精品解析：辽宁省鞍山市台安县高级中学等校2024-2025学年高一下学期7月联合考试数学试题

2024~2025学年度下学期高一年级7月份联合考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教B版必修第一册，必修第二册，必修第三册，必修第四册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用集合的交运算求结果即可. 【详解】因为集合，，所以． 故选：B 2. 已知，，是虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数乘法的运算法则及复数相等的概念，可求得，的值，再根据复数模长公式即可求解. 【详解】∵，∴，∴，∴， ∴. 故选：B. 3. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线定理求解即可. 【详解】由，知，解得. 故选：D. 4. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直观图画出原图象，计算即可. 【详解】由直观图画出原图象，如图所示： 由直观图可知，， 所以，所以的周长为. 故选：B. 5. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式确定图象平移过程即可. 【详解】由，只需将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象． 故选：C 6. 已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设相应事件，，根据题意结合互斥事件以及独立事件可得，结合事件的运算求解即可. 【详解】设A表示“甲独立攻克该难题”，B表示“乙独立攻克该难题”， 则，设， 由题意可得，即， 可得，解得， 所以该难题被攻克的概率． 故选：B． 7. 在平行四边形中，，点满足，点是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用、作为基底表示出、，再由数量积的运算律及定义计算可得. 【详解】因为且点是的中点， 所以， 又， 所以 . 故选：B 8. 已知函数，，若有两个零点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于AB，由结合余弦函数的性质求出，进行分析判断，对于C，通过分析和的正负进行判断，对于D，结合三角函数恒等变换公式直接计算进行判断. 【详解】令，得，故或， 所以，或，， 解得 ①，或②，， 因，由①可得：当或时，可得，； 由② ，因，方程无解. 综上可知，A、B错误； 因为，，所以，故C错误； 又，故D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数据，，，，，的平均数为，方差为，60%分位数为，极差为，由这组数据得到新数据，，，，，，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 新数据的平均数是 B. 新数据的方差是 C. 新数据的60%分位数是 D. 新数据的极差是 【答案】AC 【解析】 【分析】由平均数、方差、极差、百分位数的概念逐个判断即可； 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以，故B错误； 不妨设，所以，又，所以数据，，，，，的60%分位数为， 新数据，，，，，的60%分位数为，故C正确； 不妨设，所以，所以数据，，，，，的极差， 新数据，，，，，的极差为，故D错误. 故选：AC. 10. 已知，是两个正实数，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AB，由基本不等式即可判断；对于C，举反例即可推翻；对于D，由乘“1”法结合基本不等式即可判断. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，当，时，，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，取，得，故C错误； 对于D，当时，， 当且仅当，即，时取等号，故D正确． 故选：BD． 11. 如图，在棱长为1的正方体中，、分别是、的中点，下列结论正确的是（ ） A. EF与垂直 B. 平面ABCD C. 异面直线与所成的角为 D. 点到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据，但AC与不垂直，即可判断A，根据线面平行的判定即可求解B，根据线线平行可得就是异面直线与所成的角或其补角，利用三角形的边角关系即可求解C，根据线面平行，结合等体积法即可求解D. 【详解】对A：连接，，则交于， 又为中点，可得，即，但AC与不垂直，故A错误； 对B：由，平面，平面，故平面；故B正确. 对C：由于，故就是异面直线与所成的角或其补角， 由正方体可知，即为等边三角形， 故，即异面直线与所成的角为，故C正确； 对D：由于，平面，平面，故平面， 所以点E到平面的距离等于点A到平面的距离，设为d， 由体积法可知，，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数是纯虚数，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义求参数值即可. 【详解】由题意知，解得. 故答案为：2 13. 已知角的终边上有一点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义结合三角变换公式可求的值. 【详解】由三角函数的定义，知，所以， ． 故答案为： 14. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则__________，的最小值为__________． 【答案】 ①. 3 ②. ## 【解析】 【分析】第一空，利用余弦定理角化边，再化简计算即得；第二空，利用余弦定理将用表示，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】在中，由及余弦定理，得 ，因此； ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：3； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求的值； （2）求函数的最小正周期及单调递增区间. 【答案】（1） （2），单调递增区间为， 【解析】 【分析】（1）由已知得，利用同角三角函数的关系对化简变形，然后将代入计算即可； （2）将函数化简变形为，利用周期公式可求出其最小正周期，由可求出函数的增区间. 【小问1详解】 因为，所以， 所以 . 【小问2详解】 因为 ， 所以. 由，，得，. 所以的单调递增区间为， 16. 袋子中有6个大小质地完全相同的小球，其中红球有2个，编号分别为1，2；白球有4个，编号分别为3，4，5，6，不放回地随机摸出两个球． （1）求摸出的两个球中有红球的概率； （2）记事件M为“摸出的两个球全是白球”，N为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，判断事件M，N是否相互独立． 【答案】（1） （2）事件M，N不相互独立. 【解析】 【分析】（1）运用列举法，结合古典概型的知识来计算概率； （2）结合分类原理，计算概率，然后通过判断事件的概率关系来确定是否相互独立. 【小问1详解】 从6个球中不放回地随机摸出两个球，总共有种情况. 假设摸出的两个球中没有红球，则列举出所有组合情况， 即，共6种. 则摸出的两个球全是白球概率为：.所以摸出的两个球中有红球的概率为. 【小问2详解】 由（1），事件M的概率为， 事件N为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，有两类情况：两球均为奇数或两球均为偶数. 两球均为奇数的情况有，3种；两球均为偶数的情况有, 3种； 共6种，则； 即摸出的两个球全是白球且编号之和为偶数，有,共2种，则概率为. 因为不成立，所以事件M，N不相互独立. 17. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且. （1）求C； （2）若的面积为求c. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理以及正弦定理，整理化简等式，根据和角公式，可得答案； （2）利用面积公式建立方程组，结合余弦定理，可得答案. 【小问1详解】 由余弦定理，得 所以 由正弦定理得 即，所以. 又，所以，所以. 因为，所以，所以. 又，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，所以，即. 联立方程，解得或（舍）. 由余弦定理，得. 18. 已知函数（，）的图象经过点，. （1）求的解析式； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）求关于的不等式的解集. 【答案】（1） （2） 因为，， 所以曲线关于点对称，故曲线是中心对称图形. （3） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入解析式计算，即可得到结果； （2）根据题意，通过计算即可证明； （3）结合的单调性及对称性将不等式化简，再讨论的区间位置得到结果. 【小问1详解】 由题意可知，， 解得，或，， 因为，，所以，， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）可知，， 易知函数在上单调递增，且，所以在上单调递减. 由（2）可知，， 由，得， 即， 根据在上单调递减，得， 整理得，，即. 当时，解得； 当时，无解； 当时，解得. 综上可知， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，E为AC的中点，，且. （1）证明：平面ABC； （2）求二面角的余弦值； （3）若F为线段DB上的动点，当的面积最小时，求CF与平面ABD所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为为中点，是等边三角形，所以, 又,,平面, 所以平面,则，已知,则 又,,在等边中，，所以， 由勾股定理逆定理，所以，因为,平面, 所以平面 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由是等边三角形得出，再由线面垂直的判定定理可得平面，从而得到，再由勾股定理逆定理可得，最后由线面垂直的判定定理即可证明 （2）过点作,垂足为,连接,利用垂直关系构造二面角的平面角，即可求解； （3）首先根据几何关系，确定平面⊥平面，并说明（或其补角）是是 与平面所成的角，根据余弦定理求角 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作,垂足为,连接, 由(1)知平面,平面，所以, 因为, , 平面,所以平面, 平面,所以, 所以为二面角的平面角. 因为, ,所以, , 所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 连接，由（1）知平面,平面，所以， 所以，所以当的面积最小时，最小， 在 中，若最小，则， 此时， ， 因为，，，所以 平面， 又平面，所以平面平面， 过点作，垂足为， 因为平面平面，所以平面， 所以（或其补角）是与平面所成的角。 在中，由余弦定理可得 ， 所以，即与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度下学期高一年级7月份联合考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教B版必修第一册，必修第二册，必修第三册，必修第四册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，是虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 6. 已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在平行四边形中，，点满足，点是的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若有两个零点，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数据，，，，，的平均数为，方差为，60%分位数为，极差为，由这组数据得到新数据，，，，，，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 新数据的平均数是 B. 新数据的方差是 C. 新数据的60%分位数是 D. 新数据的极差是 10. 已知，是两个正实数，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 当时， 11. 如图，在棱长为1的正方体中，、分别是、的中点，下列结论正确的是（ ） A. EF与垂直 B. 平面ABCD C. 异面直线与所成的角为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数是纯虚数，则_____． 13. 已知角的终边上有一点，则______． 14. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则__________，的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求的值； （2）求函数的最小正周期及单调递增区间. 16. 袋子中有6个大小质地完全相同的小球，其中红球有2个，编号分别为1，2；白球有4个，编号分别为3，4，5，6，不放回地随机摸出两个球． （1）求摸出的两个球中有红球的概率； （2）记事件M为“摸出的两个球全是白球”，N为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，判断事件M，N是否相互独立． 17. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且. （1）求C； （2）若的面积为求c. 18. 已知函数（，）的图象经过点，. （1）求的解析式； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）求关于的不等式的解集. 19. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，E为AC的中点，，且. （1）证明：平面ABC； （2）求二面角的余弦值； （3）若F为线段DB上的动点，当的面积最小时，求CF与平面ABD所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $