精品解析：辽宁鞍山市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

2025—2026学年度高一下学期期末考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z，再根据共轭复数的概念即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：A 2. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的半径为，母线长，根据已知条件求出、的值，可求得该圆锥的高，利用锥体的体积公式可求得结果. 【详解】设圆锥的半径为，母线长，因为侧面展开图是一个半圆，则，即， 则，可得，，利用勾股定理求得圆锥的高为， 所以圆锥的体积为. 故选：A. 3. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为异面直线，，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理判断A，根据线面垂直的性质判断B，当时即可判断C，根据异面直线的定义及线面平行的性质定理判断D. 【详解】对于A：若，，根据线面平行的判定定理可知，故A正确； 对于B：若，则，故B正确； 对于C：当时，，由面面垂直的性质定理可得， 当时，，则或或与相交，故C错误； 对于D：因为，，所以存在使得，又，，所以， 又且为异面直线，所以平面内的两直线、必相交， 所以，故D正确. 故选：C 4. 斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（ ） A. 56 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正四棱台的侧面积求出斜高，再求正四棱台的高，根据四棱台的体积公式求解. 【详解】由为四棱台的斜高. 设四棱台的高为，则， 所以四棱台的体积为：. 故选：C 5. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形的内角和可求出，再由余弦定理结合题意化简即可得出答案. 【详解】因为，而，所以， 则， 得． 根据余弦定理可得，故． 故选：B. 6. 所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用小三棱锥和大三棱锥的比例求解即可. 【详解】 如图，根据题意可得所得棱台为正三棱台， 该棱台的高等于大正三棱锥的高的. 设大正三棱锥的高为DH，则： 因为大正三棱锥的高为:， 所以该棱台的高为. 故选：A 7. 在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中，，则该“刍童”外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据刍童的几何性可知外接球的球心在四棱台上下底面中心连线上，设球心为O，根据几何关系求出外接球半径即可求其表面积． 【详解】 如图，连接AC、BD、、，设AC∩BD＝M，∩＝N，连接MN． ∵棱台侧棱相等，∴易知其外接球球心在线段MN所在直线上，设外接球球心为O， 如图当球心在线段MN延长线上时， 易得，MC＝2，，， MN＝1， 由得，，即 ， 故OC＝， ∴外接球表面积为． 如图当球心在线段MN上时， 由得，，即 舍去， 故选：A 【点睛】关键点睛：利用刍童的几何性确定外接球的球心是解题的关键. 8. “近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建.今天我们所看到的超然楼是2008年重建而成的，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景.如图，为测量超然楼的高度，选择C和一个楼房DE的楼顶为观测点，已知在水平地面上，超然楼和楼房都垂直于地面.已知，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则超然楼的高度（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过作，得到，在中，由正弦定理得到，进而求得的长. 【详解】过作，交于点， 因为在点处测得点的仰角为，可得为等腰直角三角形，所以， 因为，所以， 在中，由正弦定理得， 又由， 所以， 则. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的共轭复数为 B. 若为纯虚数，则 C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念即可判断A；根据纯虚数的概念即可判断B；举反例即可判断C；根据复数的乘法运算和复数模的概念即可判断D. 【详解】对A，根据共轭复数的概念知的共轭复数为，故A正确； 对B，若为纯虚数，则，解得，故B正确； 对C，举例，满足，但，故C错误； 对D，设，，其中， 则， 则， ，所以. 故选：ABD. 10. 的内角的对边分别为，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，是等腰三角形 D. 当时，是等腰三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】由三角形大角对大边，结合正弦定理可知A正确；根据余弦函数在上的单调性可知B正确；由正弦值相等可知或，由此可知是等腰或直角三角形，知C错误；利用正弦定理边化角和两角和差正弦公式可求得，由此可得，知D正确. 【详解】对于A，当时，，由正弦定理可知：，A正确； 对于B，，在上单调递减，当时，，B正确； 对于C，当时，或，或， 是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，由正弦定理得：，， ，，，即， 是等腰三角形，D正确. 故选：ABD. 11. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面ABCD，，点E是棱PB的中点，过A，D，E三点的平面与平面PBC的交线为l，则（ ） A. 直线l与平面PAD有一个交点 B. C. 直线PA与l所成角的余弦值为 D. 平面截四棱锥所得的上下两个几何体的体积之比为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据所给图像，作中点，连接，则为交线l，然后根据线面平行的基本定理可判断A；结和线面垂直的判定及性质可判断B；结合异面直线所成角的定义可判断C；结和棱锥的体积公式可判断D. 【详解】如图，取棱PC的中点F，连接EF，DF， 因为E是棱PB的中点，则，即A，D，E，F四点共面，则l为直线EF， 又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD，即平面PAD，故A错误； 由底面ABCD，平面ABCD，所以， 由，可得为等腰直角三角形， 而斜边PC的中点为F，所以， 再由底面ABCD是正方形，易得， 又，且平面PDC，所以平面PDC， 又平面PDC，所以， 又，且平面ADFE，所以平面ADFE， 又平面ADFE，所以，故B正确； 由，则直线PA与l所成的角，即PA与AD所成的角， 由，则， 即PA与AD所成的角的余弦值为，故C错误； ，， 所以， 所以，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，直角梯形满足，，，它是水平放置的平面图形的直观图，则该平面图形的周长是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据直观图还原平面图形，根据长度关系和角度关系计算周长． 【详解】 如图所示，为还原的平面图形，其中， 在直观图中，，，， 故，则， 则在中，，则 在中，，，则； 故周长为． 13. 在中，，，，是边上一点，是的角平分线，则的长为__________ 【答案】## 【解析】 【分析】利用角平分线性质得两个小三角形的顶角均为60°，通过等面积法，即的面积等于与的面积之和，列式计算的长度. 【详解】 因为为的角平分线，且，所以， 根据三角形面积的关系可得：  ， 左边； 右边， 代入数值化简得：  ， 联立左右两边等式：  ， 解得 14. 如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】由条件可求4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径，结合球的截面性质可求球心到截面圆的距离，进一步加上垂直折起的4个小直角三角形的高以及鸡蛋（球）的半径即可得解. 【详解】由已知蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以蛋巢过原正方形的四个顶点的平面截鸡蛋（球）所得的截面圆的直径为1， 且蛋巢的高度为，又球的半径为1，所以球心到截面的距离为, 故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查球的截面性质的实际应用，属于较难题. 解题的思路在于充分理解题意，弄清鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离包括三部分，①垂直折起的4个小直角三角形的高；②球心到截面圆的距离；③球心到鸡蛋最高点之间的半径.而蛋巢过原正方形的四个顶点的平面截鸡蛋（球）所得的截面圆的直径即蛋巢底面正方形的边长,利用球的截面圆性质即可求得球心到截面距离. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（立体几何题用空间向量做一律不给分） 15. 在直三棱柱中，，，，M为中点，． （1）证明：平面； （2）求四面体的体积． 【答案】（1）证明：在直三棱柱中，连接交于点O，连接， 由为矩形，得O为中点，又M为中点，则， 而平面平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点O，利用线面平行的判定定理推理得证. （2）求出点到平面的距离，再利用锥体体积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内过点作于，由平面，得， 而平面，则平面， 在中，，，则， ，由M为中点，得点到平面的距离， 又，所以四面体的体积为. 16. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，． （1）求A； （2）若，求中线的长； （3）若的内切圆半径，求的面积S. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦边角关系及三角恒等变换化简条件得，即可得； （2）由余弦定理得，结合列方程求； （3）应用等面积法、余弦定理得到，从而求出，即可求. 【小问1详解】 由，可得. ， ，又，则， ，又， 【小问2详解】 在中， ，则， 在中，有，即， 在中，有，即， 又，则， 得 ，解得，得； 【小问3详解】 由， ，即， 由余弦定理得，得， ，即，解得 或（舍）， 所以. 17. 如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. （1）求圆柱的表面积； （2）证明：平面平面； （3）若是的中点，点在线段上，求的最小值. 【答案】（1） （2） 由题意知平面，又平面， 所以， 而平面， 所以平面， 又平面， 故平面平面； （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆柱表面积公式即可求解； （2）根据，，得平面，再由面面垂直的判定定理即可证明； （3）如图，确定当三点共线时取得最小值，求出，结合余弦定理计算即可求解. 【小问1详解】 圆柱的底面半径，圆柱的侧面积， 圆柱的底面积为，所以表面积. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 将绕着旋转到使其与平面共面，且在的反向延长线上. 当三点共线时取得最小值，为， ， ， 所以在三角形中，由余弦定理可得：， 所以的最小值等于. 18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足 （1）设，，过B作BD垂直AC于点D，点E为线段BD的中点，求的值； （2）若为锐角三角形，，求面积的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理求出，进而由余弦定理求出，利用三角形面积公式得，利用平面向量基本定理及数量积运算法则得到答案； （2）由正弦定理得到，利用锐角三角形，求得，进而求出，由面积公式求得. 【小问1详解】 ，由正弦定理得： ， 所以， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以， 因为，，由余弦定理得：， 因为，所以， 其中， 所以， 因为点E为线段BD的中点，所以， 由题意得：， 所以. 【小问2详解】 由（1）知：，又， 由正弦定理得：， 所以， 因为为锐角三角形，所以，解得：， 则，，， 故， 面积为 故面积的取值范围是. 19. 如图，平面四边形中，点是线段上一点，，且，，，沿着将三角形折叠得到四棱锥，折叠后． （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的正切值； （3）若，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，证明：当球的半径最小时，点在平面内． 【答案】（1） 在四边形中，因为，所以折叠后有，． 又，平面，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2） （3） 由（1）知平面平面， 设和的外心分别和， 因为、、、均在以为球心的球面上， 则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点， 过点作于，连接， 设，显然四边形为矩形， 所以． 在中，设（）， 由及余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径． 在中，，，， 由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径． 所以， 即， 所以，故当时，球的半径最小， 此时点与点重合，所以点在平面内． 【解析】 【分析】（1）由图翻折可知，，再利用面面垂直的判定证明即可； （2）过点作交于，通过证明平面，得到为二面角的平面角，再求正切值即可； （3）设和的外心分别和，则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点，过点作于，连接，可知四边形为矩形，设，通过计算可得外接球半径，当时，球的半径最小，此时点与点重合即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，又，故， 过点作交于，则，连接，， 因为平面平面，面面，平面， 且，所以平面． 因为平面，所以，同理， 因为，，，所以由余弦定理得， 所以， 因为，平面，平面，所以平面． 因为平面，所以，所以为二面角的平面角． 所以在中，， 所以平面与平面夹角的正切值为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度高一下学期期末考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为异面直线，，，，则 4. 斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（ ） A. 56 B. C. D. 5. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 6. 所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（ ） A. B. C. D. 7. 在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中，，则该“刍童”外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. “近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建.今天我们所看到的超然楼是2008年重建而成的，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景.如图，为测量超然楼的高度，选择C和一个楼房DE的楼顶为观测点，已知在水平地面上，超然楼和楼房都垂直于地面.已知，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则超然楼的高度（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的共轭复数为 B. 若为纯虚数，则 C. 若，则 D. 10. 的内角的对边分别为，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，是等腰三角形 D. 当时，是等腰三角形 11. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面ABCD，，点E是棱PB的中点，过A，D，E三点的平面与平面PBC的交线为l，则（ ） A. 直线l与平面PAD有一个交点 B. C. 直线PA与l所成角的余弦值为 D. 平面截四棱锥所得的上下两个几何体的体积之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，直角梯形满足，，，它是水平放置的平面图形的直观图，则该平面图形的周长是__________． 13. 在中，，，，是边上一点，是的角平分线，则的长为__________ 14. 如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为______ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（立体几何题用空间向量做一律不给分） 15. 在直三棱柱中，，，，M为中点，． （1）证明：平面； （2）求四面体的体积． 16. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，． （1）求A； （2）若，求中线的长； （3）若的内切圆半径，求的面积S. 17. 如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. （1）求圆柱的表面积； （2）证明：平面平面； （3）若是的中点，点在线段上，求的最小值. 18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足 （1）设，，过B作BD垂直AC于点D，点E为线段BD的中点，求的值； （2）若为锐角三角形，，求面积的取值范围． 19. 如图，平面四边形中，点是线段上一点，，且，，，沿着将三角形折叠得到四棱锥，折叠后． （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的正切值； （3）若，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，证明：当球的半径最小时，点在平面内． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $