精品解析：2026年河南三门峡市卢氏县第七教研区中考考前模拟数学试题

2026年中考学科第三次调研 数学 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“负数小于0，0小于正数，两个负数比较，绝对值更大的数更小”的规则即可求解． 【详解】解：∵正数大于，负数小于，是正数，因此且比大， ∵，， ∴， ∴， ∴四个数的大小关系为 ， ∴最小的数是． 2. 某大学生科研团队研发的芯片规格是长，宽．已知，用科学记数法表示该芯片的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题先将芯片的长和宽转换单位为，再根据长方形面积公式计算面积，最后将结果整理为符合要求的科学记数法即可． 【详解】解：∵ ∴芯片长为，宽为 ∴芯片面积． 3. 如图所示的是某博物馆收藏的石鼓，下面关于石鼓的三视图的描述，正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的定义，分别确定该几何体的主视图、左视图和俯视图的形状，然后进行比较即可． 【详解】解：该石鼓形状近似圆柱， ∴其主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是圆， ∴石鼓的主视图和左视图相同． 4. 光从空气射入水中，光线的传播方向发生改变，这就是折射现象．如图，矩形为盛满水的水槽，为入射光线，为折射光线．若，，，，三点在同一条直线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，结合题意得出，再根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解： ∴ ∵， ∴ ∴ 5. 某车间有80名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片300片或镜架60个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找出题目中的两个等量关系，一个是工人总人数，另一个是配套关系下镜片和镜架的数量关系，据此列出方程组即可． 【详解】解：设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架， ∵车间总共有名工人， ∴， ∵两个镜片和一个镜架配套，因此镜片总数量应为镜架总数量的倍，生产镜片总数量为，生产镜架总数量为， ∴， ∴可得方程组． 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解： ． 7. 从，3，6这三个数中任取两个数作为点N的坐标，则点N在第二象限的概率是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查画树状图或列表求概率，平面直角坐标系中各象限内的点的符号特点． 先通过画树状图或列表得到点N的坐标的所有可能的情况，从中找出在第二象限内的点，根据概率公式计算即可． 【详解】解：列表为： 3 6 3 6 由表格可知，点N的坐标共有6种等可能情况，其中在第二象限的是，共2种情况，其概率为． 故选：B． 8. 如图，在中，点，分别是，的中点，连接，，．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长，交于点，根据平行四边形的性质结合已知条件证明，得出，，进而可得是等边三角形，根据点是的中点，可得，设，则，根据，可得，进而求得的长，即可求解． 【详解】解：如图，延长，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，． ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴． 又∵，是等边三角形， ∴． ∵点是的中点， ∴． 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选D． 9. 李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据每次转动可知，4次一个循环，分别求出第一次到第四次的点的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：∵绕原点O逆时针转动至，，， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， 即点与点A重合， ∴点A每旋转4次为一个循环， ∵， ∴在转动2026次后，点A在点的位置，此时点A的坐标为． 10. 你有没有这样的疑问：为什么从古塔上抛掷的铁球会加速下落，而不是匀速运动呢？某同学从古塔上抛出一个铁球（如图1），铁球下落的速度随时间变化的函数图象如图2所示，下落的路程随时间变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 和均随的增大而增大 D. 每增加，路程的增加量相同 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数图象逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：由图2可知，当时，，故A正确； 对于选项B：由图3可知，当时，，故B正确； 对于选项C：结合图2和图3可知，和均随的增大而增大，故C正确； 对于选项D：由图3可知，与的关系不是线性的，因此每增加，的增加量都是不同的，故D错误． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 近几年平板价格不断降低，某品牌平板原售价为元，现打八五折，再让利元，那么该平板现在的售价为______元． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先计算打八五折后的价格，再减去让利的元，即可得到该平板现在的售价． 【详解】解：原售价为元，打八五折即按原售价的出售， 故打八五折后的价格为元. 再让利元，即从打折后的价格中减去元， 故现在的售价为元． 12. 解一元二次方程，请你在“”中填入一个整数，使得方程有实数根，则你填入的整数是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，因为方程有实数根，所以，再结合是整数，即可作答． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴， 即， ∵是整数， ∴可以是． 13. 某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如表． 视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 39 41 34 40 46 根据抽样调查结果，估计该市14000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是______． 【答案】8400 【解析】 【分析】求出样本中视力不低于的人数占样本总人数的比例是解题关键，用总体总人数乘该比例即可得到估计结果． 【详解】解：样本中视力不低于的人数为：（人）， ∴， ∴该市14000名初中学生中，视力不低于4.8的人数为． 14. 如图，在菱形中，，点，分别为，边上的点，且扇形分别与，边相切．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作，垂足为点，由菱形性质可知，，，得出为等边三角形，进而求得的长，再根据弧长公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为点． 由菱形性质可知，，， ∴为等边三角形， ∴ ∴， ∴的长为． 15. 如图，矩形的对角线，交于点，点是边的三等分点，连接，点为的中点，连接．若矩形的面积是，，则线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据中位线的性质可得，分两种情况讨论：①当点靠近点时，②当点靠近点时，根据点是边的三等分点，得出或，根据矩形的面积是60，得出或，再在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵矩形的对角线，交于点， ∴点为的中点． 又∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴． 分两种情况讨论． ①当点靠近点时，如图1． ∵点是边的三等分点， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵矩形的面积是60， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理，得． ②当点靠近点时，如图2． ∵点是边的三等分点， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵矩形的面积是60， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理，得． 综上所述，线段的长为或 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、解不等式组： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解： 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴原不等式组的解集为 17. 在数字化时代，技术的应用愈发广泛，而精准理解和执行指令是充分发挥效能的关键．开展指令培训，能帮助大家提升对指令的把控能力，减少操作失误，提高工作与学习效率．以下为针对指令掌握情况的测试题目，得分越高表明对指令的掌握程度越好．某机构针对两组各名员工进行了指令掌握情况的调查，根据调查结果绘制了下面相应不完整的统计图表． 数据分析结果详见下表： 组别 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 1组 2组 请根据以上信息，解答下列问题： （1）1组员工测试成绩的中位数为__________，2组员工测试成绩的平均数为__________； （2）补全1组员工的测试成绩条形统计图； （3）小宇的得分是9分，其分数高于他所在组半数员工的个人得分，则小宇在__________（填“1”或“2”）组； （4）在指令的掌握方面，你认为哪组的员工表现更优异？请说明理由． 【答案】（1）； （2）补全1组员工的测试成绩条形统计图如下． （3）1 （4）2组的员工表现更优异．理由如下： 从数据来看，2组员工得分的平均数为分，高于组的分，说明组员工的平均掌握水平更高；组员工得分的中位数为分，高于组的分，表明2组中高分人数更多，整体水平偏上． 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图中的数据和抽查的员工的总人数求出组得分的人数为人，根据中位数的定义求出组的中位数，根据扇形统计图中的数据求出组每组得分的人数，再根据平均数的计算公式求出组的平均成绩即可； （2）由（1）可知组得分的人数为人，补全条形统计图； （3）因为组的中位数是，组的中位数是，所以小宇的得分超过了组内半数同学，所以小宇是组的； （4）根据平均分，中位数的意义分析，即可求解． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知：组得分的人数为(人)， 组共抽查了名员工，中位数为：， ， 由扇形统计图可知：组得分的有(人)， 得分的有(人)， 得分的有(人)， 得分的有(人)， 得分的有(人)， 组的平均分为(分)， 【小问2详解】 解：组得分的人数为(人)， 补全条形统计图略 【小问3详解】 解：组的中位数是，组的中位数是， 小宇的得分是分，其分数高于他所在组内半数同学的个人得分， 小宇在组； 【小问4详解】 略 18. 如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别向坐标轴作垂线，垂足分别为点，连接，反比例函数（为常数）的图象分别与交于点 （1）求反比例函数的表达式． （2）①求点的坐标； ②如图2，连接，求证：． 【答案】（1）； （2）①；②见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、坐标与图形的性质，熟练掌握反比例函数的点坐标特征及相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据点的坐标及，确定点的坐标；将点坐标代入反比例函数表达式，求出值，即可得到反比例函数的表达式． （2）①根据垂直于轴，确定点的纵坐标与点的纵坐标相同；将该纵坐标代入反比例函数表达式，求出点的横坐标，从而得到点的坐标．②先求出、、、的长度，计算与的比值；结合公共角，证明；根据相似三角形的性质得到，进而证明两直线平行． 【小问1详解】 解：∵点B的坐标为，，轴， ∴点N的坐标为， ∵点N在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 ①解：∵轴，点B的坐标为， ∴点M的纵坐标为4， ∵点M在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴点M的坐标为； ②∵点B的坐标为，点M的坐标为， ∴，， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 某数学小组进行实践活动，下面是测量汝南北城门高度的实践报告： 利用数学知识测量汝南北城门的高度 资料查阅 汝南北城门是河南省汝南县现存的明代古城门遗址，始建于明代，是当地古代城市防御体系的重要组成部分．汝南北城门采用传统砖石砌筑工艺，风格古朴庄重，见证了汝南县的历史发展与变迁，具有重要的历史与文化价值． 模型构建 测量步骤 数学小组成员在处利用测角仪测得北城门顶端的仰角，沿方向移动至点，放置标杆，北城门顶端的影子落在点处，且点在同一条直线上． 说明：，点在同一条直线上，图中所有点在同一平面内． 测量数据 ． 参考数据 ． 测量任务 求出汝南北城门的高度（结果精确到）． 效果反思 查阅资料后，发现测量结果与实际结果稍有差异，请你提出至少一条减少误差的建议． 【答案】测量任务：；效果反思：多次测量取平均值：对 、 等长度和仰角 进行多次测量，取平均值以降低单次测量的偶然误差．（答案不唯一） 【解析】 【分析】测量任务：先通过 得到 与 的比例关系，再利用矩形 的性质得到 ，最后结合 建立方程求解 ； 效果反思：对于误差减少，从测量操作和数据处理两方面提出建议． 【详解】解：测量任务：∵ ， ∴ ∵ ∴ ， ∴， ∵ ，， ∴， ， ∵ ，， ∴ 四边形 是矩形 ∴ ， ∵ ，， ∴， ∵ ，，，， ∴， 解得； 效果反思：多次测量取平均值：对、等长度和仰角进行多次测量，取平均值以降低单次测量的偶然误差．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用以及矩形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质并结合三角函数建立方程是解题的关键；减少误差的核心在于优化测量操作与数据处理方式． 20. 某校园创业社团为参加“校园文创义卖节”，设计了基础款和限定款两种风格的卡通徽章用于义卖．每套基础款卡通徽章的成本比每套限定款卡通徽章的成本低元，采购套基础款卡通徽章与套限定款卡通徽章的总费用为元． （1）求每套基础款和每套限定款卡通徽章的成本价； （2）该社团决定将基础款、限定款卡通徽章的销售单价分别定为元和元．此次义卖计划共售出套卡通徽章，且基础款卡通徽章的销售量不少于限定款卡通徽章的，那么此次义卖的总利润最高是多少元？ 【答案】（1）每套基础款卡通徽章成本为元，每套限定款卡通徽章成本为元； （2）此次义卖的总利润最高是元． 【解析】 【分析】（）设每套基础款卡通徽章的成本为元，则每套限定款卡通徽章的成本为元，根据题意得 ，然后解方程即可； （）设售出基础款卡通徽章套，则售出限定款卡通徽章套，总利润为元，则总利润 ，然后求出，再通过一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设每套基础款卡通徽章的成本为元，则每套限定款卡通徽章的成本为元， 根据题意，得 ， 解得， 则， 答：每套基础款卡通徽章成本为元，每套限定款卡通徽章成本为元； 【小问2详解】 解：设售出基础款卡通徽章套，则售出限定款卡通徽章套，总利润为元，基础款单套利润为（元），限定款单套利润为（元）， ∴总利润 ， 根据题意，基础款销售量不少于限定款的，可得， 解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当取最小值时，取得最大值， 将代入得（元）， 答：此次义卖的总利润最高是元． 21. 如图，是的直径，是的半径，，点为上方圆周上一点，连接，，交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规在射线上取点，使得（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，求证：是的切线． （3）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1） （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，即， ∴． ∵为的半径， ∴是的切线． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意作的垂直平分线交于点； （2）根据得出，根据对顶角相等可得，则，根据，得出，由可得即，即可得证； （3）设，则，由（2）可知，且，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设． ∵， ∴． ∵， ∴， 由（2）可知，且， ∴在中，由勾股定理，得， ∴，解得， ∴的长为． 22. 已知二次函数（为常数，且）． （1）若该二次函数的图象经过点，求该二次函数的顶点坐标； （2）当时，的最大值是，求的值； （3）当时，若点，，在函数图象上，且，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）该二次函数的顶点坐标为 （2）的值为或 （3）的取值范围为 【解析】 【分析】（1）先由待定系数法求解抛物线的表达式，再配方求解顶点坐标； （2）先求出抛物线的对称轴，再分两种情况，根据二次函数的性质求解即可； （3）先求出该二次函数图象的对称轴为直线，可知当时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，由于，且，故点距离对称轴最远，点距离对称轴最近，据此求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得． ∴， ∴该二次函数的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：该二次函数图象的对称轴为直线． ①当时， ∵当时，的最大值是， 又∵ ∴当时，， ∴， ∴； ②当时， ∵当时，的最大值是， ∴当时，， ∴， ∴． 综上所述，的值为或． 【小问3详解】 解：∵， ∴该二次函数图象的对称轴为直线． ∵， ∴当时，随的增大而减小，时，随的增大而增大． ∵，且， ∴点距离对称轴最远，点距离对称轴最近， ∴且， 解得， ∴的取值范围为． 23. 在中，且，点为斜边上不与端点重合的一动点，点为上一动点，连接，作，交于点． （1）【问题发现】：如图1，在中，，且，则__________． （2）【尝试探究】：如图2，在中，，且，请问（1）中的结论还成立吗？请用数学语言表述你的理由． （3）【拓展延伸】：在（2）的条件下，连接，请直接写出面积的最小值与最大值． 【答案】（1）1 （2）不成立．理由如下： 如图2，过点作，，垂足分别为点，． 同理（1）可得四边形是矩形，则． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴，． （3）的面积的最小值为，最大值为 【解析】 【详解】（1）如图1，过点分别作，，垂足分别为点，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵，， ∴，， ∴，均是等腰直角三角形， ∴，． ∵，，， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在与中， ∴（）， ∴， ∴． （2）略 （3）如图3，过点作，，垂足分别为点，，连接，． 由（2）可知，则． ∵， ∴． 当，两点重合，即时，有最小值，此时， ∴的面积的最小值为． ∵，，， ∴，． ∵，， ∴． 在中，由勾股定理，得． ∵，， ∴． 当，两点重合时，有最大值，此时，则， ∴的面积的最大值为． 综上所述，的面积的最小值为，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第三次调研 数学 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 某大学生科研团队研发的芯片规格是长，宽．已知，用科学记数法表示该芯片的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的是某博物馆收藏的石鼓，下面关于石鼓的三视图的描述，正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都相同 4. 光从空气射入水中，光线的传播方向发生改变，这就是折射现象．如图，矩形为盛满水的水槽，为入射光线，为折射光线．若，，，，三点在同一条直线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 某车间有80名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片300片或镜架60个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 从，3，6这三个数中任取两个数作为点N的坐标，则点N在第二象限的概率是（） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点，分别是，的中点，连接，，．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 你有没有这样的疑问：为什么从古塔上抛掷的铁球会加速下落，而不是匀速运动呢？某同学从古塔上抛出一个铁球（如图1），铁球下落的速度随时间变化的函数图象如图2所示，下落的路程随时间变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 和均随的增大而增大 D. 每增加，路程的增加量相同 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 近几年平板价格不断降低，某品牌平板原售价为元，现打八五折，再让利元，那么该平板现在的售价为______元． 12. 解一元二次方程，请你在“”中填入一个整数，使得方程有实数根，则你填入的整数是______． 13. 某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如表． 视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 39 41 34 40 46 根据抽样调查结果，估计该市14000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是______． 14. 如图，在菱形中，，点，分别为，边上的点，且扇形分别与，边相切．若，则的长为______． 15. 如图，矩形的对角线，交于点，点是边的三等分点，连接，点为的中点，连接．若矩形的面积是，，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、解不等式组： （1）； （2） 17. 在数字化时代，技术的应用愈发广泛，而精准理解和执行指令是充分发挥效能的关键．开展指令培训，能帮助大家提升对指令的把控能力，减少操作失误，提高工作与学习效率．以下为针对指令掌握情况的测试题目，得分越高表明对指令的掌握程度越好．某机构针对两组各名员工进行了指令掌握情况的调查，根据调查结果绘制了下面相应不完整的统计图表． 数据分析结果详见下表： 组别 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 1组 2组 请根据以上信息，解答下列问题： （1）1组员工测试成绩的中位数为__________，2组员工测试成绩的平均数为__________； （2）补全1组员工的测试成绩条形统计图； （3）小宇的得分是9分，其分数高于他所在组半数员工的个人得分，则小宇在__________（填“1”或“2”）组； （4）在指令的掌握方面，你认为哪组的员工表现更优异？请说明理由． 18. 如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别向坐标轴作垂线，垂足分别为点，连接，反比例函数（为常数）的图象分别与交于点 （1）求反比例函数的表达式． （2）①求点的坐标； ②如图2，连接，求证：． 19. 某数学小组进行实践活动，下面是测量汝南北城门高度的实践报告： 利用数学知识测量汝南北城门的高度 资料查阅 汝南北城门是河南省汝南县现存的明代古城门遗址，始建于明代，是当地古代城市防御体系的重要组成部分．汝南北城门采用传统砖石砌筑工艺，风格古朴庄重，见证了汝南县的历史发展与变迁，具有重要的历史与文化价值． 模型构建 测量步骤 数学小组成员在处利用测角仪测得北城门顶端的仰角，沿方向移动至点，放置标杆，北城门顶端的影子落在点处，且点在同一条直线上． 说明：，点在同一条直线上，图中所有点在同一平面内． 测量数据 ． 参考数据 ． 测量任务 求出汝南北城门的高度（结果精确到）． 效果反思 查阅资料后，发现测量结果与实际结果稍有差异，请你提出至少一条减少误差的建议． 20. 某校园创业社团为参加“校园文创义卖节”，设计了基础款和限定款两种风格的卡通徽章用于义卖．每套基础款卡通徽章的成本比每套限定款卡通徽章的成本低元，采购套基础款卡通徽章与套限定款卡通徽章的总费用为元． （1）求每套基础款和每套限定款卡通徽章的成本价； （2）该社团决定将基础款、限定款卡通徽章的销售单价分别定为元和元．此次义卖计划共售出套卡通徽章，且基础款卡通徽章的销售量不少于限定款卡通徽章的，那么此次义卖的总利润最高是多少元？ 21. 如图，是的直径，是的半径，，点为上方圆周上一点，连接，，交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规在射线上取点，使得（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，求证：是的切线． （3）在（1）的条件下，若，，求的长． 22. 已知二次函数（为常数，且）． （1）若该二次函数的图象经过点，求该二次函数的顶点坐标； （2）当时，的最大值是，求的值； （3）当时，若点，，在函数图象上，且，请直接写出的取值范围． 23. 在中，且，点为斜边上不与端点重合的一动点，点为上一动点，连接，作，交于点． （1）【问题发现】：如图1，在中，，且，则__________． （2）【尝试探究】：如图2，在中，，且，请问（1）中的结论还成立吗？请用数学语言表述你的理由． （3）【拓展延伸】：在（2）的条件下，连接，请直接写出面积的最小值与最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $