25.2.2 公式法同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦公式法，分层覆盖基础概念、公式应用及综合探究，梯度衔接紧密，助力知识从理解到应用的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|判别式应用、求根公式|选择1直接判断根的情况，填空7强化公式记忆，夯实概念理解| |中档|公式逆用、参数计算|选择2由求根公式反推方程，填空9结合判别式求参数，提升运算准确性| |提升|综合证明、探究应用|解答17求证方程总有实根并求整数根，18结合判别式设计开放问题，发展推理能力与模型意识|

答案和解析 1.【答案】A 2.【答案】A 3.【答案】B 4.【答案】D 解：根据题意得△=-2}-4m<0' 解得m>1. 故选：D. 5.【答案】B 【解析】解：，关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根， .k≠0且A>0:即(-22-4×k×(-1>0' 解得k>-1且k≠0， :.k的取值范围为k>-1且k≠0 故选：B 6.【答案】A 【解析】解：.a=1,b=-1,c=-m, .△=b2-4ac=(-1-4×1×-m)=1+4m' .m<-2 ∴.1+4m<0 第1页，共1页 .∴.△<0 .该方程无实数根. 故选：A. 7.【答案】-b±Vb2-4ac 2a 8.【答案】方程有两个不相等的实数根 9.【答案】2或-1 10.【答案】9 【解析】【分析】 本题考查了根的判别式：一元二次方程aX+bx+C=0(a≠0)的根与4=b2-4ac有如下关系：当4>0时， 方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根. 根据根的判别式的意义得到△=62-4m=0,然后解关于m的方程即可. 【解答】 解：根据题意得△=62-4m=0, 解得m=9. 故答案为：9. 11.【答案】3 12.【答案】1±v5 2 13.【答案】【小题1】 第2页，共1页 解：移项，5-2x+号=0， :4=-2-4×5×号0. “方程5=2X一号有两个相等的实数根： 【小题2】 移项，得3x2+4x+6=0. .4=42-4×3×6=-56<0 :方程3X2+6=-4 没有实数根. 14.【答案】【小题1】 解：b2-4ac=(-42-4×2×(-1)=24 ..X= 4±V24_4±2V6 巴，·.x,=2TV0.x=2-V6 2×2 2，2 2 【小题2】 解：原方程可化为x2-7X-1=0. :6-4ac=(-7-4×1x(-1)=53,x=7±5图 2 ∴×-7园x-7图 2 2 【小题3】 解：原方程可化为2x2-15x+50=0. :b2-4ac=(-152-4×2×50=-175<0':.方程无实数根. 15.【答案】【小题1】 解：把x=0代入原方程，得3m-2=0,解得m= 第3页，共1页 【小题2】 解：由题意知，一元二次方程x+4x+3m-2=0有实数根， ∴.4=b2-4ac≥0' .42-4(3m-2)≥0 解这个不等式，得m≤2. 的取值范围是 ∴.m Em≤2 16.【答案】解：(1)：关于x的一元二次方程X-2mx+(m-1?=0有两个相等的实数根， ∴.△=(-2m2-4(m-12=8m-4=0 解得m=2 1 (2)将m=代入原方程得-X+星0， 4 x=0, 部行义光号 17.【答案】【小题1】 当k=1时，方程为一元一次方程，必有一解： 当k≠1时，方程为一元二次方程.此时4=kK-4k-1)=k-2P≥0方程有两个实数根. 综上，不论k取什么实数值，这个方程总有实数根： 【小题2】 :方程k-1)X+收+1=0有两个整数根， 第4页，共1页 .k≠1， :解得X=二k±k-2乎=-k±k-2, 2k-1 2k-1 1 .x1=-1,X2=1-k .k为整数且方程的两个根都为整数， ∴.1-k=1或-1， ∴.k=0或2 18.【答案】【小题1】 解：，x=1是方程的一个解， a+b+=0. 2 a+b=-1 【小题2】 4-6-4如*分-67-2a .b=a+1' ∴.△=(a+12-2a=a2+2a+1-2a=a2+1>0° :.方程有两个不相等的实数根 【小题3】 方程有两个相等的实数根， b2-2a=0即b2=2a ,a'b为正整数， 第5页，共1页 :取a=2'b=2 方程为242x+号0，解得X=%=答案不准，合理印可 第6页，共1页25.2.2公式法同步练习 一、选择题： 1.一元二次方程2x2-3x+1=0的根的情况是(） A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法确定 2.用公式法解一元二次方程，得x=5+/524x3x1, 则该一元二次方程可能是() 2×3 A.3x2+5x+1=0 B.3x2-5x+1=0C.3x2+5x-1=0D.3x2-5x-1=0 3.下列方程中有两个相等实数根的是() A.7x2-x-1=0 B.9x2-12x+4=0 C.x2+7x+15=0 D.2x2-V3x-2=0 4.关于x的一元二次方程x2-2x+m=0无实数根，则实数m的取值范围是() A.m<1 B.m≥1 C.m≤1 D.m>1 5.若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是() A.k>1 B.k>-1且k≠0C.k≥-1且k≠0D.k<1且k≠0 6.若关于x的一元二次方程x2-x-m=0中m<-2,则这个方程的根的情况是() A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不等的实数根 D.不能确定 二、填空题： 7.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)的求根公式为x=一· 8.关于x的一元二次方程x2+4x+3=0的根的情况为. 9.若关于x的一元二次方程2x2-(2m+1)x+m=0的根的判别式的值是9，则m=· 10.已知一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为一 11.关于x的一元二次方程(2-a)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则整数a的最小值是一. 12.对于任意实数a,b,定义a7b=a(a+b)+b.若m7(-1)=0,则实数m的值为_. 三、解答题： 13.不解方程，判断下列方程的根的情况： 1 (①5x2=2x-5 (2)3x2+6=-4x. 第1页，共3页 14.用公式法解下列方程： (12x2-4x-1=0: (2)7x+1=x2; 3)0.22+5=x. 15.已知关于x的一元二次方程x2+4x+3m-2=0有实数根. (1)若x=0是方程的一个根，求m的值. (2)求m的取值范围. 16.关于x的一元二次方程x2-2mx+(m-1)2=0有两个相等的实数根. (1)求m的值： (2)求此方程的根。 17.已知关于x的方程（飞-1）x2+kx+1=0 (1)求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根； (2)当k为何整数时，关于x的方程(k-1)x2+kx+1=0有两个整数根？ 第2页，共3页 18.己知关于x的一元二次方程a2+bx+2=0. (1)若x=1是方程的一个解，写出a,b满足的关系式. (2)当b=Q+1时，利用根的判别式判断方程的根的情况. (3)若方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的正整数α，b的值，并求出此时方程的根. 第3页，共3页 25.2.2 公式法 同步练习 1、 选择题： 1.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 2.用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程可能是(    ) A. B. C. D. 3.下列方程中有两个相等实数根的是(    ) A. B. C. D. 4.关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    ) A. B. 且 C. 且 D. 且 6.若关于的一元二次方程中，则这个方程的根的情况是(    ) A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不等的实数根 D. 不能确定 二、填空题： 7.一元二次方程的求根公式为           ． 8.关于的一元二次方程的根的情况为          ． 9.若关于的一元二次方程的根的判别式的值是，则          ． 10.已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为          ． 11.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最小值是          ． 12.对于任意实数，，定义若，则实数的值为          ． 三、解答题： 13.不解方程，判断下列方程的根的情况： ． 14.用公式法解下列方程： ； ； ． 15.已知关于的一元二次方程有实数根． 若是方程的一个根，求的值． 求的取值范围． 16.关于的一元二次方程有两个相等的实数根． 求的值 求此方程的根． 17.已知关于的方程． 求证：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； 当为何整数时，关于的方程有两个整数根？ 18.已知关于的一元二次方程． 若是方程的一个解，写出，满足的关系式． 当时，利用根的判别式判断方程的根的情况． 若方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的正整数，的值，并求出此时方程的根． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $