,b=3,C=-2, ∴.△=b2-4ac=32-4×2×(-2)=25>0 y=-b±vb-4ac-3±25-3t5. 2a 2×2 4 1 小=2%-2 19.【小题1】 第2页， 共1页 ①③ 【小题2】 证明：：一元二次方程aX+bx+C=0(a≠0为“和谐方程”， .b=a+c’∴.b2-4ac=(a+c2-4ac=(a-c2≥0 .“和谐方程”总有实数根. 【小题3】 解：：一元二次方程aX2+bx+c=0(a≠0为“和谐方程”， ∴.b=a+C. :“和谐方程”aX2+bx+c=0(a≠0有两个相等的实数根， ∴.b2-4ac=(a+c2-4ac=a-c2=0'∴.a=c 20.【小题1】 当k=1时，方程为一元一次方程，必有一解： 当k≠1时，方程为一元二次方程，此时A=k2-4k-1)=(k-2} 综上，不论k取什么实数值，这个方程总有实数根： 【小题2】 :方程(k-1)X2++1=0有两个整数根， .∴.k≠1， :解得x=-k±k-2亚-k±k-2, 2k-1 2k-1 .X1=-1,X2=1-k1 ∴.k为整数且方程的两个根都为整数， .1-k=1或-1， .k=0或2. 第3页，共1页 0'方程有两个实数根. 21.解：(1)由题意得：△=b2-4ac=[2(m-2)]2-4(m+2)(m+10)≥0，且m+2≠0， 化简得：64m≤-64， 解得：m≤-1且m≠-2； (2)由题意知：x1,X2恰好是等腰△ABC的腰长， .X1=X2, :x1,X是关于x的一元二次方程(m+2)x2+2(m-2)x+m+10=0的两实数根， ∴.△=b2-4ac=[2(m-2)]2-4(m+2)(m+10)=0, 解得m=-1, ∴.x2-6x+9=0, 解得X1=X2=3, .BC=4, ∴.△ABC的周长为：3+3+4=10： (3)由(2)知：△ABC的三边长为3,3,4， p=3+3+4=5, 2 .S△ABc=Vp(p-aj(p-bj(p-c=5×(5-3)×(5-3)×(5-4=2V5, 过I分别作IF⊥AB,ID⊥BC,IE⊥AC,垂足分别为F,D,E, 第4页，共1页 y F E B D C :I是△ABC角平分线的交点， ∴.IF=ID=IE, S度克ABE+号8CD+号AC-E 解得D=2 5, 5BC-D-×4x25-45 2 55 D-(AB+Bc+AC=D×3+3+4=5D=25, 第5页，共1页