精品解析：2022年河南省商丘市第一中学中考数学二模试卷

2022年河南省商丘一中中考数学二模试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 木星是太阳系中八大行星之一，且是太阳系中体积最大、自转最快的行星，它的赤道直径约为14.3万千米，其中14.3万用科学记数法可表示为 （ ） A. 1.43×105 B. 1.43×104 C. 1.43×103 D. 14.3×104 3. 如图是由10个相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，将一个含有角的三角板的直角顶点放在直线上，已知，若，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 某次数学测试中，某校八年级1200名学生成绩均在70分以上 分数x 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 人数/人 400 600 200 平均分/分 78.1 85 91.9 请根据表格中的信息，计算这1200名学生的平均分为（　　） A. 92.16 B. 85.23 C. 84.73 D. 83.85 7. 《九章算术》中记载了一个问题，大意为：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．若设共有x人，该物品售价为y元，则根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 一个不透明的袋子中装有2个红球、2个蓝球，小球除颜色外其他均相同，若同时从袋子中任取两个小球，则摸到的两个小球中，至少有一个小球为蓝色的概率为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，M，N分别为，上一点，且，连接，，交于点P，Q，R分别为，的中点，连接，，若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边在直线上，点，将进行如下操作：①绕点顺时针旋转，使落在直线上，记作第1次运动；②绕点顺时针旋转，使落在直线上，记作第2次运动；③绕点顺时针旋转，使落在直线上，记作第3次运动，，当第9次运动后，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：________ 12. 如图，四边形与四边形位似，点为位似中心．已知，则四边形与四边形的面积比为________． 13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为___________． 14. 如图，在中，， ，，则图中阴影部分的面积为 _________________________． 15. 如图，在矩形中，，，点为的中点，动点在矩形内部，连接，，且，点为上一个动点，连接，，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 按要求解答 （1）解不等式组：； （2）先化简，后求值：，其中． 17. 2021年7月20至22日，河南省郑州市遭遇极端特大暴雨，地铁线路被淹停运，人民群众生命财产受到严重损害．为了普及安全知识，增强安全意识，某中学组织全校学生参加安全知识竞赛活动，初中三个年级根据初赛成绩分别选出10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩（满分100分）如表所示： 年级 决赛成绩（单位：分） 初一 80 86 88 80 88 99 80 74 91 89 初二 85 85 87 97 85 76 88 77 87 88 初三 82 80 78 78 81 96 97 88 89 86 （1）补全表格． 年级 平均数 众数 中位数 初一 　　 87 初二 85 　　 初三 　　 78 84 （2）将平均数和众数相结合来看，成绩较好的年级是 　　，将平均数和中位数相结合来看，成绩较好的年级是 　　． （3）如果从每个年级参加决赛的10名选手中各选3人参加总决赛，那么你认为哪个年级夺冠的可能性大一些？请说明理由． 18. 随着科技的进步，无人机在测量方面得以广泛应用，某数学兴趣小组同学为了测量学校实验大楼AB的高度，用无人机在C处测得大楼底端B的俯角为42°，大楼顶端A的仰角为30°，大楼底端与无人机的距离BC为15M（点A、B、C在同一平面内），则大楼AB的高度是多少？（参考数据：） 19. 周末，小明去图书馆看书，爸爸回家后发现未带钥匙，于是打电话让小明回家，同时，爸爸骑车沿同一路线去接小明，小明见到爸爸后继续以原速度步行回家，爸爸拿到钥匙后立即以原速度返回．已知两人和家的距离（米）与各自所用的时间（分钟）之间的关系如图所示． （1）家和图书馆的距离为 　　米，　　； （2）求出点的坐标，并写出点所表达的实际意义； （3）求出爸爸离家的路程关于时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （4）爸爸到家时，小明离家还有多远？ 20. 如图，内接于，， 点D为上一点， 连接交于点M， 过点B作的切线交射线于点N， 当 时： （1）求证∶； （2）若，， 求的长． 21. 如图，线段轴于点，，反比例函数交于点．的垂直平分线交反比例函数图象于点． （1）在图中用直尺和圆规作出点．（保留作图痕迹，不写画法） （2）连接．若． ①当点的坐标为时，求反比例函数的解析式． ②连接，当时，求的长． 22. 二次函数的图象经过点． （1）若该函数图象经过点，求此时二次函数的解析式； （2）当时，若二次函数满足随的增大而减小，求的取值范围； （3）线段的两个端点为，．若抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围． 23. 如图，等腰直角三角形中，，，点为上一个动点，连接，以为底边在右侧作等腰直角三角形，连接． （1）如图1，当在上时，线段与线段的数量关系为 　　； （2）如图2，若点为的中点，当点在线段上移动时，线段与线段的数量关系是否变化？请说明理由； （3）在点运动过程中，若，，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年河南省商丘一中中考数学二模试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】解：的相反数是2 2. 木星是太阳系中八大行星之一，且是太阳系中体积最大、自转最快的行星，它的赤道直径约为14.3万千米，其中14.3万用科学记数法可表示为 （ ） A. 1.43×105 B. 1.43×104 C. 1.43×103 D. 14.3×104 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】14.3万用科学记数法表示为1.43×105． 故选：A． 【点睛】考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 如图是由10个相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查简单几何体的三视图．根据三视图的画法，确定从正面看时每列正方形的个数，即可正确解答． 【详解】从正面看易得第一列有3个正方形，第二列最下面一层有1个正方形，第三列有2个正方形，所以该几何体的主视图为选项A所示图形． 故选A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法运算和乘法运算，幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键． 依次利用二次根式的加法，幂的乘方，同底数幂的乘法，二次根式的乘法运算进行化简即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 5. 如图所示，将一个含有角的三角板的直角顶点放在直线上，已知，若，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知直角三角板得∠4=90°，然后由∠1+∠3+∠4=180°，即可求出∠3=55°，再由直线a∥b，根据平行线的性质，得出∠2=∠3=55°． 【详解】∵∠4=90°，∠1+∠3+∠4=180°， ∴∠3=180°-35°-90°=55°， ∵直线a∥b， ∴∠2=∠3=55° 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线性质的应用，关键是运用平行线性质：两直线平行，同位角相等． 6. 某次数学测试中，某校八年级1200名学生成绩均在70分以上 分数x 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 人数/人 400 600 200 平均分/分 78.1 85 91.9 请根据表格中的信息，计算这1200名学生的平均分为（　　） A. 92.16 B. 85.23 C. 84.73 D. 83.85 【答案】D 【解析】 【分析】求出这1200名学生的总分，再除以总人数即可得． 【详解】解：这1200名学生的平均分为＝83.85（分）， 故选D． 【点睛】此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式． 7. 《九章算术》中记载了一个问题，大意为：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．若设共有x人，该物品售价为y元，则根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等量关系：人数物品价值；人数物品价值，列出方程组即可找出两个等量关系，再据此列出方程． 【详解】∵设共有人，该物品售价为元，每人出8元时，总出的钱比物品售价多3元，即总出的钱减去多出来的3元等于物品售价， ∴， 又∵每人出7元时，总出的钱比物品售价少4元，即总出的钱加上少的4元等于物品售价， ∴， 因此可得方程组． 8. 一个不透明的袋子中装有2个红球、2个蓝球，小球除颜色外其他均相同，若同时从袋子中任取两个小球，则摸到的两个小球中，至少有一个小球为蓝色的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列举出所有可能出现的情况，让摸到至少有一个小球为蓝色的情况数除以情况总数即可解答． 【详解】解：如图所示： 共有12种可能，至少有一个小球为蓝色的有10种结果， ∴摸到的两个小球中，至少有一个小球为蓝色的概率为， 故选D． 【点睛】本题主要考查用列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝． 9. 如图，在正方形中，M，N分别为，上一点，且，连接，，交于点P，Q，R分别为，的中点，连接，，若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质以及全等三角形的判定和性质可得，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可求出，，再根据勾股定理求出BN，进而求出，再求出，由相似三角形的判定和性质进行计算即可． 【详解】解：在正方形中 ，， 又， ， ， ， ， 即， Q，R分别为，的中点，，， ，， 在中，，， ， ， 在中， ， ，， ， ， 即， ， 故选：B． 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提． 10. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边在直线上，点，将进行如下操作：①绕点顺时针旋转，使落在直线上，记作第1次运动；②绕点顺时针旋转，使落在直线上，记作第2次运动；③绕点顺时针旋转，使落在直线上，记作第3次运动，，当第9次运动后，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出点，确定，第2次运动后，记点O的对应点为，如图所示，作轴，交y轴于点E，利用相似三角形的判定和性质得出，，确定点的横坐标为，纵坐标为，据此规律即可求解． 【详解】解：的斜边在直线上，点， ∴， 解得， 点， ， ， 第2次运动后，记点O的对应点为，如图所示，作轴，交y轴于点E， ∴，， ∴， ∴，即 ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为； 同理第6次运动后，运动后点的横坐标为，纵坐标为； 当第9次运动后，运动后点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂的运算法则和算术平方根的定义．根据零指数幂的运算法则和算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 如图，四边形与四边形位似，点为位似中心．已知，则四边形与四边形的面积比为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用位似图形及相似三角形的性质即可解题． 【详解】， ． ∵四边形与四边形位似， ， ， ， ∴四边形与四边形的面积比为， 故答案为：1：9． 【点睛】本题主要考查相似三角形及位似图形的性质，掌握相似三角形和位似图形的性质是关键． 13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意可知该一元二次方程根的判别式，即，解出m即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴其根的判别式， 即， 解得：． 故答案为：5． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式△=0时，方程有两个相等的实数根． 14. 如图，在中，， ，，则图中阴影部分的面积为 _________________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，通过和差法将两部分阴影图形转化为一个整体弓形，进而求弓形面积即可． 【详解】解：连接、、，设交于点M，交于点N， ， 是的直径， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 在与中， ， ， ，即 ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，阴影部分面积的求法，熟练掌握割补法是解决此类题目的关键． 15. 如图，在矩形中，，，点为的中点，动点在矩形内部，连接，，且，点为上一个动点，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】作的外接圆，连接、、，延长到点F，使得，连接，，在优弧上取一点H，连接，，证明是等边三角形，求得圆的半径，过O作于G，连接，求得，证明O、G、E三点共线，由勾股定理求得，根据知，当O、M、N、F四点共线时，取最小值为，进而求得的最小值． 【详解】解：作的外接圆，连接、、，延长到点，使得，连接，，在优弧上取一点，连接，，如图， 则，， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， 过作于，连接， ， 四边形是矩形， ，， 是的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，， ， 、、三点共线， ， ， ， ， ， 当、、、四点共线时，取最小值为， 的最小值为． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 按要求解答 （1）解不等式组：； （2）先化简，后求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：； 【小问2详解】 解： ， 当时， 原式 17. 2021年7月20至22日，河南省郑州市遭遇极端特大暴雨，地铁线路被淹停运，人民群众生命财产受到严重损害．为了普及安全知识，增强安全意识，某中学组织全校学生参加安全知识竞赛活动，初中三个年级根据初赛成绩分别选出10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩（满分100分）如表所示： 年级 决赛成绩（单位：分） 初一 80 86 88 80 88 99 80 74 91 89 初二 85 85 87 97 85 76 88 77 87 88 初三 82 80 78 78 81 96 97 88 89 86 （1）补全表格． 年级 平均数 众数 中位数 初一 　　 87 初二 85 　　 初三 　　 78 84 （2）将平均数和众数相结合来看，成绩较好的年级是 　　，将平均数和中位数相结合来看，成绩较好的年级是 　　． （3）如果从每个年级参加决赛的10名选手中各选3人参加总决赛，那么你认为哪个年级夺冠的可能性大一些？请说明理由． 【答案】（1）填表如下： 年级 平均数 众数 中位数 初一 80 87 初二 85 86 初三 78 84 （2）初二，初一 （3）初三夺冠的可能性更大一些．理由如下：初一，初二，初三年级前3名学生决赛成绩的平均分分别为： ， ， ， 从各年级参加决赛的选手中分别选出成绩优秀的3人参加总决赛，初三夺冠的可能性更大一些 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数及平均数的计算方法求解即可； （2）根据题意直接求解即可； （3）分别求出初一，初二，初三年级前3名学生决赛成绩的平均分，进行比较即可． 【小问1详解】 解：初一成绩出现次数最多的是80，故众数为80， 将初二成绩从小到大排列为：76，77，85，85，85，87，87，88，88，97， 故中位数为； 初三的平均分为：； 填表略； 【小问2详解】 从平均数和众数相结合看，成绩较好的年级是初二， 从平均数和中位数相结合看，成绩较好的年级是初一； 【小问3详解】 略 18. 随着科技的进步，无人机在测量方面得以广泛应用，某数学兴趣小组同学为了测量学校实验大楼AB的高度，用无人机在C处测得大楼底端B的俯角为42°，大楼顶端A的仰角为30°，大楼底端与无人机的距离BC为15M（点A、B、C在同一平面内），则大楼AB的高度是多少？（参考数据：） 【答案】大楼AB的高度约为16.45m. 【解析】 【分析】在Rt△BCD中，根据余弦和正弦的定义，求出DC，BD的值．在Rt△BCD中，根据正切的定义，求出AD的值，最后根据AB=AD+BD，即可求出答案． 【详解】在中，∵，， 在中，， (m)， (m)． 答：大楼AB的高度约为16.45m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 19. 周末，小明去图书馆看书，爸爸回家后发现未带钥匙，于是打电话让小明回家，同时，爸爸骑车沿同一路线去接小明，小明见到爸爸后继续以原速度步行回家，爸爸拿到钥匙后立即以原速度返回．已知两人和家的距离（米）与各自所用的时间（分钟）之间的关系如图所示． （1）家和图书馆的距离为 　　米，　　； （2）求出点的坐标，并写出点所表达的实际意义； （3）求出爸爸离家的路程关于时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （4）爸爸到家时，小明离家还有多远？ 【答案】（1）3000，24 （2），点所表达的实际意义是出发12分钟时，小明和爸爸在离家1800米处相遇 （3） （4）爸爸到家时，小明离家还有600米 【解析】 【分析】（1）根据图象直接求解即可； （2）先求出小明的速度，然后结合图象得出，即可确定点的坐标，再写出表示的实际意义即可； （3）根据题意得出爸爸的速度是（米分钟），然后分两段时间写出函数关系式即可； （4）根据题意直接计算即可． 【小问1详解】 解：由图象可知：家和图书馆的距离为3000米，， 【小问2详解】 小明的速度为：（米分钟）， ， 点的坐标为， 点所表达的实际意义是出发12分钟时，小明和爸爸在离家1800米处相遇； 【小问3详解】 ， 爸爸的速度是（米分钟）， 当时，， 当时，， ； 【小问4详解】 爸爸到家时，小明离家还有（米， 答：爸爸到家时，小明离家还有600米． 20. 如图，内接于，， 点D为上一点， 连接交于点M， 过点B作的切线交射线于点N， 当 时： （1）求证∶； （2）若，， 求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由三角形内角和定理得到，再由切线的性质得到，即可证明，由圆周角定理得到，则，再由等腰三角形的性质得到，即可证明； （2）先求出，，再证明，得到，即，据此即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵， ， ∵是的切线， ， ， ， ∵， ， ∵， ， ； 【小问2详解】 解：∵， ，， ∵， ， ， ， ， ∵，， ，， ∵，， ， ，即， ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 21. 如图，线段轴于点，，反比例函数交于点．的垂直平分线交反比例函数图象于点． （1）在图中用直尺和圆规作出点．（保留作图痕迹，不写画法） （2）连接．若． ①当点的坐标为时，求反比例函数的解析式． ②连接，当时，求的长． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求． （2）①；② 【解析】 【分析】对于（1），分别以点A，B为圆心，以大于为半径画弧，交于两点，过两点作直线，交反比例函数于一点，即为所求作； 对于（2）①，先根据线段垂直平分线的性质得，再根据勾股定理求出，可知，根据矩形的性质求出点，进而得出答案； ②先求出，进而表示出点，点，可得关于a的方程，求出解，可得，最后根据得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，设线段的垂直平分线交于点． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵点的坐标为， ∴． 如图，过点作轴，于点，连接．则四边形是矩形． ∴， ∴， ∴， ∴． ∴反比例函数的解析式为． ②∵， ∴． 设点，则点． ∵点在的图象上， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，求反比例函数关系式，矩形的性质，勾股定理等，理解反比例函数图像上的点即满足反比例函数关系式是解题的关键． 22. 二次函数的图象经过点． （1）若该函数图象经过点，求此时二次函数的解析式； （2）当时，若二次函数满足随的增大而减小，求的取值范围； （3）线段的两个端点为，．若抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求解即可； （2）根据题意得出函数的对称轴为，然后分两种情况分析：当时，，当时，，求解不等式即可； （3）根据题意得出抛物线经过点和两点，分三种情况分析：时，时，③当抛物线的顶点在线段上时，画出相应函数图象，然后结合图象及二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ， ， 将点代入，得， ， 二次函数的解析式为． 【小问2详解】 由（1）得，函数的解析式为， 函数的对称轴为， 当时，若二次函数满足随的增大而减小， 当时，， 当时，， 解得：或， 的取值范围为或； 【小问3详解】 解：当时，，当时，， 即抛物线过， ①如图1，当时，，若抛物线与线段只有一个交点，则必有， ， ； ②当时，， 若抛物线顶点在线段下方，则抛物线与线段无交点，不合题意； 若抛物线顶点在线段上方，则抛物线与线段有两个交点，不合题意； 若抛物线的顶点恰在线段上时，则顶点的纵坐标， 由（2）得函数的对称轴为， ∴， ∵， ， ∴， 解得：（舍去）或； 综上，抛物线与线段只有一个公共点时，的取值范围是或． 23. 如图，等腰直角三角形中，，，点为上一个动点，连接，以为底边在右侧作等腰直角三角形，连接． （1）如图1，当在上时，线段与线段的数量关系为 　　； （2）如图2，若点为的中点，当点在线段上移动时，线段与线段的数量关系是否变化？请说明理由； （3）在点运动过程中，若，，直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）不变，理由如下， 如图，连接、， 和是等腰三角形，点是的中点， ，，，，是等腰直角三角形， ，， ，即， ， ， ， ， 又，， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，，再由平行线的判定和性质得出，确定是等腰直角三角形，即可得出结果； （2）连接、，根据等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定和性质得出，，再利用全等三角形的判定和性质即可证明； （3）分两种情况分析：当点在点右侧时，当点在点左侧时，作出相应辅助线，结合图形，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形， ，， ， ∴， ， 是等腰直角三角形， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①如图1，当点在点右侧时， 点是的中点，是等腰直角三角形， ，， ，， ，， ， ∵， ， ； ②如图2，当点在点左侧时，同理得：； 的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $